MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
1
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 18
Z4/18.1. Zadanie 18
Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla ramy płaskiej
przedstawionej na rysunku Z4/18.1. Wymiary ramy podane są w metrach.
A
B
C
D
E
F
[m]
2,0
5,0
2,0
4,
0
6,0
12,0 kN/m
16
,0
k
N/
m
10,0 kN
24,0 kNm
Rys. Z4/18.1. Rama płaska
Analiza kinematyczna ramy przedstawionej na rysunku Z4/18.1 znajduje się w zadaniu 17. Zgodnie z
tamtym zadaniem rysunek Z4/18.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.
A
B
C
D
E
F
[m]
2,0
5,0
2,0
4,0
6,
0
12,0 kN/m
16
,0
k
N/m
10,0 kN
24,0 kNm
14,57 kN
84,57 kN
64,0 kN
Rys. Z4/18.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w ramie płaskiej
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
2
W dalszej części przy wyznaczaniu wartości siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu
zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.
Z4/18.2. Wykres siły normalnej
Zgodnie z wytycznymi przedstawionymi w rozdziale 4 we wszystkich przedziałach siła normalna
będzie stała.
A
14,57 kN
64,0 kN
N
AB
Rys. Z4/18.3. Siła normalna w przedziale AB
Rysunek Z4/18.3 przedstawia siłę normalną w przedziale AB. Zgodnie z nim siła ta wynosi
N
AB
=
14,57 kN
.
(Z4/18.1)
Pręt ten jest więc rozciągany.
Rysunek Z4/18.4 przedstawia siłę normalną w przedziale BC. Zgodnie z nim siła ta wynosi
N
BC
=
64,0 kN
.
(Z4/18.2)
Pręt ten jest więc rozciągany.
Rysunek Z4/18.5 przedstawia siłę normalną w przedziale CD. Zgodnie z nim siła ta wynosi
N
CD
=
16,0⋅4,0=64,0 kN
.
(Z4/18.3)
Pręt ten jest więc rozciągany.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
3
A
B
[m]
6,0
24,0 kNm
14,57 kN
64,0 kN
N
BC
Rys. Z4/18.4. Siła normalna w przedziale BC
D
E
F
[m]
2,0
4,
0
12,0 kN/m
16
,0
kN/
m
10,0 kN
84,57 kN
N
CD
Rys. Z4/18.5. Siła normalna w przedziale CD
E
10,0 kN
N
DE
Rys. Z4/18.6. Siła normalna w przedziale DE
Rysunek Z4/18.6 przedstawia siłę normalną w przedziale DE. Zgodnie z nim siła ta wynosi
N
DE
=
0,0 kN
.
(Z4/18.4)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
4
F
16
,0
k
N/m
84,57 kN
N
DF
Rys. Z4/18.7. Siła normalna w przedziale DF
Rysunek Z4/18.7 przedstawia siłę normalną w przedziale DF. Zgodnie z nim siła ta wynosi
N
DF
=−
84,57 kN
.
(Z4/18.5)
Pręt ten jest więc ściskany.
Rysunek Z4/18.8 przedstawia ostateczny wykres siły normalnej w ramie płaskiej. Aby był on czytelny
nie został narysowany w jednakowej skali dla całej ramy.
N [kN]
64,0
14
,5
7
84
,5
7
0,0
Rys. Z4/18.8. Wykres siły normalnej w ramie płaskiej
Z4/18.3. Wykres siły poprzecznej
Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach CD oraz DF siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast
w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. W punkcie C nie działa żadna siła skupiona
prostopadła do osi pręta więc siła poprzeczna nie dozna skoku w tym punkcie.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
5
A
14,57 kN
64,0 kN
T
AB
Rys. Z4/18.9. Siła poprzeczna w przedziale AB
Rysunek Z4/18.9 przedstawia siłę poprzeczną w przedziale AB. Zgodnie z nim siła ta wynosi
T
AB
=
64,0 kN
.
(Z4/18.6)
T
BC
A
B
[m]
6,0
24,0 kNm
14,57 kN
64,0 kN
Rys. Z4/18.10. Siła poprzeczna w przedziale BC
Rysunek Z4/18.10 przedstawia siłę poprzeczną w przedziale BC. Zgodnie z nim siła ta w tym
przedziale oraz z lewej strony punktu C wynosi.
