Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 

Analiza zależności dwóch cech statystycznych ilościowych.  

Analiza korelacji i regresji liniowej 

 

Zagadnienia: 

  diagram korelacyjny, 
  kowariancja, 
  współczynnik korelacji liniowej Pearsona i jego interpretacja, 
  funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych, 
  metoda najmniejszych kwadratów, 
  miary  dobroci  dopasowania  funkcji  regresji  do  danych  empirycznych:  odchylenie  standardowe 

składnika resztowego, współczynnik  zmienności  reszt,  współczynnik  zbieżności i  współczynnik  de-
terminacji liniowej. 

 

  Dokładność obliczeń: 4 miejsca po przecinku. 

 
 

Zad. 1.

 

Zbadano zależność między liczbą reklam pewnego wyrobu emitowanego dziennie w telewizji a 

wysokością obrotów (w mln zł) otrzymując następujące dane: 

Liczba reklam (

i

x ) 

3 

5 

4 

5 

7 

Wielkość  obrotów  (w  mln 
zł) (

i

y ) 

10 

13 

14 

16 

15 

a)  Narysować diagram korelacyjny. Co można stwierdzić na jego podstawie? 
b)  Obliczyć i zinterpretować kowariancję. 
c)  Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji liniowej Pearsona. 
d)  Oszacować  i  zinterpretować  parametry  liniowej  funkcji  regresji  opisującej  zależność  pomiędzy 

liczba reklam i wielkość obrotów. 

e)  Zbadać dopasowanie funkcji regresji do danych empirycznych, przy pomocy odpowiednich miar 

dopasowania 

f)  Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R? 

 

 

Lp. 

i

x  

i

y  

i

x

x



 

i

y

y



 

2

(

)

i

x

x



 

2

(

)

i

y

y



  (

)(

)

i

i

x

x y

y





 

1 

 

 

 

 

 

 

 

2 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

5 

 

 

 

 

 

 

 

Suma 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia 

 

 

 

 

 

 

 

 

Miary dopasowania:

 



  Wariancja reszt:

 





2

2

1

1

ˆ

2

n

e

i

i

i

s

y

y

n











 



  Odchylenie standardowe reszt: 

2

e

e

s

s



 

 
Interpretacja............... 
 
 
 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 



 

Współczynnik zmienności reszt: 

100%

e

e

s

V

y





 

   
Interpretacja............... 
 
 
 



 

Współczynnik zbieżności:

 









2

2

1

2

1

ˆ

n

i

i

i

n

i

i

y

y

y

y

















 

   
Interpretacja............... 
 
 
 
 



 

Współczynnik determinacji liniowej: 

2

2

1

R



 

 

   
Interpretacja............... 

 
 
g) Jakiej wielkości obrotów należy spodziewać się przy liczbie reklam wynoszącej 7? 
h) Jak zmieni się wielkość obrotów, gdy liczba reklam wzrośnie o 2, a jak gdy spadnie o  3? 

 
 

Zad. 2. Tabela przedstawia dane dotyczące kosztów poniesionych na reklamę ( X  w mln zł) przez 6 kon-
cernów i wyniki ich sprzedaży (Y  w mln zł) 
 

Lp. 

i

x  

i

y  

i

x

x



 

i

y

y



 

2

(

)

i

x

x



 

2

(

)

i

y

y



  (

)(

)

i

i

x

x y

y





 

1 

1,0 

3,0 

-1 

-2 

1 

4 

2 

2 

2,0 

4,5 

0 

-0,5 

0 

0,25 

0 

3 

2,6 

6,0 

0,6 

1 

0,36 

1 

0,6 

4 

1,0 

2,5 

-1 

-2,5 

1 

6,25 

2,5 

5 

3,0 

7,5 

1 

2,5 

1 

6,25 

2,5 

6 

2,4 

6,5 

0,4 

1,5 

0,16 

2,25 

0,6 

Suma 

12 

30 

 

 

 

 

 

Średnia 

 

 

- 

- 

 

 

 

 

a)  Narysować diagram korelacyjny. 
b)  Oblicz kowariancję między badanymi zmiennymi. 
c)  Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji liniowej między badanymi zmiennymi. 
d)  Oszacować  i  zinterpretować  parametry  liniowej  funkcji  regresji  opisującej  zależność  pomiędzy 

kosztami poniesionymi na reklamę i wynikami sprzedaży. 

e)  Zbadać dopasowanie funkcji regresji do danych empirycznych, przy pomocy odpowiednich miar 

dopasowania. 

