5. Pole magnetyczne.
5.1. Indukcja pola magnetycznego, siła Lorentza.
F
r
B
r
q
⊕
P
vr
Jeżeli na dodatni ładunek q poruszający się z
prędkością działa siła zakrzywiająca tor
vr
F
r
ładunku – jak na rysunku, to w punkcie P istnieje
indukcja magnetyczna
B
r
.
H
B
r
r
0
μ
=
gdzie
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⋅
=
−
A
Tm
7
0
10
4
π
μ
)
(
B
v
q
F
r
r
r
×
=
0
0
=
⇒
=
F
v
r
r
0
=
⇒ F
B
v
r
r
r
)
,
sin( B
v
B
v
q
F
r
r
r
r
=
⇒
max
=
⇒
⊥
F
B
v
r
r
r
v
q
F
B
⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
=
⋅
⋅
=
2
s
A
kg
s
m
s
A
N
T
5.2. Siła elektrodynamiczna.
{
3
2
1
r
r
r
r
r
r
B
pola
od
E
pola
od
B
v
q
E
q
F
×
+
⋅
=
(
Zał.
B
V
u
r
r
⊥
B
V
u
F
l
A
θ
u
V
ne
j
r
r
=
Siła działająca na 1 elektron
B
ne
j
e
F
=
'
skoro liczba elektronów w przewodniku o długości l jest
równa:
n
⋅
(A
⋅
l)
więc całkowita siła działająca na ten przewodnik:
B
l
i
F
A
i
AlB
n
Bj
nAl
F
r
r
r
×
=
⇒
=
=
jest to siła elektrodynamiczna.
5.3. Przykłady: efekt Halla.
)
(
B
V
e
E
e
F
u
r
r
r
r
×
+
=
siły się równoważą więc
B
eV
eE
u
=
d
V
u
– prędkość unoszenia F
L
– siła Lorentza
V
b
_ _ _ _
V
b
V
u
Θ e
h
V
u
i F
L
Θ e
E Θ
B
+ + + + V
a
+ + + + + + + +
+++++
B
V
a
U
ab
= V
a
- V
b
ponieważ
więc powstałe pole elektryczne
u
neV
j
=
B
ne
j
E
=
z pomiaru napięcia Halla U
ab
:
ne
B
d
h
i
h
U
E
ab
⋅
=
=
stąd
B
R
d
i
U
gdzie
H
ab
=
ne
R
H
1
=
jest stałą Halla
e/m – odkrycie elektronu – doświadczenie Thomsona (1897)
x = V
0
⋅
t
2
2
at
y
=
m
⋅
a =e
⋅
E
Tor elektronu:
2
2
0
2
)
(
x
mV
eE
x
y
=
+ + + + + + + + + + + + + + + + +
y
e
Θ
V
0
E
ekran
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
( )
B
V
e
E
e
F
r
r
r
r
×
+
⋅
=
tor elektronu bez pola B
pole
E odchyla w górę
pole
B odchyla w dół
xxxx B
E
wypadkowa siła F = 0
e
⋅
E = e
⋅
V
⋅
B
⇒
E = V
⋅
B
sposób pomiaru e/m :
1. pomiar odchylenia dla E = 0 i B = 0;
2. pomiar odchylenia dla danego E
⇒ wyznaczenie y;
3. przyłożenie pola B i sprowadzenie plamki do położenia pierwotnego (1).
jeżeli długości płytek odchylających x = l to
2
2
2mV
eEl
y
=
skoro
B
E
V
=
to
2
2
2
l
B
yE
m
e =
gdzie
d
U
E
=
(d – odległość między płytkami odchylającymi),
B – z eksperymentu
Wyniki: Thomson
m
e
= 1,7
⋅10
11
C/kg
obecnie
m
e
= 1,7589
⋅10
11
C/kg
cyklotron (ładunki krążące po orbitach)
siła Lorentza jest siłą dośrodkową
r
mV
qVB
2
=
X X X X
X X X X
X X X X
stąd
qB
mV
r
=
Skoro
m
qB
r
V =
=
ω
stąd
m
qB
π
π
ω
ν
2
2
=
=
jest to tzw. częstotliwość c
Jeżeli obserwuj
yklotronowa.
emy różne promienie torów dwóch cząstek r
1
2
> r , o jednakowych ładunkach i prędkościach gdzie
B
V
m
r
1
=
oraz
q
1
B
V
m
r
2
=
⇒ m > m
q
2
1
2
wykorzystanie
→ spektroskopia masowa..
Cyklotron – przyspiesza cząstki (1932 r)
do
dostrajamy generator napięcia zmiennego
częstotliwości cyklotronowej
m
qB
ν
=
energia cząstek zależy od prom
π
2
0
ienia R,
qB
prędkość cząstki
mV
R
=
m
qBR
V
=
energia kinetyczna
Wykorzystanie: - reakcje jądrowe
ki wysokich energii
⊕ X X X X
q V
B
X X X X
F
m
R
B
q
mV
E
k
2
2
2
2
2
2
=
=
- eksperymenty fizy
- promieniowanie synchrotronowe.
5.4. Prawo Ampera.
i,
Nieskończenie długi, cienk prostoliniowy przewodnik.
H
B
r
r
0
μ
=
∫
=
l
d
B
i
r
r
0
μ
- całkujemy po obwodzie okręgu
r
B
i
π
μ
2
0
⋅
=
I
B
r
i
⊗
r
dl
r
i
B
π
μ
2
0
=
r
i
H
π
2
=
W przypadku grubego pr
promieniu R, w którym płynie prąd o gęstości j.
łynie prąd i
0
zewodnika o
gdy r < R (wewnątrz przewodnika), to w tym obszarze p
r
i
0
R
2
0
i
i =
⇒
2
2
r
i
i
=
0
R
2
r
R
π
π
∫
⋅
=
⇒
l
d
μ
2
⋅
=
r
B
i
B
i
π
μ
0
0
0
0
r
r
2
2
0
2
R
r
r
i
B
π
μ
=
Stąd dla < R
r
r
R
i
B
2
0
2
π
μ
=
dla r = R
R
i
π
μ
2
0
B
=
r
i
B
π
μ
2
0
=
dla r > R
aksymalna wartość B dla
= R
B
~1/r
r = R
r
m
r
Dwa pr
Pole wytwarzane przez przewodnik a:
zewodniki z prądem.
d
i
B
a
a
π
μ
2
0
=
Siła działająca na przewodnik b:
d
a
b
b
π
2
i
li
μ
lB
i
F
a
b
0
=
=
Przewodniki się przyciągają – dla prądów zgodnych,
a odpychają dla prądów płynących w przeciwnych
kierunkach.
Przewodnik kołowy o promieniu R.
R
i
B
2
0
μ
=
B
R
Przekrój przez solenoid z rozsuniętymi zwojami
„Nieskończenie” długi solenoid.
∫
∫
∫
∫
∫
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
b
c
r
r
r
r
r
r
a
a
d
d
c
b
l
d
B
l
d
B
l
d
B
l
d
B
l
d
B
r
r
r
r
||
||
||
0
0
0
bo:
0
B =
da
ra
ujemy B
μ
0
(n
na jednostkę długości solenoidu), stąd
B =
μ
i n =
B
⊥ bc
B
⊥
h
a
b
z prawa Ampe :
b
a
l
B
i
|
0
⋅
μ
=
oznaczając długość odcinka ab = h otrzym
⋅
h =
i
gdzie i = i
0
n h
– liczba zwojów
0 0
l
0
0
l
– długość cewki.
N
i
μ
gdzie: N – liczba zwojów w cewce
c
d
5.5. Prawo Biota-Savarta.
i
dl
θ
r
⊗ dB
2
0
sin
4
r
dl
i
dB
θ
π
μ
⋅
=
3
0
4
r
r
l
d
i
B
d
r
r
r
×
=
π
μ
3
0
4
r
r
l
d
i
B
r
r
r
×
=
∫
+∞
∞
−
π
μ
Nieskończenie długi, prostoliniowy przewodnik.
dx
θ
x
r
R
⊗
i
∫
∫
∞
∞
−
⋅
=
2
0
sin
4
r
dx
i
dB
θ
π
μ
gdzie
2
2
R
x
r
+
=
sin
θ
= sin(
π
-
θ
) =
2
2
R
x
R
+
czyli
(
)
(
)
+∞
∞
−
∞
∞
−
+
=
+
⋅
=
∫
2
/
1
2
2
0
2
/
3
2
2
0
4
4
R
x
x
i
R
x
dx
R
i
B
π
μ
π
μ
ostatecznie
R
i
B
π
μ
2
0
=
Kołowy przewodnik z prądem.
