Zestaw 6

Topologiczne sprzężenie

6.1. (Z) Rozważmy funkcję kwadratową f (x) = Ax

2

+ Bx + C, x ∈ R. Wykaż, że istnieją takie

liczby α, β, c ∈ R, że funkcja liniowa τ (x) = αx + β jest topologicznym sprzężeniem funkcji f z
funkcją kwadratową q

c

(x) = x

2

+ c.

6.2. (Z) Znajdź funkcję kwadratową postaci q(x) = x

2

+ c, która jest topologicznie sprzężona z

odwzorowaniem logistycznym L(x) = 4x(1 − x).

6.3. Rozważmy rodzinę funkcji f

m

: R → R, m ∈ R

+

, określonych następująco

∀

x∈R

f

m

(x) = mx,

m > 0.

a) (Z) Wykaż, że jeżeli a ∈ (0, 1) i b ∈ (1, ∞), to funkcje f

a

, f

1

, f

b

nie są parami topologicznie

sprzężone.

b) Wykaż, że jeżeli a, b ∈ (0, 1), to f

a

∼ f

b

.

c) Wykaż, że jeżeli a, b ∈ (1, ∞), to f

a

∼ f

b

.

6.4. (Z) Dla liczb a, b ∈ R definiujemy funkcję f

a, b

: R → R wzorem

∀

x∈R

f

a, b

(x) = ax + b.

Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b, b

1

, b

2

∈ R:

a) a 6= 1 ⇒ ∀

b∈R

f

a, b

∼ f

a, 0

,

b) b

1

, b

2

6= 0 ⇒ f

1, b

1

∼ f

1, b

2

,

c) b 6= 0 ⇒ f

1, b

6∼ f

1, 0

.