P
K
M I
wytrzymałość zmęczeniowa
P
K
M I
wytrzymałość zmęczeniowa
Wytrzymałość - obciążenie
• Wytrzymałość doraźna – obciążenia
statyczne (było)
• Wytrzymałość zmęczeniowa – obciążenia
zmienne w czasie (np. wielokrotne zginanie
metalowego pręta)
Współczynniki bezpieczeństwa ?
naprężenia zmienne w czasie – przyczyna zmęczenia !
t
σ
t
σ
Naprężenia zmienne w czasie
Naprężenia stałe w czasie
Samolot
–
obciążenia losowe
Zginanie zmęczeniowe szyny
Przykłady
• Obracający się zginany wał
• T
• f
• inne
naprężenia zmienne okresowe – np. sinusoidalnie zmienne
t
σ
σ
min
σ
m
σ
max
2
min
max
m
2
min
max
a
naprężenia średnie
amplituda naprężeń
Okres T [s] lub
częstotliwość f [Hz]
Przykład
1,2,3
naprężenia zmienne
t
σ
σ
min
σ
m
σ
max
max
min
R
a
m
współczynnik asymetrii cyklu
współczynnik stałości obciążenia
t
σ
σ
min
σ
m
σ
max
naprężenia zmienne
naprężenia stałe
jednostronny
dodatni
odzerowo
tętniący dodatni
wahadłowy
odzerowo
tętniący ujemny
max
min
R
a
m
R = +1
= +
0 < R < 1
1 <
< +
R = 0
= 1
R = -1
= 0
R = ?
= -1
Asymetria cyklu:
Współczynnik
stałości obciążenia
Związki R -
?
wykres W
öhlera – najczęściej cykle wahadłowe
N
σ
a
wykres W
öhlera
N
1/4
10
3
10
4
10
7
I
II
III
IV
I -
wytrzymałość.
quasi-statyczna
II - w. niskocyklowa
III - w. wysokocyklowa
IV - w. nieograniczona
1
·10
7
- stal
1
·10
8
-
metale nieżelazne
σ
a
wykres W
öhlera
Log N
σ
a
10
3
Z
g
Z
g0
-
zginanie wahadłowe
Z
gj
- zginanie odzerowe
Z
s0
-
skręcanie wahadłowe
Z
sj
-
skręcanie odzerowe
Z
rc
-
rozciąganie-ściskanie
wahadłowe
Z
rj
-
rozciąganie odzerowo
tętniące
Z
cj
-
ściskanie odzerowo
tętniące
Z
g
– granica zmęczenia
N
0
Nieograniczona wytrzymałość zmęczeniowa
wykres W
öhlera
Log N
10
3
N
0
Z
g
Z
g
– granica zmęczenia
N
σ
a
0
log
log
N
k
Z
N
k
g
a
N
N
Z
k
g
a
log
log
0
stal 45 (C45)
– wahadłowe zginanie:
σ
a
= 350 MPa
N = 10
5
Z
g
= 280 MPa
N
0
= 1,2
·10
6
k=65
Równanie nachylonej prostej:
Współczynnik:
σ
a
granica zmęczenia – stale konstrukcyjne
przybliżone wartości granic zmęczenia:
stale węglowe i stopowe obrabiane cieplnie:
Z
g0
=0,45
·R
m
Z
gj
=0,7
·R
m
Z
rc
=0,33
·R
m
Z
rj
=(0,55
÷0,63)·R
m
Z
s0
=0,25
·R
m
Z
sj
=(0,45
÷0,5)· R
m
zginanie
granica zmęczenia – ujęcie probabilistyczne (duże rozrzuty !) – zginane próbki stal C45
wykres zmęczeniowy Smitha – uwzględnia naprężenia średnie
– opisuje właściwości materiałowe - zmęczeniowe
σ
m
σ
m
σ
max
σ
min
σ
max
σ
min
σ
m
σ
m
R
m
σ
max
σ
min
Zg
const
m
Granice zmęczenia z
wykresów
Wöhlera
wykres zmęczeniowy Smitha - uproszczony
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
Zg
Jakie dane ?
