PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 1 -
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI
2 i 3 ZMIENNYCH
¾
ZBIORY PŁASKIE
¾
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
¾
GRANICA i CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
¾
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
¾
POCHODNA CZĄSTKOWA FUNKCJI DWÓCH
ZMIENNYCH
¾
POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
¾
PŁASZCZYZNA STYCZNA
¾
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
¾
POCHODNE CAŁKOWE i RÓŻNICZKI WYŻSZYCH
RZĘDÓW
¾
EKSTREMUM FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 2 -
ZBIORY PŁASKIE
Def.
Zbiór płaski to zbiór na płaszczyźnie Oxy.
Def.
Otoczenie punktu P
o
(x
o
, y
o
) o promieniu r to zbiór punktów P(x , y) płaszczyzny
r}
P
P
:
{P
r)
,
O(P
0
0
<
=
}
r
)
y
(y
)
x
(x
:
y)
{(x,
r)
,
O(P
2
2
0
2
0
0
<
−
+
−
=
Def.
Sąsiedztwo punktu P
o
(x
o
, y
o
) o promieniu r to zbiór punktów P(x , y) płaszczyzny
r}
P
P
0
:
{P
r)
,
S(P
0
0
<
<
=
}
r
)
y
(y
)
x
(x
0
:
y)
{(x,
r)
,
S(P
2
2
0
2
0
0
<
−
+
−
<
=
Sąsiedztwo bez środka
Def.
Punkt P
∈ A nazywać będziemy punktem wewnętrznym zbioru A jeżeli należy
do zbioru A pewnego otoczenia puktu P.
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 3 -
Dopełnienie Zbioru
Dopełnienie danego zbioru płaskiego to zbiór utworzony ze wszystkich punktów, które do
danego zbioru nie należą.
Punkt Brzegowy
Punkt brzegowy zbioru to punkt, w którego otoczeniu znajdują się punkty zarówno do
zbioru należące jak i nienależące.
Zbiór Spójny
Zbiór płaski nazywamy spójnym jeżeli każde dwa jego punkty można połączyć linią ciągłą
całkowicie zawartą w tym zbiorze.
Mówimy, że odcinek PQ rozcina zbiór jeżeli istnieją takie dwa jego punkty, których nie
można połączyć linią ciągłą w tym zbiorze, która by nie przecinała tego odcinka.
Zbiór Jednospójny
Zbiór spójny nazywamy jednospójnym jeżeli jego dopełnienie do całej płaszczyzny jest
zbiorem spójnym.
W przypadku, gdy zbiór jest ograniczony można podać (inną) równoważną definicję
jednospójności.
Zbiór ograniczony nazywamy jednospójnym, jeżeli każdy odcinek łączący punkty
zewnętrzne tego zbioru i przechodzący przez punkt wewnętrzny zbioru rozcina ten zbiór.
Zbiór Otwarty
Zbiorem otwartym będziemy nazywać zbiór, który zawiera tylko punkty wewnętrzne
(bez brzegu).
Obszar otwarty oznacza zbiór spójny otwarty.
Zbiór Domknięty
Zbiorem domkniętym nazywamy zbiór, który zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe.
Obszar domknięty oznacza obszar otwarty z dołączonym brzegiem.
Obszar normalny
Obszar nazywamy normalnym względem danej osi Ox lub Oy jeżeli każda prosta
prostopadła do tej osi i przechodząca przez jego punkt wewnętrzny przecina brzeg obszaru
w dwóch punktach.
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 4 -
Zapis analityczny obszaru D normalnego względem osi Ox.
≤
≤
≤
≤
=
ψ(x)
y
(x)
b
x
a
y)
(x,
D
ϕ
Przykład
Narysować i zapisać analitycznie obszar D ograniczony krzywymi
0
x
2
x
2
2
2
≥
=
=
+
y
y
y
−
≤
≤
≤
≤
=
2
2
x
2
y
x
1
x
1
-
:
y)
(x,
D
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 5 -
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
Jeżeli każdemu punktowi P(x , y) zbioru płaskiego D przyporządkujemy dokładnie jedną
liczbę rzeczywistą z, to mówimy, że na zbiorze D została określona funkcja dwóch
zmiennych z = f (x , y) [ z = f(D) ].
