Funkcje
Pojęcie funkcji naleŜy, obok pojęcia liczby, do najwaŜniejszych pojęć matematycznych, od-
grywających dość istotną rolę we współczesnych koncepcjach nauczania początkowego ma-
tematyki. Mówimy tu o funkcjach określonych na dowolnym zbiorze i o wartościach w do-
wolnym zbiorze, a nie tylko o funkcjach, które liczbom przyporządkowują liczby.
Funkcje moŜna definiować róŜnie; moŜna je traktować jako specjalne przyporządkowania
(operacja przyporządkowania eksponuje stronę psychologiczną pojęcia) bądź jako pewnego
rodzaju relacje (w tym przypadku eksponuje się aspekty mnogościowe pojęcia).
Definicja
Funkcją (odwzorowaniem) ze zbioru A w zbiór B nazywamy przyporządkowanie, w który
kaŜdemu elementowi zbioru A przypisano dokładnie jeden element zbioru B.
Jest niezmiernie wygodne, aby kaŜdy dom znajdujący się przy ulicy Sienkiewicza w Kiel-
cach miał numer ( jak myślisz dlaczego ?). Warto więc myśleć o przyporządkowaniu kaŜdemu
budynkowi dokładnie jednej liczby, czyli rozwaŜać funkcję ze zbioru budynków znajdujących
przy ulicy Sienkiewicza w zbiór liczb.
NaleŜy zwrócić uwagę, Ŝe przyporządkowania ze zbioru A w zbiór B zwane funkcjami mu-
szą spełniać dwa warunki: a) kaŜdemu elementowi zbioru A musi być przyporządkowany jakiś
element zbioru B, b) elementowi zbioru A nie moŜna przyporządkować dwóch róŜnych ele-
mentów zbioru B.
Rysunek przedstawia graf strzałkowy funkcji f ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} w zbiór
{a, b, c, d, e}. ZauwaŜmy, Ŝe elementom { } przyporządkowano ten sam element - .
Przyporządkować elementowi a zbioru A element b zbioru B, to matematycznie nic innego
jak utworzyć parę (a, b). Zatem przyporządkowanie (funkcja) to nic innego jak zbiór uporząd-
kowanych par, podzbiór A
×
B.
W sytuacji funkcji zdefiniowanej grafem mamy pary: (1, ), (2, ), (3, ), (4, ), (5, ), (6, ), (7, ).
Definicja
Funkcją (odwzorowaniem) ze zbioru A w zbiór B nazywamy relację R określoną na zbio-
rach A i B, jeŜeli dla kaŜdego elementu a zbioru A istnieje dokładnie jeden i tylko jeden
element b zbioru B taki, Ŝe a R b.
Funkcją ze zbioru A w zbiór B jest zatem kaŜda relacja R spełniająca dwa warunki:
a)
dla kaŜdego elementu a zbioru A istnieje element b zbioru B taki a R b,
b)
dla dowolnego elementu a zbioru A i dowolnych elementów b
1
, b
2
z tego jeśli
a R b
1
i a R b
2
, to a
1
= b
2
.
Obie definicji funkcji są równowaŜne i posługujemy się nimi zmamienie w wybranych sy-
tuacjach. Gdy chcemy zaakcentować sposób przyporządkowania odwołujemy się do definicji
pierwszej, zaś gdy zamierzamy np. konstruować jej wykres, wówczas wygodniej traktować
funkcję jako zbiór par.
Funkcje oznaczamy najczęściej za pomocą małych liter łacińskich f, g, h . W definicji
mnogościowej pojęcia funkcji uŜyliśmy litery R (nawiązując do tradycyjnego oznaczania rela-
cji), teraz jednak uŜywamy litery f, do której jesteśmy przyzwyczajeni ze szkoły średniej.
Definicje
Funkcję f ze zbioru A w zbiór B zapisujemy krótko: f : A
→
B. Elementy zbioru A na-
zywamy argumentami funkcji f.