T
BC
=
T
C
L
=−
14,57 kN
.
(Z4/18.7)
W punkcie C nie działa żadna siła skupiona więc wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu C
wynosi
T
C
P
=−
14,57 kN
.
(Z4/18.8)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
6
D
E
F
[m]
2,0
5,0
4,
0
12,0 kN/m
16
,0
kN/
m
10,0 kN
84,57 kN
T
C
(P)
D
E
F
[m]
2,0
4,
0
16
,0
k
N/
m
10,0 kN
84,57 kN
T
D
(L)
a)
b)
Rys. Z4/18.11. Siła poprzeczna w przedziale CD
Rysunek Z4/18.11 a) przedstawia siłę poprzeczną z prawej strony punktu C. Zgodnie z nim siła ta
wynosi.
T
C
P
=−
84,5710,012,0⋅5,0=−14,57 kN
.
(Z4/18.9)
Jak widać wartość ta równa się wartości obliczonej ze wzoru (Z4/18.8).
Rysunek Z4/18.11 b) przedstawia siłę poprzeczną z lewej strony punktu D. Zgodnie z nim siła ta
wynosi.
T
C
P
=−
84,5710,0=−74,57 kN
.
(Z4/18.10)
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału CD ma wartości jednakowych znaków. W przedziale
tym nie będzie ona miała więc miejsca zerowego.
T
DE
E
10,0 kN
Rys. Z4/18.12. Siła poprzeczna w przedziale DE
Rysunek Z4/18.12 przedstawia siłę poprzeczną w przedziale DE. Zgodnie z nim siła ta w tym
przedziale oraz z prawej strony punktu D wynosi.
T
D
P
=
T
DE
=
10,0 kN
.
(Z4/18.11)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
7
F
4,
0
16
,0
k
N/
m
84,57 kN
[m]
T
D
(D)
F
84,57 kN
T
F
a)
b)
Rys. Z4/18.13. Siła poprzeczna w przedziale DF
Rysunek Z4/18.13 a) przedstawia siłę poprzeczną z dolnej strony punktu D. Zgodnie z nim siła ta
wynosi.
T
D
D
=−
16,0⋅4,0=−64,0 kN
.
(Z4/18.12)
Rysunek Z4/18.13 b) przedstawia siłę poprzeczną w punkcie F. Zgodnie z nim siła ta wynosi.
T
F
=
0,0 kN
.
(Z4/18.13)
Jak więc widać siła poprzeczna w przedziale DF ma ma miejsce zerowe w punkcie F.
Rysunek Z4/18.14 przedstawia ostateczny wykres siły normalnej w ramie płaskiej. Aby był on
czytelny nie został narysowany w jednakowej skali dla całej ramy.
T [kN]
14,57
64
,0
74
,5
7
10,0
64,0
0,0
Rys. Z4/18.14. Wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
8
Z4/18.4. Wykres momentu zginającego
Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach CD i DF moment zginający będzie funkcją kwadratową
natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową.
A
6,
0
14,57 kN
64,0 kN
M
B
(D)
A
14,57 kN
64,0 kN
M
A
[m]
a)
b)
Rys. Z4/18.15. Momenty zginające w przedziale AB
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.15 a) moment zginający w punkcie A wynosi
M
A
=
0,0 kNm
.
(Z4/18.14)
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.15 b) moment zginający z dolnej strony punktu B wynosi
M
B
D
=
64,0⋅6,0=384,0 kNm
.
(Z4/18.15)
Moment ten rozciąga prawą część pręta.
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.16 a) moment zginający z prawej strony punktu B wynosi
M
B
P
=
64,0⋅6,0−24,0=360,0 kNm
.
(Z4/18.16)
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.16 b) moment zginający z lewej strony punktu C wynosi
M
C
L
=−
14,57⋅2,064,0⋅6,0−24,0=330,9 kNm
.