Przykład 1
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
x
sin
1
x
2
y)
f(x,
+
=
Odp.
w tym przypadku
D
f
= R
2
Przykład 2
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
2
2
y
x
1
y)
f(x,
+
=
Odp.
D
f
= { (x , y): x ≠ 0
∧
y ≠ 0 }
Przykład 3
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
2
2
x
y
x
y)
f(x,
−
=
Odp.
D
f
= { (x , y): y ≠ x
∧
y ≠ -x }
Przykład 4
Wyznaczyć obszar określoności funkcji
4
3
2
arcsin
arcsin
y)
f(x,
+
=
x
Odp.
D
f
= { (x , y): -2 ≤ x ≤ 2
∧
-3 ≤ y ≤ 3 }
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 6 -
GRANICA i CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI DWÓCH
ZMIENNYCH
Rozważmy ciąg punktów [P
o
(x
o
, y
o
)] na płaszczyźnie Oxy oraz punkt P
o
(x
o
, y
o
).
Powiemy, że granicą ciągu [P
n
] jest punkt P
o
co zapiszemy:
o
n
n
P
P
lim
=
∞
→
jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu P
o
znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu [P
n
].
Wynika stąd, że:
)
y
y
lim
x
x
lim
(
)
y
,
(x
P
)
y
,
(x
P
lim
o
n
n
o
n
n
o
o
o
n
n
n
n
=
∧
=
↔
=
∞
→
∞
→
∞
→
Def. Heinego
Mówimy, że funkcja f(x , y) posiada w pkt. P
o
(x
o
, y
o
) granicę równą g co zapisujemy
=
=
→
→
g
y)
f(x,
lim
g
f(P)
lim
)
y
,
(x
y)
(x,
P
P
0
0
0
g
)
f(P
P
P
P
P
:
}
{P
g
f(P)
lim
n
0
n
0
n
n
P
P
0
→
⇒
→
∧
≠
⇔
=
→
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 7 -
Def.
Funkcję f(P) nazwiemy ciągłą w punkcie P
o
jeżeli:
)
f(P
f(P)
lim
0
P
P
0
=
→
Przykład
Oblicz
granicę
2
2
y
x
xy
(0,0)
y)
(x,
lim
+
→
Rozpatrzmy dwa ciągi punktów
{ }
{
} {
}
)
,
(
''
P
,
)
,
(
'
P
:
P
n
1
n
2
n
n
1
n
1
n
n
Wtedy
5
2
n
1
n
2
n
n
n
2
1
n
1
n
1
n
n
n
)
,
f(
lim
)
''
f(P
lim
)
,
f(
lim
)
'
f(P
lim
=
=
=
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
Zatem granica nie istnieje
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 8 -
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
1 – Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w punkcie P
o
i f(P
o
) > 0 to istnieje takie otocznie P
o
,
że dla każdego punktu P z tego otoczenia będzie f(P) >0.
2 – Funkcja ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym odiąga w nim swoją wartość
największą i najmniejszą.
3 – Funkcja f(P) ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym do którego należą
punkty P
1
i
P
2
, przyjmuje każdą wartość pośrednią zawartą między f(P
1
) i f(P
2
).
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 9 -
POCHODNA CZĄSTKOWA FUNKCJI DWÓCH
ZMIENNYCH
Rozpatrzmy funkcję z = f(x , y) określoną na obszarze D, przy czym powierzchnia S jest
obrazem geometrycznym tej funkcji.