JeŜeli a
∈
A, to (jedyny) element zbioru B przyporządkowany przez funkcję f elemen-
towi a oznaczamy symbolem f(a) i nazywamy wartością funkcji f dla argumentu a.
Równość b = f(a) oznacza, Ŝe funkcja f przyporządkowuje elementowi a element b; fakt
ten nieraz zapisujemy w postaci a a b.
Na oznaczenie funkcji f określonej w zbiorze A stosujemy równieŜ zapis f : x a f(x), x
∈
A.
Na przykład piszemy x a x
2
lub mówmy funkcja określona wzorem f(x) = x
2
dla x
∈
R, gdy
myślimy o przyporządkowaniu liczbie rzeczywistej jej kwadratu.
Szczególnie często stosowane są dwa sposoby przedstawiania funkcji: za pomocą tabelek
i tym sposobem zajmiemy się tu oraz za pomocą wykresów.
Tabelki przedstawiane są następująco: w górnym wierszu elementy zbioru A (argumen-
ty), w dolnym - odpowiadające im elementy zbioru B (wartości funkcji):
x
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
….
f(x)
b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
…
PowyŜsza tabelka przedstawia równieŜ zbiór par uporządkowanych
(a
1
, b
1
) , (a
2
, b
2
) , (a
3
, b
3
) , ….
JeŜeli zbiór A ma zbyt wiele elementów (w szczególności, jeŜeli jest nieskończony) lub
jeŜeli nie precyzujemy, ile elementów ma zbiór A, to wypisujemy tylko jego niektóre ele-
menty.
MoŜna równieŜ taką tabelkę przedstawiać pionowo pisząc elementy zbioru A (argumen-
ty) po lewej stronie, a odpowiadające im elementy zbioru B po prawej. Tego rodzaju tabelki
funkcyjne wykorzystujemy w toku ćwiczeń doskonalących sprawności rachunkowe. Oto
przykład:
a
a +3
4
7
9
Definicja
Mówimy, Ŝe funkcja odwzorowuje zbiór A na zbiór B wtedy i tylko wtedy, gdy kaŜdy
element zbioru B jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowi zbioru A.
Definicja
Funkcję (odwzorowanie) ze zbioru A na zbiór B nazywamy róŜnowartościową wtedy
i tylko wtedy, gdy róŜnym elementom zbioru A odpowiadają róŜne elementy zbioru B.
Definicja
RóŜnowartościowe odwzorowanie ze zbioru A na zbiór B nazywamy odwzorowaniem wza-
jemnie jednoznacznym A na zbiór B.
Przedstawianie funkcji ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych (tzw. funk-
cji liczbo- liczbowych) za pomocą wykresów na płaszczyźnie wymaga posługiwania się osią
liczbową oraz układem współrzędnych na płaszczyźnie.
Definicja
Osią liczbową nazywamy parę (a, f) utworzoną z prostej a na której wyróŜniono pewien
punkt O oraz funkcji f ze zbioru punktów prostej a w zbiór liczb rzeczywistych. Funkcję f
określamy następująco: punktowi O przyporządkowujemy liczbę 0. Na jednej z półprostych
o początku O kaŜdemu punktowi A przyporządkowujemy liczbę dodatnią, która jest odległo-
ś
cią tego punktu od punktu O (przy ustalonej jednostce miary). Na drugiej półprostej kaŜ-
demu punktowi A' symetrycznemu do punktu A względem punktu O przyporządkowujemy
liczbę ujemną, która jest liczbą przeciwną do liczby przyporządkowanej punktowi A.
Liczby przyporządkowane punktom prostej w wyŜej opisany sposób nazywamy współ-
rzędnymi tych punktów na danej osi liczbowej.
