21
Fraktale – definicja encyklopedyczna.
fraktal [ang-łac] mat. skomplikowana figura geometryczna, o której na pierwszy rzut oka trudno
powiedzie
ć
, czy jest krzyw
ą
, powierzchni
ą
, czy ma jeszcze wi
ę
kszy wymiar; charakteryzuje j
ą
swoista
regularno
ść
w nieregularno
ś
ci - stopie
ń
tej regularno
ś
ci jest okre
ś
lony liczb
ą
niecałkowit
ą
(wymiar fraktalny).
Fraktale maj
ą
swoje pierwowzory w
ś
wiecie fizycznym; s
ą
nimi krzywe i powierzchnie ilustruj
ą
ce wszelkie
przypadkowe nieregularno
ś
ci: ruchy Browna, wahania cen giełdowych, ró
Ŝ
norodne kształty płatków
ś
niegu,
zakr
ę
ty linii brzegowych i inne; do bada
ń
matematycznych wprowadził je w 1975 francuski matematyk Benoit
Mandelbrot (urodzony 1924 w Warszawie). [12]
Podstawowe cechy fraktali.
B. Mandelbrot w swoim dziele „Fractal Geometry of Nature” podaje trzy charakterystyczne cechy fraktali.
S
ą
to:
a. okre
ś
lenie za pomoc
ą
zale
Ŝ
no
ś
ci rekurencyjnej;
b. posiadanie cechy samopodobie
ń
stwa;
c. wymiar nie b
ę
d
ą
cy liczb
ą
całkowit
ą
.
Fraktal (Wikipedia)
(łac. fractus – złamany, cz stkowy) to zbiór punktów odpowiedniej przestrzeni euklidesowej (np. płaszczyzny), dla
którego dwie wielko ci matematyczne – wymiar topologiczny i wymiar Hausdorffa – s ró ne (wg. definicji
Mandelbrota wymiar Hausdorffa powinien by ci le wi kszy). Dla fraktala mianowicie wymiar Hausdorffa nie jest
liczb całkowit .
Poj cie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego
pochodzenia Benoit Mandelbrota w latach siedemdziesi tych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota
nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcze niej istniała ju cała gama zbiorów o niecałkowitym
wymiarze Hausdorffa, z tym e nikt nie traktował ich inaczej, ni jako ciekawostki matematyczne, stosowane jako
kontrprzykłady pewnych twierdze . Przykładami tego typu zbiorów, zwanych dzi "klasycznymi fraktalami" s
mi dzy innymi: zbiór Cantora, krzywa Kocha, "diabelskie schody", czy krzywa Peano, smok Heighwaya, trójk t
Sierpi skiego lub kostka Mengera (trzy pierwsze zbiory znane były jeszcze w XIX wieku). Z kolei fraktale
otrzymane przez Mandelbrota s zwi zane ze zbiorami Julii, które pi dziesi t lat wcze niej badał Gaston Julia.
Takie za zbiory jak zbiór Mandelbrota, zbiór Julii, "płon cy statek" s atraktorami dla pewnych odwzorowa , lecz
nie mog by uzyskane na drodze konstrukcji klasycznych, jak to ma miejsce w przypadku klasycznych fraktali.
Za jedn z cech charakterystycznych fraktala uwa a si samopodobie stwo, to znaczy podobie stwo fraktala do
jego cz ci. Co wi cej, zbiory fraktalne mog by samoafiniczne, tj. cz
zbioru mo e by odwzorowaniem cało ci
przez pewne przekształcenie afiniczne. Dla figur samopodobnych mo na okre li wielko zwan wymiarem
samopodobie stwa lub wymiarem pudełkowym. S to wielko ci b d ce uogólnieniem klasycznych definicji
wymiaru.
Pierwsze cztery kroki generacji zbioru Cantora.
Konstrukcja krzywej Kocha.
Konstrukcja krzywej Peano.
Konstrukcja krzywej Hilberta.
Konstrukcja drzewa pitagorejskiego
Kopiarka wielokrotnie redukuj ca (KWR)
Zbiór Julii
Niech p b dzie punktem na płaszczy nie zespolonej:
p = x + yi
z
0
= p
(c - liczba zespolona, od której zale y kształt zbioru Julii. Najciekawsze efekty
powstaj , je li c jest blisko brzegu zbioru Mandelbrota.)
Zbiór Julii tworz te punkty, dla których granica ci gu z
n
jest zbie na:
co jest równowa ne:
