Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
1
/
5
2013-04-27, godz. 14:43
6.1 Punkty osobliwe. Residua
Punkty zerowe funkcji holomorficznej
Def. Punkt
0
z nazywamy punktem zerowym funkcji
)
(z
f
, jeŜeli
0
)
(
0
=
z
f
.
Def. Punkt
0
z nazywamy k-krotnym (
1
≥
k
) punktem zerowym funkcji
)
(z
f
, jeŜeli w jej rozwinięciu
w szereg Taylora o środku w
0
z , współczynnik
0
≠
k
a
, natomiast
0
1
1
0
=
=
=
=
−
k
a
a
a
L
,
czyli gdy
∑
∞
=
+
+
−
⋅
=
+
−
⋅
+
−
⋅
=
k
n
n
n
k
k
k
k
z
z
a
z
z
a
z
z
a
z
f
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
0
1
0
L
.
(1)
Przykład 1. Funkcja
)
1
(
−
z
z
ma w
0
=
z
1-krotny punkt zerowy, poniewaŜ
2
)
1
(
z
z
z
z
+
−
=
−
.
Własności.
1. Punkt
0
z jest k-krotnym punktem zerowym funkcji
)
(z
f
wtedy i tylko wtedy gdy:
0
)
(
0
)
(
≠
z
f
k
, natomiast
0
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
1
(
0
0
0
=
=
=
=
=
−
z
f
z
f
z
f
z
f
k
L
"
'
.
(2)
2. Punkt
0
z jest k-krotnym punktem zerowym funkcji
)
(z
f
wtedy i tylko wtedy gdy:
)
(
)
(
)
(
0
z
z
z
z
f
k
ϕ
⋅
−
=
, a
)
(z
ϕ
jest funkcją holomorficzną i
0
)
(
0
≠
z
ϕ
.
(3)
3. JeŜeli
0
z jest punktem zerowym funkcji holomorficznej, to jest on punktem
odosobnionym,
tzn. istnieje takie otoczenie
0
z w którym nie ma innych punktów zerowych.
4. JeŜeli funkcja jest holomorficzna w obszarze, to albo jest toŜsamościowo równa zeru, albo
kaŜdy jej punkt zerowy jest odosobniony.
Przykład 2. Funkcja
)
(z
f
=
)
cos(
1
z
−
ma punkty zerowe w
π
k
z
2
=
. Są to 2-krotne punkty zerowe,
poniewaŜ,
(
)
0
2
)
sin(
2
)
cos(
1
=
=
=
=
−
π
π
k
z
z
k
z
z '
,
ale
(
)
(
)
0
1
2
)
cos(
2
)
sin(
2
)
cos(
1
≠
=
=
=
=
=
=
−
π
π
π
k
z
z
k
z
z
k
z
z
'
"
.
Punkty osobliwe
Def. Punkt
0
z w którym funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna nazywamy punktem regularnym tej funkcji.
Def. Punkt
0
z nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji
)
(z
f
, jeŜeli funkcja f
nie jest
holomorficzna w punkcie
0
z , ale jest holomorficzna w sąsiedztwie tego punktu.
Przykłady 3. Funkcja
)
1
(
1
−
z
z
ma punkty osobliwe odosobnione
0
=
z
i
1
=
z
,
funkcja z
z
e ma punkt osobliwy odosobniony
0
=
z
.
ZałoŜenie. Niech
)
(z
f
ma rozwinięcie w szereg Laurenta w sąsiedztwie
punktu osobliwego odosobnionego
0
z , zatem:
)
(z
f
=
∑
∞
−
=
−
1
0
)
(
n
n
n
z
z
a
+
∑
∞
−
=
0
0
)
(
n
n
n
z
z
a
(4)
Def. Punkt
0
z nazywamy punktem pozornie osobliwym funkcji
)
(z
f
, jeŜeli w jej rozwinięciu
w szereg Laurenta o środku w
0
z nie ma części osobliwej.
Przykład 4. Punkt
0
=
z
jest punktem pozornie osobliwym funkcji
z
z)
sin(
poniewaŜ
L
L
−
−
+
−
=
−
+
−
=
!
5
!
3
1
!
5
/
!