Zauważmy że:
dl
©
R
r
dB
⊥
dB
α
X
dB
||
⊗
r
B
d
r
r
⊥
ze względu na symetrię
∑
=
⊥
0
dB
czyli
∫
=
||
dB
B
dB
||
= dB
⋅
cos
α
gdzie
2
2
cos
R
x
R
r
R
+
=
=
α
0
2
0
90
sin
4
⋅
=
dl
r
i
dB
π
μ
tak więc
(
)
∫
∫
+
=
=
dl
x
R
iR
dB
B
2
/
3
2
2
0
||
4
π
μ
ponieważ
więc
∫
= R
dl
π
2
(
)
2
/
3
2
2
2
0
2
x
R
iR
B
+
=
μ
w środku przewodnika kołowego – dla x = 0
R
i
R
iR
B
2
2
0
3
2
0
μ
μ
=
=
jeżeli x >> R to
3
2
0
2
x
iR
B
μ
=
3
1
~
x
B
⇒
pole
od
dipola
Jeżeli mamy N zwojów, każdy o powierzchni S =
π
R
2
to pole od cewki:
3
0
2
x
NiS
B
π
μ
=
⇒
3
0
2
x
B
m
μ
π
μ
=
gdzie
μ
m
jest magnetycznym momentem dipolowym
cewki o N-zwojach.
Analogia elektryczna:
(
)
2
/
3
2
2
0
2
4
1
r
a
aq
E
+
=
πε
⊕
a
a
E
r
Θ
r
przyjmując p = 2aq elektryczny moment dipolowy
dla r >> a
3
0
4
1
r
p
E
πε
=
3
1
~
r
E
⇒
Własności dipola
typ dipola
wzór
moment siły w polu
zewnętrznym
elektryczny
magnetyczny
E
p
r
r
r
×
=
τ
B
m
r
r
r
×
=
μ
τ
energia w polu
zewnętrznym
elektryczny
magnetyczny
E
p
U
r
r •
−
=
B
U
m
r
r •
−
=
μ
pole w odległych punktach
na osi dipola
elektryczny
magnetyczny
3
0
4
1
x
p
E
πε
=
3
0
2
x
B
m
μ
π
μ
=
5.6. Prawo indukcji Faraday’a.
ε
i
V
V
ε
i
dt
d
B
Φ
−
=
ε
Reguła Lenza.
Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go wywołała.
Skoro
R
i
⋅
=
ε
więc
dt
d
R
i
B
Φ
−
=
1
Dla N zwojów
dt
d
N
B
Φ
−
=
ε
Zasada zachowania energii w ujęciu prawa Faraday’a.
( )
{
BlV
dt
dx
Bl
Blx
dt
d
dt
d
B
B
−
=
−
=
−
=
Φ
−
=
Φ
ε
X X X X X
X X X X X
i
X X X X X
X X X X X
F
1
F
2
F
3
V
B
R
V
l
B
ilB
F
2
2
0
1
90
sin
=
⋅
=
gdzie R jest rezystancją ramki.
R
BlV
R
i
=
=
ε
moc zużyta na wysunięcie ramki z pola:
R
V
l
B
V
F
P
2
2
1
=
=
indukowany prąd wydzieli w obwodzie moc w postaci ciepła (tzw. ciepło Joule’a-Lenza):
R
V
l
B
R
BlV
R
i
P
2
2
2
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X
E
B
E
E
E
Zmienne pole B(t).