Jeżeli w funkcji z = f(x , y) podstawimy za x = x
o
to krzywa k powstała przez przecięcie się
powierzchni S i płaszczyzny x = x
o
będzie miała równanie:
=
=
0
0
x
x
y)
,
f(x
z
:
k
Analogicznie jeżeli w funkcji z = f(x , y) podstawimy za y = y
o
to krzywa l powstała przez
przecięcie się powierzchni S i płaszczyzny y = y
o
będzie miała równanie:
=
=
0
0
y
y
)
y
f(x,
z
:
k
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 10 -
Ponieważ funkcja z = f(x , y) jest funkcją jednej zmiennej więc możemy dla niej wyznaczyć
pochodną w pkt. x = x
o
.
Pochodna ta wynosi:
h
)
y
,
f(x
)
y
h,
f(x
lim
)
y
,
(x
'
f
0
0
0
0
0
h
0
0
X
−
+
=
→
i nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x , y) obliczoną
względem zmiennej x w punkcie (x
o
, y
o
).
Podobnie pochodną
h
)
y
,
f(x
h)
y
,
f(x
lim
)
y
,
(x
'
f
0
0
0
0
0
h
0
0
Y
−
+
=
→
nazywamy pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x , y) obliczoną względem
zmiennej y w punkcie (x
o
, y
o
).
Będziemy też używać oznaczeń:
y
f
,
y
z
,
x
f
,
x
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Zadanie
Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
3
2
3
3y
y
3x
2x
z
+
+
=
6xy
6x
2
x
z
−
=
∂
∂
Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
y
x
arcsin
z
=
( )
y
1
-
1
1
x
z
2
y
x
⋅
=
∂
∂
( )
2
2
y
x
y
-x
-
1
1
y
z
⋅
=
∂
∂
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 11 -
POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
Niech dana będzie w obszarze D funkcja z = f(x , y) oraz niech funkcje:
v)
φ(u,
y
v)
(u,
x
=
Φ
=
będą określone, ciągłe i różniczkowalne w obszarze ∆.
Zakładamy dodatkowo, że punkt (x , y)
∈D gdy punkt (u , r)∈ ∆.
Wtedy funkcję z = f(x , y) możemy traktować jako funkcję zmiennych (u , v) tj.
[
]
v)
φ(u,
v);
Φ(u,
f
z
=
i możemy wyznaczyć jej pochodne cząstkowe:
v
z
,
u
z
∂
∂
∂
∂
Pochodne te są równe
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
oraz
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
Jeżeli funkcja z = f(x , y) jest funkcją złożoną dwóch funkcji jednej zmiennej, tzn.
)
y(t)
;
x(t)
f(
z
y(t)
y
x(t)
x
=
=
=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 12 -
Wtedy funkcja z = f(x , y) jest ostatecznie funkcją jednej zmiennej t i możemy policzyć jej
pochodną z’
dt
dz
z'
=
która wynosi
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
Przykład
Obliczyć pochodną
u
z
∂
∂
funkcji
x
y
z sin
=
jeżeli
v
u
y
,
x
v
u
+
=
=
(
) (
)
(
)
(
)
u
v
v)
(u
u
v
v
1
u
v
v)
(u
u
v
v)
(u
x
y
x
1
v
1
x
y
x
y
cos
cos
1
sin
cos
-
u
z
2
2
2
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
∂
∂
Obliczyć pochodną całkowitą
t
z
∂
∂
funkcji
)
(
y
x
arctg
z
−
=
jeżeli
2t
t
e
y
e
x
=
=
)
2e
(1
)
e
(e
1
e
2e
1)
(
y)
(x
1
1
e
y)
(x
1
1
t
z
t
2
2t
t
t
2t
2
t
2
−
⋅
−
+
=
⋅
−
⋅
−
+
+
⋅
−
+
=
∂
∂
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 13 -
PŁASZCZYZNA STYCZNA
Niech powierzchnia S dana będzie równaniem
y)
f(x,
z
(*)
=
lub
0
z)
y,
F(x,
(**)
=
i niech punkt Q(x
o
, y
o
, z
o
) leży na tej powierzchni:
Przez punkt Q prowadzimy krzywe leżące na powierzchni S, do tych krzywych z kolei
w punkcie Q prowadzimy proste styczne. Takich krzywych krzywych stycznych jest
oczywiście nieskończona ilość.