3
/
)
sin(
4
2
5
3
z
z
z
z
z
z
z
z
(nie ma części osobliwej).
część osobliwa
rozwinięcia
6. Punkty osobliwe. Residua
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
2
/
5
2013-04-27, godz. 14:43
Wniosek. JeŜeli
0
z jest punktem pozornie osobliwym funkcji
)
(z
f
, to
)
(z
f
=
∑
∞
−
=
0
0
)
(
n
n
n
z
z
a
,
zatem
)
(
lim
0
z
z
f
z
→
=
(
)
0
2
0
2
0
1
0
)
(
)
(
lim
0
a
z
z
a
z
z
a
a
z
z
=
+
−
+
−
+
→
K
.
Def. Punkt
0
z nazyw. biegunem k-krotnym (
1
≥
k
) funkcji
)
(z
f
, jeŜeli część osobliwa rozwinięcia
ma skończoną liczbę wyrazów i
0
≠
−
k
a
czyli
)
(z
f
=
1
0
1
0
)
(
)
(
z
z
a
z
z
a
k
k
−
+
+
−
−
−
L
+
∑
∞
−
=
0
0
)
(
n
n
n
z
z
a
.
(5)
Przykład 5. Punkt
0
=
z
jest biegunem 1-krotnym funkcji
z
z
z
f
)
cos(
)
(
=
poniewaŜ
L
L
−
+
−
=
+
+
−
=
=
!
4
!
2
1
!
4
/
!
2
/
1
)
cos(
)
(
3
4
2
z
z
z
z
z
z
z
z
z
f
.
Przykład 6. Punkt
0
=
z
jest biegunem 2-krotnym funkcji
2
)
cos(
)
(
z
z
z
f
=
poniewaŜ
L
L
−
+
−
=
+
+
−
=
=
!
4
!
2
1
1
!
4
/
!
2
/
1
)
cos(
)
(
2
2
2
4
2
2
z
z
z
z
z
z
z
z
f
.
Def. Punkt
0
z nazywamy punktem istotnie osobliwym funkcji
)
(z
f
, jeŜeli część osobliwa rozwinięcia
ma nieskończenie wiele wyrazów.
Przykład 7. Punkt
0
=
z
jest punktem istotnie osobliwym funkcji
z
z
f
/
1
e
)
(
=
poniewaŜ
∑
∑
∞
=
∞
=
=
=
=
0
0
1
!
1
!
)
/
1
(
/
1
e
)
(
n
n
n
z
n
n
n
z
z
z
f
Uwaga. Weryfikację punktów osobliwych odosobnionych funkcji f moŜna przeprowadzić bez
rozwijana funkcji f w jej szereg Laurenta.
Tw. Punkt
0
z jest:
•
punktem pozornie osobliwym funkcji
)
(z
f
, gdy istnieje
skończona granica
)
(
lim
0
z
f
z
z
→
.
•
biegunem funkcji
)
(z
f
wtedy i tylko wtedy gdy
=
→
)
(
lim
0
z
f
z
z
∞
.
•
biegunem k-krotnm funkcji
)
(z
f
wtedy i tylko wtedy gdy
(
)
0
)
(
)
(
lim
0
0
≠
⋅
−
→
z
f
z
z
k
z
z
oraz
(
)
0
)
(
)
(
lim
1
0
0
=
⋅
−
+
→
z
f
z
z
k
z
z
.
(6)
•
punktem istotnie osobliwym funkcji
)
(z
f
, gdy
nie istnieje granica
)
(
lim
0
z
f
z
z
→
.
JeŜeli punkt
0
z jest k-krotnym zerem funkcji f, to dla funkcji 1/f jest on k-krotnym biegunem.
JeŜeli punkt
0
z jest k-krotnym biegunem funkcji f, to dla funkcji 1/f jest on k-krotnym zerem.
Przykład 8. Funkcja
)
1
(
1
)
(
−
=
z
z
z
f
ma 1-krotne bieguny w
0
=
z
i
1
=
z
, poniewaŜ
funkcja
)
1
(
)
(
1
−
=
z
z
z
f
ma 1-krotne zera w tych punktach.
lub inaczej
...)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
1
)
(
2
+
+
+
−
−
=
−
−
−
≡
−
+
−
≡
−
=
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
f
szereg zbieŜny gdy |z|<1.
6. Punkty osobliwe. Residua
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
3
/
5
2013-04-27, godz. 14:43
Residua
ZałoŜenie. Niech
)
(z
f
będzie funkcją holomorficzną w sąsiedztwie punktu
0
z . Niech C będzie
dowolną, kawałkami gładką, dodatnio skierowaną krzywą Jordana zawartą w tym sąsiedztwie.
