Egzamin z równań różniczkowych cząstkowych .

Łódź, dn. 04.01.2008.

1. Niech

u : R

3

→ R będzie funkcją posiadającą odpowiednie pochodne cząstkowe. Podać postać wszystkich

D

α

u(x) dla x ∈ R

3

i dla

α będącego multiindeksem rzędu 3.

2. Wykazać (uzasadnić), że w rozwinięciu w szereg Fouriera funkcji

f : [−π, π] → R parzystej nie występują

składniki zawierające sinus.

3. Jak można znaleźć wektor normalny zewnętrzny do kuli

B(Θ, 1) ⊂ R

n

o środku w punkcie zero i promieniu

1 w dowolnym punkcie

x

0

∈ ∂B(Θ, 1). Rozważyć przypadek wektora o dowolnej długości i o długości 1.

4. Dla podanych poniżej równań określić ich typ i rząd (czy są liniowe, quasiliniowe, nieliniowe, jednorodne,

niejednorodne, itp.):

(i)

u

xy

+ 2

∂

∂x

(

u

2

x

+

u) − x sin y = 0,

(ii)

xu

xx

+

yu

yy

− u = 0,

(iii) ∆∆

u = 0 (tu nie ma pomyłki, jest wstawiona dwa razy ∆).

5. Dla równania pierwszego rzędu

−yu

x

+

xu

y

= 0 dobrać tak warunki, aby rozwiązanie było:

(i) jednoznaczne,

(ii) istniało, ale nie nie było jednoznaczne,

(iii) nie istniało.

Dobór warunków uzasadnić.

6. Pokazać, że dla funkcji Φ będącej rozwiązaniem podstawowym równania Laplace’a zachodzi oszacowanie

|DΦ(x)| 

C

||x||

n−1

dla

x ∈ R

n

i

x = 0, w przypadku n = 2 i w przypadku n = 3.

7. Niech Ω będzie otwartym podzbiorem

R

n

. Czy zbiór

Superhar(Ω) z naturalnymi działaniami tworzy prze-

strzeń liniową? Odpowiedź uzasadnić.

8. Niech funkcja

u = u(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) będzie harmoniczna. Czy funkcja

w =

∂u

∂x

1

∂u

∂x

2

dla

n > 2 jest harmo-

niczna? Odpowiedź uzasadnić.

9. Pokazać, że jeśli

u(x, t) jest rozwiązaniem równania falowego u

tt

=

c

2

u

xx

, to dla dowolnych stałych

x

0

, t

0

∈

R, funkcja v(x, t) = u(x+x

0

, t+t

0

) jest również rozwiązaniem tego samego równania. Następnie, zakładając,

że

u(x, t) jest rozwiązaniem problemu

u

tt

=

c

2

u

xx

, u(x, 0) = φ(x), u

t

(

x, 0) = ψ(x),

wyrazić rozwiązanie problemu

v

tt

=

c

2

v

xx

, v(x, −2) = φ(x + 1), v

t

(

x, −2) = ψ(x + 1)

za pomocą funkcji

u.

10. Czy zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a jest dobrze postawione w obszarach nieograniczonych?

Odpowiedź uzasasdnić.

1