Jeżeli te wszystkie styczne leżą w jednej płaszczyźnie to tę płaszczyznę nazywamy
płaszczyzną styczną do powierzchni S w punkcie Q.
Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S w punkcie Q ma postać:
9
w przypadku, gdy S dane jest równaniem (*)
0
)
z
(z
)
y
(y
)
y
,
(x
'
f
)
x
(x
)
y
,
(x
'
f
0
0
0
0
Y
0
0
0
X
=
−
−
−
⋅
+
−
⋅
9
w przypadku, gdy S dane jest równaniem (**)
0
)
z
(z
)
z
,
y
,
(x
'
F
)
y
(y
)
z
,
y
,
(x
'
F
)
x
(x
)
z
,
y
,
(x
'
F
0
0
0
0
Z
0
0
0
0
Y
0
0
0
0
X
=
−
⋅
−
−
⋅
+
−
⋅
Zadanie 1
Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S:
z = 2x
2
+ y
2
w punkcie Q (2 , 1 , 9).
4x
x
z =
∂
∂
i
2y
y
z =
∂
∂
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 14 -
a stąd
8
x
z
)
1
,
2
(
=
∂
∂
i
2
y
z
)
1
,
2
(
=
∂
∂
Zatem wektor płaszczyzny stycznej do powierzchni S ma postać:
]
1
,
2
,
8
[
−
=
w
a płaszczyzna styczna:
0
9)
1(z
1)
2(y
2)
8(x
:
π
=
−
−
−
+
−
Zadanie 2
Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S:
z
2
= 16x
2
+ 9y
2
w punkcie Q ( 1 , 1 , 5 ).
Równanie powierzchni S możemy zapisać w postaci
4
4
4
3
4
4
4
2
1
z)
,
y
,
F(x
2
2
2
0
z
9y
16x
:
S
=
−
+
Obliczamy
32x
x
F =
∂
∂
;
18y
y
F =
∂
∂
;
-2z
z
F =
∂
∂
i
32
x
F
)
5
,
1
,
1
(
=
∂
∂
;
8
1
y
F
)
5
,
1
,
1
(
=
∂
∂
;
-10
z
F
(1,1,5)
=
∂
∂
Zatem wektorem szukanej płaszczyzny będzie
10]
,
18
,
32
[
−
=
w
i płaszczyzna styczna ma równanie:
0
5)
10(z
1)
18(y
1)
32(x
:
π
=
−
−
−
+
−
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 15 -
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
Jeżeli w równaniu płaszczyzny stycznej
0
)
z
(z
)
y
(y
)
y
,
(x
'
f
)
x
(x
)
y
,
(x
'
f
0
0
0
0
Y
0
0
0
X
=
−
−
−
⋅
+
−
⋅
podstawimy
dx
x
-
x
0
=
;
dy
y
-
y
0
=
;
dz
z
-
z
0
=
to przyjmuje ono postać
dz
dy
)
y
,
(x
'
f
dx
)
y
,
(x
'
f
0
0
Y
0
0
X
=
⋅
+
⋅
lub
dz
dy
y
z
dx
x
z
)
y
,
(x
)
y
,
(x
0
0
0
0
=
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
dz nazywamy różniczką zupełną funkcji z = f(x , y) w punkcie (x
o
, y
o
) przy danych
przyrostach dx i dy.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 16 -
Na rysunku widać, że różniczka zupełna dz oznacza przyrost zmiennej zależnej z dla
płaszczyzny stycznej.
Przy dostatecznie małych dx i dy przyrost dz niewiele różni się od przyrostu funkcji
y)
f(x,
dy)
y
dx,
f(x
∆z
−
+
+
=
Można wykazać, że różnica ∆z-dz jest nieskończenie małą wyższego rzędu niż przyrost
dx i dy.
Ta własność różniczki zupełnej ma zastosowanie w rachunkach przybliżonych.
Własność tę możemy zapisać za pomocą wzoru:
dz
∆z
≈
tj.
dy
y
z
dx
x
z
)
y
,
f(x
dy)
y
dx,
x
f(
)
y
,
(x
)
y
,
(x
0
0
0
0
0
0
0
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
≈
−
+
+
Przykład
Jak zmieni się przekątna prostokąta o bokach 6m = x i 8m = y jeżeli bok x zwiększymy o
2mm , a bok y zmniejszymy o 5 mm?
Przekątna x prostokąta wynosi
2
2
y
x
z
+
=
a zatem
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 17 -
ydy)
(xdx
y
x
1
dy
y
z
dx
x
z
∆z
2
2
+
+
=
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
≈
W naszym przypadku dx = 0.02 i dy = -0.05, więc
-0,03
0,05)
8
0,02
(6
64
36
1
∆z
≈
⋅
+
⋅
⋅
+
≈
Wynika stąd, że przekątna prostokąta ulegnie skróceniu w przybliżeniu o 3 mm.
Zadanie 1
Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przyblizoną wartość
02
,
2
97
,
0
y
2,02
x
z
(0,97)
=
1
1
)
z(P
(1,2)
P
2
0
0
=
=
2
)
(P
y
z
lnx
y
y
z
2
)
(P
x
z
x
y
x
z
0
y
0
1
y
=
∂
∂
⇒
⋅
=
∂
∂
=
∂
∂
⇒
⋅
=
∂
∂
−
dy
)
(P
y
z
dx
)
(P
x
z
)
dz(P
0
0
0
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
2)
,
(1
P
0
2,02)
;
(0,97
P
0
0,02
dy
0,03
dx
=
−
=
-0,06
(-0,03)
2
)
dz(P
0
=
⋅
=
1
(0,97)
)
f(P
-
f(P)
∆z
2,02
0
−
=
=
dz
z
≈
∆
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 18 -
-0,06
1
(0,97)
2,02
≈
−
0,06
-
1
(0,97)
2,02
≈
Odp.
0,94
(0,97)
2,02
≈
Zadanie 2
Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
[
]
1
97
,
0
1,02
ln
3
−
+
[
]
1
y
x
ln
z
3
−
+
=
0,97)
;
(1,02
P
1)
;
(1
P
0
0,03
-
dy
0,02
dx
=
=
3
2
3
x
3
1
1
y
x
1
x
z
⋅
⋅
−
⋅
=
∂
∂
3
1
3
1
1
1
1
1
)
(
x
z
0
=
⋅
−
+
=
∂
∂
P
y
1
1
y
x
1
y
z
3
⋅
−
⋅
=
∂
∂
2
1
2
1
1
1
1
1
y
z
=
⋅
−
+
=
∂
∂
0,03)
(
2
1
0,02
3
1
dy
y
z
dx
x
z
)
dz(P
0
−
⋅
+
⋅
=
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
(
)
(
)
1
1
1
ln
1
97
,
0
02
,
1
ln
)
z(P
-
z(P)
z
3
0
−
+
−
−
+
=
=
∆
(
)
1
97
,
0
02
,
1
ln
z
3
−
+
=
∆
dz
z
≈
∆
różniczka prawie równa przyrostowi
(
)
0,03)
(
0,02
1
0,97
1,02
ln
∆z
2
1
3
1
3
−
+
⋅
≈
−
+
=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 19 -
POCHODNE CAŁKOWE I RÓŻNICZKI WYŻSZYCH
RZĘDÓW
Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych są również funkcjami dwóch zmiennych.
