2009-03-23
1
Model ryzyka łącznego i jego
charakterystyki
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Model ryzyka łącznego
– rozkłady łącznej wartości szkód
• Łączna wartość szkód wyraża się wzorem
• Wartości poszczególnych szkód dla
wszystkich ryzyk w portfelu są nawzajem
niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie
• N jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym
(np. o rozkładzie Poissona, dwumianowym lub
ujemnym dwumianowym), niezależną od
wartości szkód
1
2
N
X
Y
Y
Y
=
+
+
+
1
2
3
,
,
,...
Y Y Y
1
2
3
,
,
,...
Y Y Y
Model ryzyka łącznego
– podstawowe charakterystyki
• Wartość oczekiwana łącznej wartości szkód
• Ze wzoru na dekompozycję wariancji
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )
1
2
1
2
1
1
1
1
|
|
|
|
N
N
N
X
Y
Y
Y
Y
Y
Y
N
Y
N
Y
N
Y
N
N
Y
N
Y
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
⋅
=
E
E
E E
E E
E
E
E
E
E
E
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
|
|
X
X N
X N
=
+
2
2
2
D
E D
D E
2009-03-23
2
Model ryzyka łącznego
– podstawowe charakterystyki, c. d.
• Oznaczmy Ponieważ
więc otrzymujemy
• Ile wynosi
(
)
|
Y
X N
N
µ
=
⋅
E
( )
1
.
Y
Y
µ
=
E
(
)
(
)
(
)
( )
2
|
Y
Y
X N
N
N
µ
µ
=
⋅
=
2
2
2
D E
D
D
(
)
(
)
|
?
X N
2
E D
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
1
1
|
|
Y
n
n
i
Y
i
Y
i
i
X
N
n
X
N
N
n
Y
n
Y
n
Y
µ
µ
µ
=
=
=
=
−
=
=
−
=
−
=
⋅
∑
∑
2
2
D
E
E
E
D
Model ryzyka łącznego
– podstawowe charakterystyki, c. d.
• Zatem
• Ostatecznie
• Zadanie: porównać wariancję łącznej wartości
szkód, gdy N ma rozkład Poissona, ujemny
dwumianowy i dwumianowy z wariancją, gdy
N jest deterministyczne, równe wartościom
oczekiwanym powyższych rozkładów.
(
)
( )
|
X
N
N
Y
=
⋅
2
2
D
D
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( ) (
)
2
|
|
X
X
N
X
N
N
Y
N
Y
=
+
=
⋅
+
⋅
2
2
2
2
2
D
E D
D
E
E
D
D
E
Funkcja generująca kumulanty
rozkładu złożonego
• Rozkład zmiennej X równej łącznej wartości
szkód nazywa się rozkładem złożonym
• Jak policzyć momenty wyższych rzędów i
kumulanty rozkładu złożonego?
• Mamy
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
1
1
1
exp
exp
|
exp
exp
ln
exp
exp
N
X
i
i
N
Y
M
t
tX
t
Y
N
tY
N
tY
N C
t
=
=
=
=
=
=
∑
E
E E
E E
E
E
E
i
i
2009-03-23
3
Funkcja generująca kumulanty
rozkładu złożonego
• Wniosek:
• Funkcja generująca kumulanty rozkładu
złożonego jest złożeniem funkcji
generujących kumulanty!
• Kumulanty wyższych rzędów rozkładu
złożonego obliczymy więc z formuły
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
ln
exp
X
Y
N
Y
C
t
N C
t
C
C
t
=
=
E
i
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
,
0
0
n
n
n X
X
N
Y
t
c
C
C
C
t
=
=
=
Kumulanty rozkładu złożonego
• Zachodzą formuły
• Zadanie: wyprowadzić powyższe wzory dla
wartości oczekiwanej i wariancji
2
2
2
2
3
2
2
3,
3,
3,
4
2
2
2
4,
4,
3,
3,
2
4
4,
,
,
3
,
6
4
3
X
N
Y
X
N
Y
N
Y
X
N
Y
N
Y
Y
N
Y
X
N
Y
N
Y
Y
N
Y
Y
N
Y
N
Y
c
c
c
µ
µ µ
σ
σ
µ
µ σ
µ
µ
µ
σ
µ σ
µ µ
µ
µ
µ
σ
σ
µ µ
σ
σ
µ
=
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Złożony rozkład Poissona
• Gdy zmienna N ma rozkład Poissona, wówczas
rozkład zmiennej X nazywa się złożonym
rozkładem Poissona (CPD) o parametrach
gdzie zaś jest dystrybuantą
rozkładu zmiennej Y
• Funkcja generująca kumulanty CPD
gdzie jest FGM rozkładu zmiennej Y
( ,
),
Y
F
λ
N
λ = E
Y
F
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
exp
1
1 ,
X
N
Y
Y
Y
C
t
C
C
t
C
t
M
t
λ
λ
=
=
−
=
−
Y
M
2009-03-23
4
Kumulanty złożonego rozkładu
Poissona
• W przypadku złożonego rozkładu Poissona
zachodzi
w szczególności
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
,
0
,
0
1
0
,
1,2,...
n
n
n X
X
Y
n
t
n
n
Y
n Y
d
c
C
M t
dt
M
m
Y
n
λ
λ
λ
λ
=
=
=
−
=
=
=
=
E
i
i
(
)
2
2
2
2,
,
X
Y
X
Y
Y
Y
m
µ
λ µ
σ
λ
λ σ
µ
=
=
=
+
i
i
i
Twierdzenie o dodawaniu dla
złożonego rozkładu Poissona
• Niech będą niezależnymi
zmiennym o złożonych rozkładach Poissona z
parametrami
• Niech wówczas
gdzie
1
2
,
,...,
n
X
X
X
(
) (
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
,...,
,
n
n
F
F
F
λ
λ
λ
1
2
...
,
n
S
X
X
X
=
+
+
+
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
1
1
1
1
1
...
1
...
1
...
1
n
S
X
X
n
n
n
n
C
t
C
t
C
t
M t
M
t
M t
M
t
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
+
+
=
−
+
+
−
=
+
+
−
1
2
...
n
λ
λ
λ
λ
=
+
+
+
Twierdzenie o dodawaniu dla
złożonego rozkładu Poissona, c. d.
• Twierdzenie: Suma niezależnych zmiennych o
złożonym rozkładzie Poissona z parametrami
ma również
złożony rozkład Poissona z parametrami
gdzie
• Pytanie: czy da się sformułować analogiczne
twierdzenie dla złożonych rozkładów –
dwumianowego i ujemnego dwumianowego?
(
) (
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
,...,
,
n
n
F
F
F
λ
λ
λ
(
)
,
,
F
λ
( )
( )
( )
1
1
1
...
,
...
n
n
n
F t
F t
F t
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
+
+
=
+
+
2009-03-23
5
Twierdzenie o dodawania CPD -
uzasadnienie
• Dla zmiennej X o dystrybuancie zachodzi
wzór
• Jeżeli są dystrybuantami,
wówczas ich kombinacja wypukła jest
dystrybuantą pewnej zmiennej Y i zachodzi
X
F
( )
( )
( )
xt
xt
X
X
X
M
t
e f
x dx
e dF
x
+∞
+∞
−∞
−∞
=
=
∫
∫
1
2
,
,...,
n
F F
F
1
n
i
i
i
F
α
=
∑
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
1
1
1
1
yt
Y
Y
n
n
yt
yt
i
i
i
i
i
i
n
n
yt
i
i
i
i
i
i
M
t
e dF
y
e d
F y
e
dF y
e dF y
M t
α
α
α
α
+∞
−∞
+∞
+∞
=
=
−∞
−∞
+∞
=
=
−∞
=
=
=
=
=
∫
∑
∑
∫
∫
∑
∑
∫
Twierdzenie o dodawaniu dla innych
rozkładów złożonych
• X – złożony rozkład dwumianowy, wówczas
gdzie
•
- złożone rozkłady dwumianowe
• Zachodzi słaba wersja twierdzenia o
dodawaniu, gdy
• Zadanie: sformułować słabą wersję
twierdzenia o dodawaniu dla
( )
( )
(
)
( )
(
)
ln 1
,
X
N
Y
Y
C
t
C
C
t
m
p
pM
t
=
=
−
+
(
)
~
,
N
Bin m p
1
2
,
,...,
n
X
X
X
( )
( )
(
)
1
...
1
ln 1
,
n
n
X
X
i
i
i
C
t
m
p
pM t
+
+
=
=
−
+
∑
1
1
...
,
...
n
n
p
p M
M
=
=
=
=
(
)
~
,
N
NegBin r q