Jakie N ?
Jakie R ?
wykres zmęczeniowy Haigha
σ
m
σ
a
R
e
Z
rc
Z
rj
/2
Z
rj
/2
R
e
R
m
const
R
max
min
Obciążenie
wahadłowe
Obciążenie
statyczne
Obciążenie odzerowo-tętniące
Zadanie 1
– wykres Smitha
1.
Narysować wykres Smitha wg stałych materiałowych
podanych w tabeli.
2.
Obliczyć dopuszczalne amplitudy naprężenia σ
a1
oraz
σ
a2
tak, aby element
miał nieograniczoną wytrzymałość
zmęczeniową.
własności mechaniczne [MPa]
R
m
R
e
Z
g0
Z
gj
650
430
280
470
Element ze stali 45 poddany jest czystemu zginaniu, przy czym
naprężenie średnie wynosi σ
m1
=100 MPa lub
σ
m2
=350 MPa.
Zadanie 1
– wykres Smitha
własności mechaniczne [MPa]
R
m
R
e
Z
g0
Z
gj
650
430
280
470
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
R
e
Z
gj
Z
gj
/2
Z
g0
-Z
g0
σ
m2
σ
a2
σ
a1
σ
m1
σ
m
Z
g
log N
σ
Z
g
brak
pęknięć
pęknięcie
krytyczne
wzrost
pęknięcia
proces zniszczenia zmęczeniowego
proces zniszczenia zmęczeniowego – przełom zmęczeniowy
1 - ognisko
2 - strefa przyogniskowa
3 - uskoki pierwotne
4 -
prążki zmęczeniowe
5 -
uskoki wtórne
6 -
strefa przejściowa
7 - strefa resztkowa
gładkie
Właściwości zmęczeniowe
• Współczynnik kształtu
α
k
(wałek z karbem)
• Współczynnik działania karbu
β
k
(wrażliwość materiału na działanie karbu
η
k
- materiał kruchy i plastyczny)
• Współczynnik wielkości przedmiotu
ε
• Współczynnik obróbki powierzchni
β
p
•
współczynnik kształtu – karb – zmiana rozkładu naprężeń (spiętrzenie) ! Zmęczenie
Rowki, otwory, wycięcia, gwinty …
rozciąganie
zginanie
skręcanie
n
k
max
n
k
max
n
k
max
współczynnik kształtu – zależny wyłącznie od geometrii karbu
,
,
r
R
r
f
k
r
R
współczynnik kształtu
skręcanie pręta okrągłego
z odsadzeniem
R = D/2 = 24 mm
r = d/2 = 20 mm
R/r = 24/20 = 1,2
ρ = 4 mm
ρ/r = 4/20 = 0,2
α
k
= 1,35
ρ = 2 mm
ρ/r = 2/20 = 0,1
α
k
= 1,76
ρ = 1 mm
ρ/r = 1/20 = 0,05 α
k
= 2,4
Zmniejszenie wpływu karbu (współczynnika kształtu) – odciążenie – przykłady
wgłębienie
wgłębienie
rowek odciążający
rowek odciążający
zaokrąglenie
zaokrąglenie eliptyczne
rowek i zaokrąglenie
pierścień dystansowy
współczynnik działania karbu
-
model
k
gł
k
Z
Z
Z
gł
-
granica zmęczenia próbki gładkiej
Z
k
-
granica zmęczenia próbki z karbem
1
1
k
k
k
η
k
-
współczynnik wrażliwości
materiału na działanie karbu
η
k
= 1 dla materiałów doskonale sprężystych
i doskonale kruchych
η
k
= 0 dla materiałów doskonale
plastycznych
z wyjątkiem żeliwa szarego -
η
k
bliskie zeru
Z wykresów lub ze wzoru lub będzie podany:
n
k
max
współczynnik kształtu
współczynnik działania karbu
ρ
R
m
η
k
α
k
β
k
4
810
0,875
1,65
1,58
Stal C45 o Rm = 810 MPa
65
1.