z
x
z
∂
∂
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
z
x
∂
∂
∂
∂
x
z
y
∂
∂
∂
∂
y
z
x
∂
∂
∂
∂
y
z
y
Dla tych pochodnych będziemy używać zapisów
''
XX
2
2
f
x
z
x
z
x
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
''
YY
2
2
f
y
z
y
z
y
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
''
YX
2
f
x
y
z
x
z
y
=
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
''
XY
2
f
y
x
z
y
z
x
=
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 20 -
TWIERDZENIE SCHWARZA
3y
2x
x
y
y
3x
z
2
3
2
+
−
+
=
2
y
6xy
x
z
2
3
−
+
=
∂
∂
3
2xy
y
9x
y
z
2
2
+
+
=
∂
∂
3
2
2
6y
x
z =
∂
∂
2y
18xy
x
y
z
2
2
+
=
∂
∂
∂
2x
y
18x
y
z
2
2
2
+
=
∂
∂
y
2
18xy
y
x
z
2
2
+
=
∂
∂
∂
Widać, że pochodne mieszane są sobie równe
x
y
z
y
x
z
2
2
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
Twierdzenie:
Jeżeli funkcja z = f(x , y) ma wewnątrz pewnego obszaru D ciągłą pochodną
x
y
z
,
y
x
z
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
to w każdym punkcie tego obszaru te pochodne są sobie równe.
Pochodne cząstkowe pochodnych pierwszego rzędu nazywamy pochodnymi cząstkowymi
drugiego rzędu.
Ogólnie pochodną cząstkową rzędu n nazywamy pochodną cząstkową n-1 rzędu.
Różniczka zupełna dz funkcji dwóch zmiennych z = f(x , y) jest oczywiście funkcją dwóch
zmiennych x i y. Dla tej różniczki możemy obliczyć różniczkę zupełną i otrzymujemy
różniczkę zupełną rzędu d
2
z.
Przykład
Obliczyć d
2
z dla funkcji z = sinxy.
Obliczmy dla tej funkcji dz
cos(xy)dy
x
cos(xy)dx
y
dz
⋅
+
⋅
=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 21 -
Teraz wyznaczamy d
2
z przy założeniu, że dx i dy są stałymi:
(
) (
) (
)
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
cos(xy)dy
x
cos(xy)dx
y
cos(xy)dy
x
cos(xy)dx
y
d
z
d
2
d
d
(
) (
)
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
sin(xy)dy
x
sin(xy)dx
xy
-
dy
sin(xy)dy
xy
-
sin(xy)dx
y
-
dx
2
2
y
sin(xy)d
x
y
sin(xy)dxd
2xy
-
sin(xy)dx
-y
2
2
2
2
⋅
−
⋅
⋅
=
Różniczka drugiego rzędu d
2
z jest znowu pochodną dwóch zmiennych.
Jeżeli będzie się w dalszym ciągu obliczło różniczki w ten sposób otrzymywanych funkcji,
to będziemy otrzymywali różniczki coraz wyższych rzędów.
Wiemy, że
dy
y
z
dx
x
z
dz
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
Przy obliczeniach różniczek wyższych rzędów bierzemy pod uwagę fakt, że dx i dy są
stałymi. Tak więc:
y
d
y
z
dxdy
x
y
z
2
x
d
x
z
dy
dy
y
z
dx
y
x
z
dx
dy
x
y
z
dx
x
z
dy
y
z
d
dx
x
z
d
dy
y
z
d
dx
x
z
d
z
d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∂
∂
+
∂
∂
∂
⋅
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
Analogicznie
( )
( )
( )
( )
3
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
dy
y
z
dx
dy
x
y
z
3
dx
dy
x
y
z
3
dx
x
z
z
d
∂
∂
+
∂
∂
∂
⋅
+
∂
∂
∂
⋅
+
∂
∂
=
i ogólnie symbolicznie możemy zapisać:
z
''
dy
y
dx
x
z
'
d'
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 22 -
EKSTREMUM FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Rozpatrzmy funkcję z = f(x , y), której obraz geometryczny przedstawia rysunek
Widzimy, że dla podanej funkcji istnieje takie otoczenie punktu P
0
O(P
0
, δ), że dla
wszystkich punktów
δ)
,
(P
O
P
0
∈
ma miejsce nierówność
0
)
f(P
f(P)
0
≥
−
W tym przypadku mówimy, że funkcja z = f(x , y) posiada w punkcie
0
P
M INIM UM LOKALNE.
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 23 -
WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM
FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH.
Załóżmy, że funkcja z =f(x , y) posiada w pkt. P
o
(x
o
, y
o
) minimum lokalne.
Przecinając powierzchnię z = f(x , y) płaszczyzny y = y
o
otrzymamy na niej krzywą o
równaniu:
=
=
0
y
y
y)
f(x,
y
:
k
W płaszczyźnie y = y
o
funkcja z = f(x , y
o
) jest funkcją jednej zmiennej x, a dla niej
WK na to aby w punkcie x
o
było minimum jest:
0
y)
,
(x
f
0
'
x
=
Podobnie ustalając x = x
o
otrzymujemy warunek
0
)
y
(x,
f
0
'
y
=
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 24 -
Dla wyznaczenia punktu (stacjonarnego) P
o
(x
o
, y
o
), w którym funkcja może osiągnąć
ekstremum należy rozwiązać układ równań:
WK!!!
=
=
0
)
y
,
(x
f
0
)
y
,
(x
f
0
0
'
y
0
0
'
x
Przykład 1
Wyznaczyć punkty stacjonarne dla funkcji
3
4y
4x
2y
x
z
2
2
−
+
−
+
=
Aby wyznaczyć punkty stacjonarne należy rozwiązać układ równań.
0
4
4y
0
y)
(x,
f
0
4
-
2x
0
y)
(x,
f
'
y
'
x
=
+
⇒
=
=
⇒
=
stąd P
o
(2 , -1)
Przykład 2
Rozważmy funkcję
2
2
y
-
x
z
=
.
Dla niej WK mają postać.
=
⇒
=
∂
∂
=
⇒
=
∂
∂
0
2y
-
0
y
z
0
2x
0
x
z
i stąd P
o
(0 , 0)
Ale ta funkcja w punkcie P
o
nie ma ekstremum.
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 25 -
WARUNKI WYSTARCZAJĄCE ISTNIENIA EKSTREMUM FUNKCJI
DWÓCH ZMIENNYCH
Tw. WW
Funkcja z = f(x , y) posiada w punkcie stacjonarnym P
o
(x
o
, y
o
) ekstremum, jeżeli
( )
0
)
(P
f
)
(P
f
)
(P
f
)
(P
f
P
W
0
''
YY
0
''
XY
0
''
YX
0
''
XX
0
>
=
przy czym maksimum gdy
0
)
(P
f
0
''
XX
<
i minimum gdy
0
)
(P
f
0
''
XX
>
Przykład
Wyznaczyć ekstremum funkcji
3
4y
4x
2y
x
z
2
2
−
+
−
+
=
Wyznaczmy punkty stacjonarne rozwiązując układ równań:
=
+
⇒
=
∂
∂
=
⇒
=
∂
∂
0
4
4y
0
y
z
0
4
-
2x
0
x
z
stąd P
o
(2 , -1)
tzn., że tylko w tym punkcie funkcja może posiadać ekstrema.
PADER collection
MATEMATYKA – Semestr II – Rachunek różniczkowy dr Stanisław Kiełtyka
- 26 -
Wyznaczamy następnie
2
x
z
2
2
=
∂
∂
,
4
y
z
2
2
=
∂
∂
,
0
y
x
z
2
=
∂
∂
∂
i stąd
( )
0
8
0
4
2
P
W
2
0
>
=
−
⋅
=
Odp. W punkcie P
o
(2 , -1) funkcja posiada ekstremum, przy czym minimum gdyż:
0
2
x
z
2
2
>
=
∂
∂