Def. Residuum funkcji
)
(z
f
w punkcie
0
z , oznaczane przez
)
(
res
0
z
f
z
, nazywamy liczbę równą
∫
C
z
z
f
i
d
)
(
2
1
π
(7)
Tw.
1
)
(
res
0
−
=
a
z
f
z
,
gdzie
1
−
a
jest współczynnikiem rozwinięcia funkcji
)
(z
f
w szereg Laurenta w sąsiedztwie
0
z :
+
−
+
=
−
2
0
2
)
(
)
(
z
z
a
z
f
K
)
(
0
1
z
z
a
−
−
...
)
(
)
(
2
0
2
0
1
0
+
−
⋅
+
−
⋅
+
+
z
z
a
z
z
a
a
(8)
Dowód. Podstawiając szereg (8) do wzoru na residuum (7) i całkując wyraz po wyrazie otrzymujemy
wszystkie całki równe zero, z wyjątkiem całki z wyrazu o współczynniku
1
−
a
, ponadto
1
0
1
0
1
d
1
2
d
2
1
d
)
(
2
1
−
−
−
=
⌡
⌠
−
=
⌡
⌠
−
=
∫
a
z
z
z
i
a
z
z
z
a
i
z
z
f
i
C
C
C
π
π
π
.
cbdo
Wniosek. Residuum funkcji w punktach regularnych i pozornie osobliwych jest równe zero.
Sposoby wyznaczania residuum.
1.
JeŜeli
0
z jest punktem istotnie osobliwym funkcji f, to jej residuum w
0
z naleŜy wyznaczać
z rozwinięcia funkcji f w szereg Laurenta.
2.
JeŜeli punkt
0
z jest biegunem k-krotnym funkcji
)
(z
f
, to
[
]
)
(
)
(
d
d
lim
)!
1
(
1
)
(
res
0
1
1
0
0
z
f
z
z
z
k
z
f
k
k
k
z
z
z
⋅
−
−
=
−
−
→
.
(9)
3.
JeŜeli punkt
0
z jest biegunem 1-krotnym funkcji
)
(
)
(
)
(
z
h
z
g
z
f
=
gdzie funkcje g(z) i h(z) są
holomorficzne
w otoczeniu punktu
0
z , przy czym
0
)
(
0
=
z
h
,
0
)
(
0
≠
z
h
'
, to
)
(
)
(
)
(
res
0
0
0
z
h
z
g
z
f
z
'
=
.
(10)
Tw. JeŜeli funkcja
)
(z
f
jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem co najwyŜej
punktów
n
z
z
z
,
,
,
2
1
K
, a C jest krzywą Jordana kawałkami gładką, dodatnio zorientowaną, leŜą-
cą w tym obszarze i zawierającą te punkty w swoim wnętrzu, to
∫
∑
=
=
n
j
z
C
z
f
i
z
z
f
j
1
)
(
res
2
d
)
(
π
.
(11)
Przykład 9. (por. przykł.5) Obliczyć całkę
⌡
⌠
−
C
z
z
z
d
)
cos(
1
3
, gdzie C jest dodatnio zorientowanym
okręgiem
2
|
1
|
=
−
z
.
Rozwiązanie.
(
)
L
L
+
−
=
+
+
−
−
=
−
!
4
!
2
1
!
4
/
!
2
/
1
1
)
cos(
1
3
4
2
3
z
z
z
z
z
z
z
,
czyli z = 0 jest (punktem osobliwym) biegunem 1-krotnym, więc
2
1
)
cos(
1
res
3
0
=
−
z
z
,
zatem
i
i
z
z
i
z
z
z
C
π
π
π
=
⋅
=
−
⋅
=
⌡
⌠
−
2
1
2
)
cos(
1
res
2
d
)
cos(
1
3
0
3
.
6. Punkty osobliwe. Residua
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
4
/
5
2013-04-27, godz. 14:43
Zadania na ćwiczenia 6.
1
Punkty zerowe i osobliwe
Zad. 1.
Znaleźć wszystkie punkty zerowe funkcji
3
2
2
)
1
(
)
(
z
z
z
f
⋅
+
=
i zbadać ich krotność.
Odp
.
±
=
z
….. – punkty zerowe …-krotne,
=
z
…. – punkt zerowy …-krotny.
