ANALIZA MATEMATYCZNA 2
Specjalna lista zada *
Uwaga. Lista zawiera zadania trudniejsze i jest ona przeznaczona dla studentów pragn cych gł biej zastanowi si nad tema-
tyk kursu. Lista jest przygotowana równie z my l o tych osobach, które zamierzaj ubiega si w przyszło ci o ocen
celuj c 5,5 z ANALIZY MATEMATYCZNEJ 2. Prezentowane tu zadania pojawiły si na egzaminach na ocen celuj c
w ci gu ostatnich dziewi ciu lat. Lista zada jest podzielona na cztery cz ci tematyczne, a zadania s uło one w kolejno ci
merytorycznej.
Pierwsza cyfra w nu merze zadania oznacza numer standardowej listy zada (przy jej podziale na 14 jednos-
tek), której dane zadanie dotyczy. Oryginalne zestawy zada z poprzednich egzaminów na ocen celuj c wraz z odpowie-
dziami i wskazówkami znajduj si w zbiorze: M. Gewert, Z. Skoczylas (opr.), Analiza matematyczna2, Kolokwia i egzaminy.
Specjalna lista zada oraz inne materiały dotycz ce kursu
ANALIZA MATEMATYCZNA 2 znajduj si tak e na stronie
www.im.pwr.wroc.pl/~tjurlew/am2.htm
Egzamin na ocen celuj c b dzie si składał z czterech zada o podobnym stopniu trudno ci ocenianych w skali od 0 do 5
punktów. Uzyskanie w czasie trzech godzin co najmniej 10 punktów b dzie gwarancj sukcesu.
Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas, luty 2006
ZADANIA
Całki niewła ciwe
1.1* Zbada zbie no całki niewła ciwej
.
(cel-09-1)
0
∞
dx
x
2
−
3
x
1.2* Zbada zbie no całki niewła ciwej
.
(cel-13-1)
0
∞
e
−x
2
dx
1.3* Zbada zbie no całki niewła ciwej
.
(cel-14-2)
π
∞
sin
2
x
x
dx
1.4* Zbada zbie no całki niewła ciwej
.
(cel-15-4)
e
∞
(
x
x
− 1 ) dx
1.5* Obliczy całk niewła ciw (najpierw uzasadni jej zbie no )
.
(cel-08-1)
0
∞
ln
1999
x
1
+ x
2
dx
1.6* Udowodni , e całka niewła ciwa
nie zale y od
0
∞
dx
( 1 + x
p
) ( 1 + x
2
)
parametru
.
(cel-04-2)
p
> 0
1.7* Obliczy całk
.
(cel-05-2)
0
π
2
dx
1
+ ( tg x )
2
1.8* Obliczy całki niewła ciwe
.
(cel-07-3)
0
π
2
ln sin x dx,
0
π
2
ln cos x dx
1.9* Uzasadni równo ci
=
=
.
(cel-12-2)
0
∞
dx
1
+ x
4
0
∞
x
2
dx
1
+ x
4
π
2 2
Szeregi liczbowe
2.1* Zbada zbie no szeregu
.
(cel-01-1)
Σ
n
= 1
∞
sin
( 2π n
2
+ 1 )
2.2* Zbada zbie no szeregu
(cel-02-1)
Σ
n
= 2
∞
n
n
−1
n
2.3* Zbada zbie no szeregu
.
(cel-06-2)
Σ
n
= 2
∞
(
n
2
+
n
3
− 2
n
5
)
2.4* Zbada zbie no szeregu
.
(cel-15-2)
Σ
n
= 1
∞
( 3 + 1 ) ( 3 + 3 ) ( 3 + 5 ) ... [ 3 + ( 2n − 1 ) ]
( 7 + 2 ) ( 7 + 4 ) ( 7 + 6 ) ... ( 7 + 2n )
2.5* Zbada zbie no szeregu
.
(cel-16-1)
Σ
n
= 1
∞
1
1
+ 2 + 3 + ... + n
2.6* Dla
niech
oznacza pole - k ta foremnego wpisanego w koło
n
≥ 3
S
n
n
o promieniu . Zbada zbie no szeregu
.
(cel-08-2)
1
Σ
n
= 3
∞
( π − S
n
)
2.7* Dla
niech oznacza - ty dodatni pierwiastek równania
.
n
∈ N
x
n
n
x
= ctg x
Zbada zbie no szeregu
.