k
element z karbem o ρ=4 mm
współczynnik działania karbu – obciążenie wahadłowym zginaniem wałka
ρ
Z
α
k
β
k
4
380
1,65
1,54
Wpływ wielkości przekroju
10
Z
Z
d
d
Z
10
Z
-
wytrzymałość zmęczeniowa próbki o dowolnej średnicy
-
wytrzymałość zmęczeniowa próbki z tego samego
materiału o średnicy 7- 10 mm
Wytrzymałość zmęczeniowa maleje wraz
ze wzrostem wymiarów elementów
współczynnik wielkości przedmiotu (stal konstrukcyjna) w odniesieniu do wałka Φ10 mm
d
Z
α
k
1/
ε
50
380
1,65
1,39
10
Z
Z
d
współczynnik obróbki powierzchni
• Obróbka skrawaniem
• do obliczeń wytrzymałościowych elementów
z karbami stosuje się zależność;
obr
pol
p
Z
Z
pol
Z
obr
Z
-
wytrzymałość zmęczeniowa próbki polerowanej
-
wytrzymałość zmęczeniowa próbki po (różnej)
obróbce skrawaniem
1
p
k
-
współczynnik działania karbu
k
współczynnik obróbki powierzchni (odniesienie – próbka polerowana)
R
a
β
p
obr
pol
p
Z
Z
810
10
1,2
1,1
β
p
’
rozciąganie i zginanie
skręcanie
1
p
k
szlifowane
toczone
Zgrubnie toczone
Karb obrączkowy
R
a
–
średnie arytmetyczne odchylenie profilu od linii średniej
βp
βp=βp’=1,
dla próbek
polerowanych
Obróbki polepszające warstwę wierzchnią
• Kulowanie
• Wałeczkowanie i krążkowanie
• Młotkowanie
• Rozwalcowanie otworów i wciskanie stempli
• Przeprężanie
Obróbka cieplna / chemiczna
– Hartowanie
– Umacnianie laserowe
– Nawęglanie
– Azotowanie
– Cyjanowanie
– Wegloazotowanie
– itp,…
– Powlekanie galwaniczne zwiększa odporność na ścieranie ale
obniża granicę zmęczenia
współczynnik wpływu obróbki powierzchni
obr
k
obróbka
rodzaj próbki średnica [mm]
β
obr
kulowanie
gładka
7-20
0,77-0,91
30-40
0,91-0,93
z karbem
7-20
0,40-0,70
30-40
0,57-0,90
azotowanie
gładka
8-15
0,80-0,87
30-40
0,87-0,90
z karbem
8-15
0,33-0,52
30-40
0,50-0,77
obr
obr
Z
Z
Naprężenia nominalne i maksymalne
n
max
współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
a
a
Z
Z
max
δ - współczynnik bezpieczeństwa
Z -
granica zmęczenia
ε - współczynnik wielkości przedmiotu
β - współczynnik działania karbu i powierzchni
σ
a
-
nominalna amplituda obciążenia
przyjmowana wartość współczynnika bezpieczeństwa δ
δ
przypadek
1,3
÷1,5
wykorzystanie wyników badań eksperymentalnych
1,5
÷1,7
zwykła dokładność obliczeń, elementy niewielkie, dobra
technologia wykonania
1,7
÷2,0
zwykła dokładność obliczeń, elementy duże lub o średniej
technologii wykonania
2,0
÷3,0
obliczenia orientacyjne, ciężkie warunki pracy, elementy
odlewane
ZADANIE 1 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
Wyznaczyć współczynnik bezpieczeństwa δ
1
dla
pręta ze stali C35
(normalizowanej) o
średnicy D
=
20 mm
obciążonego wahadłowo zmiennym
momentem
zginającym o amplitudzie M
=50 Nm.
Własności stali: Z
g0
=255 MPa,
R
m
=
550 MPa.
Określić współczynnik bezpieczeństwa δ
2
jeśli na pręcie
wykonany zostanie karb
obrączkowy o promieniu ρ
=
2 mm, przy czym
średnica
pręta ulega w tym miejscu zmniejszeniu do d
=
15 mm.