 
 
 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 

Lp. 

i

y  

ˆ

i

y

 

ˆ

i

i

y

y



 

2

ˆ

(

)

i

i

y

y



 

2

(

)

i

y

y



 

1 

3.0 

 

 

 

 

2 

4.5 

 

 

 

 

3 

6.0 

 

 

 

 

4 

2.5 

 

 

 

 

5 

7.5 

 

 

 

 

6 

6.5 

 

 

 

 

Suma 

 

 

 

 

 

 

Miary dopasowania:

 



  Wariancja reszt:

 





2

2

1

1

ˆ

2

n

e

i

i

i

s

y

y

n











 



  Odchylenie standardowe reszt: 

2

e

e

s

s



 

 
Interpretacja............... 
 
 
 



 

Współczynnik zmienności reszt: 

100%

e

e

s

V

y





 

   
Interpretacja............... 
 
 
 



 

Współczynnik zbieżności:

 









2

2

1

2

1

ˆ

n

i

i

i

n

i

i

y

y

y

y

















 

   
Interpretacja............... 
 
 
 
 



 

Współczynnik determinacji liniowej: 

2

2

1

R



 

 

   
Interpretacja............... 

 
 
f)  Jakich  wyników  sprzedaży  należy  spodziewać  się  przy  nakładach  na  reklamę  równych  1,5  i  2,5 

mln zł? 

g)  Jak zmieni się wielkość sprzedaży, gdy nakłady na reklamę wzrosną o 2 mln zł., a jak gdy spadną 

o 1,7 mln zł.? 

h)  Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R? 

 
 
 
 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 

 

Zad. 3 Tabela przedstawia dane dotyczące ceny metra kwadratowego  Y  [w tys. zł] 6 wystawionych na 
sprzedaż mieszkań w Krakowie i  ich odległości  X  [w km] od Rynku Głównego. 
 

Lp. 

i

x  

i

y  

2

i

x

 

2

i

y

 

i

i

x y  

1 

9 

3,0 

 

 

 

2 

5 

3,5 

 

 

 

3 

2 

4,5 

 

 

 

4 

13 

1,5 

 

 

 

5 

11 

2,5 

 

 

 

6 

8 

3,0 

 

 

 

Suma 

 

 

 

 

 

Średnia 

 

 

- 

- 

 

 

a)  Narysować diagram korelacyjny. 
b)  Oblicz kowariancję między badanymi zmiennymi. 
c)  Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji liniowej między badanymi zmiennymi. 
d)  Oszacować  i  zinterpretować  parametry  liniowej  funkcji  regresji  opisującej  zależność  pomiędzy 

ceną metra kwadratowego mieszkań i ich odległością od Rynku Głównego. 

e)  Zbadać dopasowanie funkcji regresji do danych empirycznych, przy pomocy odpowiednich miar 

dopasowania. 

 
 

Lp. 

i

y  

ˆ

i

y

 

ˆ

i

i

y

y



 

2

ˆ

(

)

i

i

y

y



 

2

(

)

i

y

y



 

2

(

)

i

y

y



 

1 

3,0 

 

 

 

 

 

2 

3,5 

 

 

 

 

 

3 

4,5 

 

 

 

 

 

4 

1,5 

 

 

 

 

 

5 

2,5 

 

 

 

 

 

6 

3,0 

 

 

 

 

 

Suma 

 

 

 

 

 

 

 

Miary dopasowania:

 



  Wariancja reszt:

 





2

2

1

1

ˆ

2

n

e

i

i

i

s

y

y

n











 



  Odchylenie standardowe reszt: 

2

e

e

s

s



 

 
Interpretacja............... 
 