(cel-05-3)
Σ
k
= 0
∞
( x
k
+1
− kπ )
2.8* Niech , gdzie
, oznacza dodatni pierwiastek równania
.
a
n
n
∈ N
x
2000
+ nx − 1 = 0
Zbada zbie no szeregu
. Odpowied uzasadni .
(cel-12-1)
Σ
n
= 1
∞
a
n
2.9* Niech
oznacza ci g kolejnych liczb naturalnych, których rozwini cia dziesi tne
( a
n
)
zawieraj tylko cyfry nieparzyste, tj.
. Zbada zbie no szeregu
.
1, 3, 5, 7, 9
Σ
n
= 1
∞
1
a
n
(cel-07-2)
2.10* Wykorzystuj c kryterium całkowe zbie no ci szeregów zbada istnienie granicy wła ciwej
.
(cel-09-2)
n
→ ∞
lim
[ 1+
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
−ln ( n + 1 ) ]
2.11* Zbada , czy prawdziwe jest zdanie: dla dowolnego ci gu
malej cego i zbie nego
( a
n
)
do istnieje liczba naturalna taka, e szereg
jest zbie ny. Odpowied
0
k
Σ
n
= 1
∞
a
n
k
uzasadni .
(cel-10-1)
2.12* Czy istnieje szereg zbie ny
taki, e szereg
jest rozbie ny?
Σ
n
= 1
∞
a
n
Σ
n
= 1
∞
a
n
3
Odpowied uzasadni .
(cel-14-4)
2.13* Elementy szeregu
przestawiamy w taki sposób,
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+ ...
e po kolejnym elemencie dodatnim nast puj kolejne dwa elementy ujemne.
Obliczy sumy obu szeregów (przed i po przestawieniu).
(cel-11-1)
2.14* Udowodni poni sze twierdzenie o trzech szeregach:
Niech szeregi
oraz
b d zbie ne. Ponadto niech wyrazy szeregu
Σ
n
= 1
∞
a
n
Σ
n
= 1
∞
b
n
spełniaj dla
nierówno ci
. Wtedy tak e szereg
Σ
n
= 1
∞
x
n
n
∈ N
a
n
≤ x
n
≤ b
n
jest zbie ny.
(cel-13-2)
Σ
n
= 1
∞
x
n
Szeregi pot gowe
3.1* Znale szereg Maclaurina funkcji
.
(cel-09-3)
f
( x ) =
1
( 1 + x ) ( 1 + x
2
) ( 1 + x
4
) ( 1 + x
8
)
3.2* Obliczy pochodn
funkcji okre lonej wzorem
f
(2000)
( 0 )
.
(cel-10-2)
f
( x ) =
x
1000
( x
2
+ 1 ) ( x
2
+ 4 )
3.3* Poda warto ci
oraz
dla funkcji
f
(2000)
( 0 )
f
(2001)
( 0 )
.
(cel-11-2)
f
( x ) =
1
1
+ x + x
2
+ x
3
3.4* Niech
. Obliczy
.
(cel-16-2)
f
( x ) =
x
1000
sin x
e
x
f
(2005)
( 0 )
3.5* Znale funkcj elementarn , której szereg pot gowy ma posta
.
(cel-07-1)
Σ
n
= 0
∞
x
4n
(4n)!
3.6* Obliczy sum szeregu
.
(cel-03-2)
Σ
n
= 0
∞
( 2n + 1 )
2
n!
3.7* Obliczy sum szeregu
.
(cel-04-1)
Σ
n
= 2
∞
1
( n
2
− 1 ) 2
n
Funkcje dwóch zmiennych
4.1* Poda przykład funkcji dwóch zmiennych, której dziedzin naturaln jest zbiór b d cy sum
wszystkich kwadratów postaci
A
kl
= { ( x, y ) ∈ R
2
: 2k
≤ x ≤ 2k + 1, 2l ≤ y ≤ 2l + 1 }
gdzie
.
(cel-01-3)
k, l
∈ Z
4.2* Zbada , czy istnieje granica
. Odpowied uzasadni .
(cel-06-4)
lim
( x, y ) → ( 0, 0 )
x
2
y
4
x
+ y
5.1* Znale funkcj , dla której przekształcenie okre lone wzorem
f
F
F
( x, y ) =
1
dla x
2
+ y
2
< 1
f
( x, y ) dla 1 ≤ x
2
+ y
2
≤ 4
4
dla 4
< x
2
+ y
2
ma pochodne cz stkowe
,
w ka dym punkcie
.