Wał został dokładnie
wytoczony,
wartość R
a
=
10
μm.
a
Z
1
p
k
32
3
d
M
W
M
x
a
σ
m
R
e
Z
go
Z
gj
Z
rj
/2
-Z
rc
a
Z
1
p
k
32
3
d
M
W
M
x
a
σ
a
Z = Z
go
A
ZADANIE 1 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
ZADANIE 1 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
ZADANIE 1 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
ZADANIE 1 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. zmęczeniowy
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
-Z
rc
A
A’’
A
0
A’
L
L
0
L’’
L’
'
'
max
max
AA
LL
A
L
Założenie: dla R = const
max
min
R
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. plastyczny
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
-Z
rc
B
B’’
B
0
B’
P
P
0
P’’
P’
'
'
max
max
BB
PP
B
P
e
Dla R = const
max
min
R
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. zmęczeniowy
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/2
σ
ma
x
σ
min
-Z
rc
A
A’
L
L’
'
'
max
max
AA
LL
A
L
m
a
rc
rj
rj
rc
m
a
rc
Z
Z
Z
Z
Z
2
Dla R = const
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp. zmęczeniowy
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/2
σ
ma
x
σ
min
-Z
rc
C
C’=S’
S
'
'
max
max
CC
SS
C
S
a
m
rc
a
rj
rj
rc
m
rc
Z
Z
Z
Z
Z
2
Dla
σ
m
= const
ZADANIE 2 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
Wał obciążony jest momentem skręcającym M = M
m
± M
a
= 5000
±2000 Nm.
W pewnym miejscu jego
średnica zmienia się z D = 80 mm na d = 60 mm, przy
czym wykonane jest tam odsadzenie o promieniu
ρ = 5 mm.
1.
Narysować wykres Smitha jeżeli dane stali C55 z której wykonano wał są
następujące: Z
s0
= 225 MPa; Z
sj
= 405 MPa; R
es
= 320 MPa; R
m
= 700 MPa.
2.
Określić
dopuszczalną
chropowatość
wału
jeżeli
współczynnik
bezpieczeństwa ma być nie mniejszy niż δ = 1,45. W przypadku
przeciążenia współczynnik asymetrii cyklu pozostaje stały.
16
3
d
M
a
ZADANIE 2 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 -
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
hipoteza kumulacji uszkodzeń
N
σ
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
n
1
n
2
n
3
n
4
n
5
N
1
N
2
N
3
N
4
N
5
=
hipoteza Palmgrena-Minera:
k
i
i
i
N
n
D
1
1
ZADANIE 3
– kumulacja uszkodzeń
Okrągłe cięgno pokazane na rysunku obciążone jest naprężeniami blokami wg.
tabeli.
Obliczyć maksymalną liczbę bloków do zniszczenia, jeżeli granica
zmęczenia wynosi Z
g
=280 MPa przy N
0
= 1,2
·10
6
cykli,
zaś dla σ
x
= 350 MPa
zmniejsza
się do N
x
= 10
5
.
Pozostałe stałe materiałowe: R
e
= 290 MPa,
R
m
= 480 MPa.
lp.
amplituda
obciążenia [kN]
liczba
cykli
1
10,5
10
2
7,5
300
3
8,5
80
4
9
50
D = 10
m
m
d = 7
m
m
= 1 mm
ZADANIE 3
– kumulacja uszkodzeń
ZADANIE 3
– kumulacja uszkodzeń
ZADANIE 3
– kumulacja uszkodzeń
wytrzymałość niskocyklowa
ε
ac
-
amplituda odkształcenia całkowitego
ε
apl
-
amplituda odkształcenia plastycznego
ε
as
-
amplituda odkształcenia sprężystego
wytrzymałość niskocyklowa
N
ε
apl
N
σ
a
σ
a
= const
ε
apl
= const
materiał wykazujący:
umocnienie
,
osłabienie
,
stabilność