( )
E
t
B
r
r
⇒
E
e
F
r
r
⋅
=
W = ε
sem
e
oraz W = F
⋅
2
π
r
ε
sem
e = e
⋅
E
⋅
2
π
r
czyli
∫
⋅
=
l
d
E
sem
r
r
ε
∫
⋅
=
Φ
−
l
d
E
dt
d
B
r
r
5.7. Indukcyjność i samoindukcja.
Siła elektromotoryczna cewki o N zwojach:
dt
dN
B
Φ
−
=
ε
Indukcyjność
jest cechą cewki, tak jak pojemność jest cechą kondensatora. Indukcyjność definiujemy
jako:
i
N
L
B
Φ
=
jednostką jest henr:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
=
⋅
=
A
m
T
A
s
V
H
2
Stąd
dt
di
L
−
=
ε
czyli w cewce powstaje SEM jeśli płynie przez nią prąd zmienny. Jest
to zjawisko samoindukcji.
Oznaczając: l – długość cewki, A – pole powierzchni jednego z
możemy zapisać:
woju, N – ilość zwoi cewki
l
N
n
=
oraz
A
B
B
⋅
=
Φ
0
⋅Φ
B
= n
2
l
⋅
A
0
i
Skoro B =
μ
in
stąd N
μ
czyli
lA
n
N
L
B
2
μ
=
Φ
=
i
0
łe elektromotorycznej samoindukcji jest taki, że
.8. Obwód RL
ji 1.
Kierunek si
przeciwstawia się zmianom, które ją wytworzyły – np. gdy
natężenie prądu rośnie, to SEM samoindukcji ma kierunek
przeciwny do kierunku prądu.
5
Przełącznik w pozyc
i
dt
di
L
iR
+
=
ε
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
− t
L
R
e
R
t
i
1
)
(
ε
indukcyjna stała czasowa
R
L
=
τ
R
i
ε
63
,
0
=
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
=
− t
L
R
L
e
R
dt
d
L
dt
di
L
U
1
ε
t
L
R
L
e
U
−
⋅
=
ε
t
R
ε
U
ε
t
i
t
R
ε
Przełącznik w pozycji 2.
dt
di
L
iR
+
=
0
t
L
R
e
R
t
i
−
=
ε
)
(
t
L
R
L
e
dt
di
L
U
−
⋅
−
=
=
ε
U
t
-
ε
Podsumowanie cyklu: wył. w pozycji 1 – 2.
i
t
R
ε
U
ε
t
-
ε
5.9. Energia pola magnetycznego.
ε - SEM baterii, ε
L
– SEM samoindukcji.
x
y
z
ε
ε
L
Pomiędzy punktami x
→
y
potencjał maleje, prąd płynie od
y
→
z
, więc
ε
L
skierowana jest do góry czyli zmiana
potencjału jest równa
dt
di
L
L
−
=
ε
.
Równanie Kirchhoffa:
0
=
+
−
−
ε
dt
di
L
iR
dt
di
L
iR
+
=
ε
dt
di
Li
R
i
i
+
=
2
ε
moc
wydzielona
szybkość zmian
na
oporze
R
energii pola B
dt
di
Li
dt
dE
nB
=
∫
∫
=
⇒
=
2
2
Li
E
iLdi
dE
nB
nB
jest to energia pola B zgromadzona w cewce o indukcyjności L.
Gęstość energii w solenoidzie
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
3
m
J
.
Solenoid o długości l, ilości zwoi N, polu przekroju S.
L =
μ
0
n
2
l S
gdzie
l
N
n
=
2
2
2
2
2
0
2
i
l
S
l
N
Li
E
nB
⋅
=
=
μ
gdzie S
⋅
l = V
- objętość cewki.
Stąd gęstość energii
2
2
2
0
i
n
V
E
nB
B
μ
ρ
=
=
pamiętając, że B =
μ
0
i n
otrzymujemy
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
3
0
2
2
m
J
B
B
μ
ρ
Jeżeli cewka wypełniona jest rdzeniem ferromagnetycznym
2
0
2
~
2
B
B
B
μμ
ρ
=
Do zapamiętania:
gęstość energii pola E:
2
2
0
E
E
εε
ρ
=
gęstość energii pola B:
0
2
2
μμ
ρ
B
B
=