WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 11

1

Zadanie 1
Zbadać przekrojami i narysować podane powierzchnie:

a) z = x

2

− y

2

b)

y

2

9

+

z

2

4

−

x

2

16

= 1

c) 36y

2

− 4x

2

− 9z

2

− 144y + 108 = 0

d) y

2

+ 4z

2

− 8x − 16 = 0

Zadanie 2
Jakie powierzchnie przedstawiają poniższe równania? Narysować je.

a) x

2

+ 2z − 8 = 0

b) 9x

2

+ 36y

2

+ 16z

2

− 18x − 72y − 32z − 83 = 0

c) 4y

2

+ z

2

− 2x − 4 = 0

d) z

2

= x

2

+ y

2

e) z = 2

q

x

2

+ y

2

f) z = −

q

x

2

+ y

2

g) y = −

√

9 − x

2

− z

2

h) x =

q

9 − y

2

− z

2

i) x + y + z = 1

j) x

2

− 4y

2

− 9z

2

= 1

k) x

2

− y

2

= 4

l) x

2

+ y

2

= 4

m) z = 1 −

q

2x − x

2

+ 4y − y

2

n) z = 1 −

q

(x + 2)

2

+ (y − 3)

2

Zadanie 3
Narysować bryłę ograniczoną powierzchniami:

a) x

2

+ y

2

= 1, z

2

= x

2

+ y

2

b) x + y + z − 1 = 0, x = 0, y = 0, z = 0

c) y = −

√

1 − x

2

− z

2

, y = 0

d) z =

q

9 − x

2

− y

2

,

x

2

4

+

y

2

4

= 1

Zadanie 4
Wykazać, że nie istnieją granice:

a) lim

x→0
y→0

2x

2

y

x

3

+ y

3

b) lim

x→0
y→0

1

y|x|

sin(xy)

c) lim

x→0
y→0

xy

q

(xy)

2

d) lim

x→0
y→0

x

y

sin

y

x

e) lim

x→0
y→0

5x

2

y

2

x

4

+ 3y

4

f) lim

x→0
y→0

sin 2y

√

x

2

+ y

2

Zadanie 5
Dla jakich wartości parametu k funkcja

f (x, y) =

(

e

y

2

cos

1
x

,

(x, y) 6= (0, 0)

k,

(x, y) = (0, 0)

jest ciągła?

WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 11

2

Zadanie 6
Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie (0, 0), jeżeli:

a) f (x, y) =



2 sin x + sin y,

(x, y) 6= (0, 0)

0,

(x, y) = (0, 0)

b) f (x, y) =











x

3

− y

2

x − y

,

(x, y) 6= (0, 0)

0,

(x, y) = (0, 0)

.

Zadanie 7
Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:

a) z = x

3

+ 5xy

2

− y

3

b) z = ye

xy

c) z = e

− cos x

sin y

d) z = arc sin(xy)

e) z = (5x

3

y

2

+ 1)

3

+ 11

3

f) z = ln(x + y ln y)

g) z = x sin

3

(1 + xy)

h) z = ln(x

2

+ y

2

)

i) z = x

y

j) z =

 

x

y

!

y

k) z = (2x + y)

2x+y

Odpowiedzi: 1. a) paraboloida hiperboliczna, b) hiperoloida jednopowłokowa, c) hiperboloida dwu-
powłokowa, d) paraboloida eliptyczna; 2. a) walec paraboliczny, b) elipsoida, c) paraboloida eliptyczna,
d) stożek eliptyczny, e) górna część stożka, f ) dolna część stożka, g) dolna półsfera, h) górna półsfera,
i) płaszczyzna, j) hiperboloida dwupowłokowa, k) walec hiperboliczny, l) walec obrotowy, m) dolna
półsfera, n) dolna część stożka eliptycznego.