(cel-10-3)
∂F
∂x
∂F
∂y
( x, y ) ∈ R
2
5.2* Obie pochodne cz stkowe mieszane drugiego rz du funkcji
s ci głe
f :
R
2
→ R
na
. Korzystaj c z twierdzenia o całkach iterowanych pokaza , e w ka dym
R
2
punkcie
zachodzi równo
( x
0
, y
0
) ∈ R
2
.
(cel-14-1)
∂
2
f
∂x ∂y
( x
0
, y
0
) =
∂
2
f
∂y ∂x
( x
0
, y
0
)
6.1* Dana jest elipsoida
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
gdzie
oraz punkt
poło ony na zewn trz niej. Przez
a
> b > c > 0
( x
0
, y
0
, z
0
)
ten punkt poprowadzono wszystkie mo liwe proste styczne do elipsoidy. Udowodni
e punkty styczno ci tworz krzyw płask .
(cel-05-4)
6.2* Promienie wiatła, które s równoległe do wektora
, o wietlaj
→
v
= ( 0, 1, 1 )
brył ograniczon powierzchniami
.
z
= 1 − x
2
− y
2
, z
= 0
Znale kształt cienia (równania brzegu) tej bryły na płaszczy nie
.
(cel-15-1)
xOy
8.1* Znale trójk t o najwi kszym polu wpisany w elips o półosiach i . Ile rozwi -
a b
za ma to zadanie?
(cel-06-1)
8.2* W ród trójk tów opisanych na kole o promieniu znale ten, który ma najmniejsze
R
pole.
(cel-12-3)
8.3* W ród trójk tów wpisanych w koło o promieniu znale ten, który ma najwi ksze
1
pole. Wykorzysta rachunek ró niczkowy funkcji wielu zmiennych.
(cel-13-3)
8.4* Do sze ciennego pudełka o kraw dzi wło ono kul o rednicy . Wyznaczy
1
1
najdłu szy odcinek, który mo na doło y do tego pudełka tak, aby mo na było je
zamkn .
(cel-01-4)
8.5* Obliczy promie najwi kszego okr gu, który mo na umie ci na elipsoidzie
.
(cel-02-3)
x
2
4
+
y
2
9
+
z
2
16
= 1
8.6* Podstaw ostrosłupa o wysoko ci jest trójk t o bokach
. Jakie powinno
h
a, b, c
by poło enie spodka wysoko ci ostrosłupa, aby pole jego powierzchni bocznej było
najmniejsze?
(cel-03-1)
8.7* Narysowa zbiór
. Na rysunku poda
{ ( x, y ) ∈ R
2
: x
y
= y
x
, x
> 0, y > 0 }
współrz dne charakterystycznych punktów.
(cel-02-4)
8.8* Powierzchnia
w otoczeniu punktu
jest okre lona
z
= z ( x, y )
P
= (
π
6
,
π
4
,
π
3
)
warunkiem
. Napisa równanie płaszczyzny stycznej
x sin x
+ y sin y + z sin z =
3
π
8
do tej powierzchni w punkcie .
(cel-11-3)
P
8.9* Niech
. Udowodni , e istniej punkty
,
f
( x, y ) = x
8
+ y
8
+ 4xy + 1
( x
1
, y
1
)
,
, tworz ce wierzchołki o miok ta foremnego, dla których
( x
2
, y
2
) ..., ( x
8
, y
8
)
spełniony jest warunek
.
(cel-03-4)
f
( x
1
, y
1
) + f ( x
2
, y
2
) + ... + f ( x
8
, y
8
) = 0
8.10* Uzasadni , e dla ka dego
równanie
ma dokładnie jedno
x
≥ 0
y
3
+ xy − 8 = 0
rozwi zanie
. Nast pnie obliczy całk
.
(cel-08-3)
y
( x )
0
7
y
2
( x ) dx
Całki podwójne i ich zastosowania
10.1* Funkcja
jest ci gła. Obliczy granic
f :
R
2
→ [ 0, ∞ )
.
(cel-01-2)
lim
n
→ ∞
n
x
2
+ y
2
≤1
f
n
( x, y ) dx dy
10.2* Funkcja jest ci gła na
. Obliczy granic
f
R
2
.
(cel-02-2)
lim
n
→ ∞
n
2
x
2
+ y
2
≤
1
n2
f
( x, y ) dx dy
10.3* Funkcja jest ci gła na
. Ponadto dla dowolnych liczb dodatnich i oraz
f
R
2
a b
dla dowolnego prostok ta o bokach i , równoległych do osi układu
P
a b
współrz dnych,spełnia warunek
.
P
f
( x, y ) dx dy = ab
Pokaza , e
na
.
(cel-07-4)
f
≡ 1
R
2
10.4* Obliczy obj to bryły ograniczonej powierzchniami
.
z
= x
2
+ y
2
, z
= 1 − x
2
− (y − 1)
2
Czy cz
wspólna tych powierzchni jest krzyw płask ?
(cel-13-4)
11.1* Masa jest rozło ona w sposób ci gły na cienkiej płytce. Pokaza , e w dowolnym
punkcie płytki mo na umie ci układ współrz dnych tak, aby momenty bezwładno ci
płytki wzgl dem obu osi były jednakowe.
(cel-14-3)
11.2* Obliczy sił , z jak jednorodna kwadratowa płytka o boku i masie przyci ga
2a
M
mas poło on w odległo ci nad rodkiem płytki.
(cel-09-4)
m
a
Całki potrójne i ich zastosowania
13.1* Funkcja jest ci gła na
oraz spełnia warunek
f
R
3
.
x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 1
f
( x, y, z ) dx dy dz = 0
Udowodni , e istnieje czworo cian foremny , dla którego spełniony jest warunek
U
.
(cel-04-3)
U
f
( x, y, z ) dx dy dz = 0
13.2* Obliczy obj to bryły ograniczonej powierzchni o równaniu
.
(cel-10-4)
( x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
= 30xyz
13.3* Obliczy obj to bryły
.
{ ( x, y, z ) ∈ R
3
: x
2
+ y
2
≤ 1, y
2
+ z
2
≤ 1, x
2
+ z
2
≤ 1 }
Sporz dzi rysunek.
(cel-08-4)
13.4* Obliczy obj to tej cz ci sto ka
, która jest zawarta w walcu
z
≥ x
2
+ y
2
.
(cel-16-3)
x
2
+ z
2
≤ 2z
13.5* Powierzchnia zewn trzna obr czki ma kształt sferyczny, a powierzchnia wewn trzna
walcowy. Udowodni , e obj to obr czki zale y jedynie od jej wysoko ci.
(cel-05-1)
14.1* Obliczy obj to tej cz ci sze cianu
,
{ ( x, y, z ) ∈ R
3
: 0
≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2 }
która le y na zewn trz kuli
.
(cel-06-3)
{ ( x, y, z ) : x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 9 }
14.2* Naczynie w kształcie walca o rednicy
stoi na płaszczy nie nachylonej do
D
= 2
poziomu pod k tem
. Ile wody mo na wla do naczynia, aby nie przewróciło
α =
π
6
si ? W rozwa aniach nie uwzgl dnia masy naczynia ani grubo ci jego cianek.
(cel-03-3)
14.3* W jednorodnej trójk tnej płytce wyci to dwa okr głe otwory. Wierzchołki trójk ta
znajduj si w punktach
. rodki otworów s
( 0, 0 ), ( 3, 10 ), ( 20, 0 )
w punktach
, a ich rednice wynosz odpowiednio
.
( 4, 3 ), ( 10, 4 )
4, 2
Znale rodek masy wyci tej płytki.
(cel-11-4)
14.4* Wyznaczy moment bezwładno ci
cz ci jednorodnej kuli o promieniu
1/8
R
i masie wzgl dem jej osi symetrii.
(cel-12-4)
M
14.5* Zbada , wzgl dem której prostej przechodz cej przez rodek jednorodnego sze cia-
nu jego moment bezwładno ci jest najmniejszy.
(cel-04-4)
14.6* Sze cienny pojemnik ma mas i kraw d . Obliczy moment beawładno ci
M
a
pojemnika wzgl dem przek tnej sze cianu. Przyj , e jego ciany s wykonane
z cienkiej jednorodnej blachy.
(cel-16-4)
14.7* Torus jest brył , która powstaje z obrotu koła o promieniu wokół prostej odległej
r
o
od jego rodka. Obliczy moment bezwładno ci takiego torusa wzgl dem
R
≥ r
osi obrotu. Przyj , e torus jest jednorodny i ma mas .
(cel-15-3)
M