Część zadaniowa
Zadanie 1 Ile można utworzyć liczb parzystych siedmiocyfrowych takich, że cyfra zero nie
występuje na pierwszym miejscu oraz cyfry w danej liczbie się nie powtarzają (2 punkty).
Zadanie 2 Kanałem łączności nadaje się tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC
odpowiednio z prawdopodobieństwami 0.4, 0.3 i 0.3. Litery te (sygnały) podlegają niezależ-
nie losowym zakłóceniom (przekłamaniom) w rezultacie czego np. litera A może być odebra-
na jako B albo C (zamiast A). Prawdopodobieństwa poprawnego przesłania albo przekłama-
nia podaje tablica.
Sygnały odebrane
Sygnały nadane
A
B
C
A
0.8
0.1
0.1
B
0.1
0.8
0.1
C
0.1
0.1
0.8
a)
znaleźć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału AAAA (2 punkty),
b)
na wyjściu odebrano sygnał ACAA, oblicza prawdopodobieństwo, że został nadany
jako AAAA (2 punkty).
Zadanie 3 Dobrać tak stałą C by funkcja
( )
2
dla
1
1
0 poza tym
C
x
p x
x
<
=
−
była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (1 punkt), a następnie: a) wyznaczyć
jej dystrybuantę (2 punkty), b) obliczyć
(
)
0
1/ 4
P
X
≤ <
(2 punkty), c) obliczyć wartość
ś
rednią (2 punkt), d) wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y jeśli Y = X
5
(3 punkty)
Zadanie 4 Dany jest rozkład zmiennej losowej (X, Y) w postaci tabeli
X
2
3
4
1 1/6 1/6 1/6
2
0
1/6
0
Y
3 1/6
0
1/6
a) obliczyć dystrybuantę (2 punkty) b) znaleźć rozkłady brzegowe (1 punkt) c) sprawdzić nie-
zależność zmiennych losowych X Y (1 punkt)
Część teoretyczna (na oddzielnej kartce)
1.
Podaj i opisz twierdzenie Bayesa (3p)
2.
Podaj definicję i wymień właściwości dystrybuanty zmiennej losowej (5p)
3.
Podaj częstościową definicję prawdopodobieństwa (2p)