Odniesienia do nauczania
JuŜ w I klasie szkoły podstawowej moŜna (i powinno się) przygotowywać ucznia do
zrozumienia pojęcia funkcji przez odpowiedni dobór ćwiczeń arytmetycznych (bez uŜywania
słowa funkcja, relacja ani teŜ nieodzownych, zdawałoby się, symboli f, x, y itp.). Szczególnie
wartościowe są zadania związane z konstruowaniem i uzupełnianiem tabelek funkcyjnych two-
rzonych na tle poznawanych działań arytmetycznych (np. a
→
a+2, b
→
15 – b).
W nauce o liczbach w klasach początkowych waŜne miejsce zajmuje oś liczbowa. Naj-
pierw na niej dzieci umiejscawiają liczby naturalne. Uświadamiają sobie, Ŝe między nimi takŜe
są inne liczby, będące długościami mierzonych przedmiotów (mówią, np. trochę więcej niŜ 2,
nieco mniej niŜ 5). Stąd tylko krok do umieszczania na osi ułamków. W klasach wyŜszych szko-
ły podstawowej odkryją na niej liczby całkowite i wymierne, a w gimnazjum liczby niewymier-
ne. Oś liczbowa jest wygodnym środkiem uprzytomnienia dzieciom, Ŝe zbiór liczb jest nie-
zmiernie „bogaty” (jest ich tyle, ile punktów na prostej) a oni poszczególne rodzaje liczb stop-
niowo odkrywają badając ich własności.
Literatura
T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997; s. 61 -
67.
Ćwiczenia
1.
Dane są zbiory A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Przedstaw za pomocą grafu
strzałkowego oraz za pomocą tabelki relacje:
a) {(2, 4), (1, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 4), (6, 3), (2, 7), (5, 8)},
b) {(2, 4), (1, 3), (3, 4), (4, 3), (5, 7), (6, 8)},
c) {(2, 4), (1, 4), (3, 4), (4, 3), (5, 4), (6, 3)},
d) {(2, 4), (1, 3), (3, 6), (4, 7), (6, 8)},
e) {(2, 3), (1, 4), (3, 5), (4, ), (5, 7), (6, 8)}.
2.
Rozstrzygnij, która z relacji z ćwiczenia 1 jest:
a) funkcją ze zbioru A w zbiór B,
b) funkcją ze zbioru A na zbiór B,
c) odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym zbioru A na zbiór B.
3.
Dane są zbiory A = {a, b, c, d, e}, B = {
, &, ♣, , }. Określ na cztery róŜne spo-
soby funkcje ze zbioru A na zbiór B. Wyjaśnij związek tych funkcji z równolicznością
zbiorów A i B.
4.
Uzasadnij, Ŝe nie jest funkcją ze zbioru liczb całkowitych w zbiór liczb całkowitych
przyporządkowanie liczbie a liczby b spełniającej warunek:
a) a
2
+ b
2
= 100,
b) a = b
2
,
c) |a + 2| = |b |.
5.
RozwaŜ przyporządkowania liczbie x
∈
N liczby y
∈
C określone warunkiem:
a) 2x = y, b) x = | y|,
c) y = 4x – 1, d) y = 4.
Rozstrzygnij, które z tych przyporządkowań jest funkcją ze zbioru N w zbiór C.
6.
Określ trzy funkcje ze zbioru D w zbiór D, gdzie D jest zbiorem klocków logicznych Die-
nesa, przy czym jedna z nich powinna być funkcją w podzbiór D, druga funkcją róŜnowar-
tością, a trzecia stałą.
7.
Określ po dwie funkcje zadane tabelkami funkcyjnymi związane z: a) dodawaniem, b) o-
dejmowaniem, c) mnoŜeniem, d) dzieleniem.
8.
Funkcję f zadano wzorem f(x) = 3x – 5. Wyznacz:
a) f(3), f(-2), f(a), f(a – 3)
b) taki argument dla którego wartość wynosi: 4, -3, a,
c) f(a + b) – f(a) – f(b).