(Z4/18.17)
Momenty (Z4/18.16) i (Z4/18.17) rozciągają dolną część pręta.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
9
A
B
[m]
6,
0
24,0 kNm
14,57 kN
64,0 kN
A
B
[m]
2,0
6,0
24,0 kNm
14,57 kN
64,0 kN
M
B
(P)
M
C
(L)
a)
b)
Rys. Z4/18.16. Momenty zginające w przedziale BC
D
E
F
[m]
2,0
5,0
4,
0
12,0 kN/m
16
,0
k
N/m
10,0 kN
84,57 kN
M
C
(P)
D
E
F
[m]
2,0
4,
0
16
,0
k
N/
m
10,0 kN
84,57 kN
M
D
(L)
a)
b)
Rys. Z4/18.17. Momenty zginające w przedziale CD
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.17 a) moment zginający z prawej strony punktu C wynosi
M
C
P
=
84,57⋅5,016,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,0−10,0⋅7,0−12,0⋅5,0⋅
1
2
⋅
5,0=330,9 kNm
.
(Z4/18.18)
Moment ten jest równy momentowi zginającemu wyznaczonemu ze wzoru (Z4/18.17).
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
10
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.16 b) moment zginający z lewej strony punktu D wynosi
M
D
L
=
16,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,0−10,0⋅2,0=108,0 kNm
.
(Z4/18.19)
Momenty (Z4/18.18) i (Z4/18.19) rozciągają dolną część pręta.
E
2,0
10,0 kN
[m]
M
D
(P)
E
10,0 kN
M
E
a)
b)
Rys. Z4/18.18. Momenty zginające w przedziale DE
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.18 a) moment zginający z prawej strony punktu D wynosi
M
D
P
=−
10,0⋅2,0=−20,0kNm
.
(Z4/18.20)
Moment ten rozciąga górną część pręta.
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.18 b) moment zginający w punkcie E wynosi
M
E
=
0,0 kNm
.
(Z4/18.21)
F
4,0
16
,0
k
N/
m
84,57 kN
[m]
M
D
(D)
F
84,57 kN
M
F
a)
b)
Rys. Z4/18.19. Momenty zginające w przedziale DF
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.19 a) moment zginający z dolnej strony punktu D wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
11
M
D
D
=−
16,0⋅4,0⋅
1
2
⋅
4,0=−64,0 kNm
.
(Z4/18.22)
Moment ten rozciąga lewą część pręta.
Zgodnie z rysunkiem Z4/18.19 b) moment zginający w punkcie F wynosi
M
F
=
0,0 kNm
.
(Z4/18.23)
W punkcie tym wykres momentu zginającego ma ekstremum.
Rysunek Z4/18.20 przedstawia ostateczny wykres momentu zginającego w ramie płaskiej. Aby był on
czytelny nie został narysowany w jednakowej skali dla całej ramy.
M [kNm]
33
0,9
0,0
384,0
36
0,0
0,0
20
,0
0,0
128,0
10
8,
0
[m]
2,0
5,0
2,0
Rys. Z4/18.20. Wykres momentu zginającego w ramie płaskiej
Z4/18.5. Sprawdzenie wykresów sił przekrojowych
W celu sprawdzenia wykresów siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego
przedstawionych na rysunkach Z4/18.8, Z4/18.14 i Z4/18.20 wykonamy sprawdzenie równowagi sił oraz
momentów w węzłach B i D ramy płaskiej.
Rysunek Z4/18.21 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle B. Jak widać
spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.
Rysunek Z4/18.21 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle B.
Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu B.
Rysunek Z4/18.22 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle D. Jak widać
spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.
Rysunek Z4/18.22 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle D.
Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu D.
Na tej podstawie możemy stwierdzić, że wykresy sił przekrojowych w ramie płaskiej zostały
wykonane poprawnie.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18
12
24,0 kNm
64,0 kN
64,0 kN
14,57 kN
14,57 kN
B
24,0 kNm
B
384,0 kNm
360,0 kNm
X
Y
a)
b)
Rys. Z4/18.21. Równowaga węzła B
64,0 kN
D
64,0 kN
84,57 kN
74,57 kN
10,0 kN
D
20,0 kNm
128,0 kNm
108,0 kNm
X
Y
a)
b)
Rys. Z4/18.22. Równowaga węzła D
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Document Outline