Zad. 2.
(~133)
Wyznaczyć punkty osobliwe i określić ich rodzaj:
3
)
2
)(
(
1
−
+
z
i
z
Odp
.
i
z
−
=
biegun …-krotny,
2
=
z
biegun …-krotny.
Zad. 3.
(135)
Wyznaczyć punkty osobliwe i określić ich rodzaj:
A)
2
)
cos(
1
z
z
−
=………………………..……………..
Odp
.A) z = …. punkt …………… osobliwy
B)
( )
i
z
2
1
sin
−
= …………………………………….
Odp
.B) z = … punkt …………… osobliwy.
Residuum funkcji i całki
Zad. 4.
Wyznaczyć residuum funkcji
9
1
2
+
z
w punkcie z = 3i.
Rozwiąznie
.
)
(
)
(
1
9
1
9
1
2
2
2
+
⋅
−
=
−
=
+
z
z
i
z
z
, więc z = 3i jest ……………………………:
zatem
(9)
wzór
2
3
9
1
res
=
+
z
i
……………………………….……………
Odp
. 1
/(6i).
Zad. 5.
(
108
.1). Obliczyć całkę
∫
+
C
z
z
d
9
1
2
,
gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem |z-2i| = 2.
Odp
.
3
/
π
.
Rozwiąznie
. Okrag |z-2i| = 2 zawiera punkt z = …. w którym
=
+
9
1
res
2
3
z
i
.…,
.zatem
)
11
(
2
d
9
1
=
+
∫
C
z
z
……………………………………..
Zad. 6.
(
108
.1). Obliczyć całkę
∫
+
C
z
z
d
)
9
(
1
2
2
,
gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem |z-2i| = 2.
Odp
.
54
/
π
.
Rozwiąznie
.
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
1
)
9
(
1
)
9
(
1
+
⋅
−
=
−
=
+
z
z
i
z
z
Okrag |z-2i| = 2 zawiera punkt z = ….. który jest ………..…………….……
zatem :
=
+
2
2
3
)
9
(
1
res
z
i
………………………………………………….……..…………………
(9)
wzór
2
2
d
)
9
(
1
=
+
∫
C
z
z
………………………………………………………………………………..
6. Punkty osobliwe. Residua
Opracował i wykonał: Stanisław Zoń
5
/
5
2013-04-27, godz. 14:43
Zadania domowe 6.1
Punkty zerowe i osobliwe
Zad. 1.
Znaleźć wszystkie punkty zerowe funkcji
)
sin(
)
(
z
z
z
f
=
i zbadać ich krotność.
Odp
.
0
=
z
– punkt zerowy 2-krotny, oraz (gdy
0
≠
k
)
π
k
z
=
– punkty zerowe 1-krotne.
Zad. 2.
Wyznaczyć punkty osobliwe funkcji
1
4
2
−
+
z
z
z
i określić ich rodzaj.
Wskazówka
.
)
)(
)(
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
1
2
2
4
2
i
z
i
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
+
−
+
−
+
=
+
−
+
=
−
+
Odp
.
i
z
±
=
– biegun 1-krotny,
1
=
z
– biegun 1-krotny,
1
−
=
z
– punkt pozornie osobliwy.
Zad. 3.
(135)
Wyznaczyć punkty osobliwe funkcji i określić ich rodzaj.
3)
( )
i
z
+
1
cos
,
Wskazówka
. RozłoŜyć na szereg Laurenta
Odp
.
i
z
−
=
punkt istotnoie osobliwy.
5)
)
sin(
1
z
Wskazówka
. Skorzystać z rozw. przykładu 1 materiałów do ćwiczeń .
Odp
.
π
k
z
=
, gdzie k liczby całkowite, – bieguny 1-krotne.
Residuum funkcji i całki
Zad. 4.
(136.3)
Wyznaczyć residuum funkcji
)
1
(
e
−
z
z
z
w punktach: z = 0, z = 1.
Odp
.
1
)
1
(
e
res
0
−
=
+
z
z
z
,
e
)
1
(
e
res
1
=
+
z
z
z
.
Zad. 5.
(
143
)
. Obliczyć całkę
∫
+
−
C
z
z
z
d
)
1
(
)
1
(
1
2
2
.
gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem
2
1
=
−
−
i
z
.
Odp
.
2
/
π
i
−
.