 
 



 

Współczynnik zmienności reszt: 

100%

e

e

s

V

y





 

   
Interpretacja............... 
 
 
 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 



 

Współczynnik zbieżności:

 









2

2

1

2

1

ˆ

n

i

i

i

n

i

i

y

y

y

y

















 

   
Interpretacja............... 
 
 
 
 



 

Współczynnik determinacji liniowej: 

2

2

1

R



 

 

   
Interpretacja............... 

 
 
f)  Jakiej przeciętnej ceny metra kwadratowego należy się spodziewać dla mieszkań odległych o 12 

km od Rynku i 6 km od Rynku? 

g)  Jak  zmieni  się  cena  metra  kwadratowego,  gdy  odległość  od  Rynku  wzrośnie  o  3  km,  a  jak  gdy 

spadnie o 2,5 km? 

h)  Dla ambitnych: 

Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?

 

 
Zad. 4 Losowo wybrano 6 zakładów produkcyjnych i zbadano je ze względu na wartość produkcji w mln 
PLN (Y) i zatrudnienie w dziesiątkach osób (X). Otrzymano następujące wyniki: 
  

Lp. 

i

x  

i

y  

 

 

 

 

 

 

1 

3 

7 

 

 

 

 

 

 

2 

4 

7 

 

 

 

 

 

 

3 

5 

8 

 

 

 

 

 

 

4 

5 

7 

 

 

 

 

 

 

5 

6 

8 

 

 

 

 

 

 

6 

7 

9 

 

 

 

 

 

 

Suma 

 

 

 

 

 

 

 

 

Średnia   

 

 

 

 

 

 

 

 
 

a)  Narysować diagram korelacyjny. 
b)  Oblicz kowariancję między badanymi zmiennymi. 
c)  Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji liniowej między badanymi zmiennymi. 
d)  Oszacować i zinterpretować parametry liniowej funkcji regresji opisującej zależność produkcji od 

zatrudnienia. 

e)  Zbadać dopasowanie funkcji regresji do danych empirycznych, przy pomocy odpowiednich miar 

dopasowania. 

f)  Ile przeciętnie może wynosić produkcja zakładu zatrudniającego 15 osób? 
g)  Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R? 

 

 
 
 
 
 
 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 
Zad. 5 Fabryka mebli analizując kwartalną sprzedaż (w mln zł) oraz wydatki na reklamę (w tys. zł) uzy-
skała następujące informacje: 

Kwartalne wy-

datki na rekla-

mę             (w 

tys. zł) 

Wielkość sprze-

daży kwartalnej             

(w mln zł) 

a)  narysuj korelacyjny diagram rozrzutu, 
b)  oblicz współczynnik korelacji liniowej Pearso-

na, 

c)  wyznacz rachunkowo i graficznie obydwa rów-

nania regresji, 

d)  oceń stopień dopasowania funkcji regresji do 

danych empirycznych, 

e)  oszacuj wielkość sprzedaży kwartalnej, jeśli 

wydatki na reklamę będą kształtowały się na po-
ziomie 4 tys. zł. 

1.8 
2.3 
2.6 
2.4 
2.8 

 

26 
31 
28 
30 
34 

 

 
Zad. 6 Pewne biuro nieruchomości w Krakowie jest zainteresowane zbadaniem zależności pomiędzy 
powierzchnią sprzedawanych przez nich mieszkań (w 

2

m  ) a ich ceną rynkową (w tys. zł). Uzyskany ma-

teriał empiryczny przedstawia poniższy szereg statystyczny: 

Powierzchnia 

(w 

2

m ) 

Cena 

  (w tys. zł) 

a)  narysuj korelacyjny diagram rozrzutu, 
b)  oblicz współczynnik korelacji liniowej Pearsona, 
c)  wyznacz  rachunkowo  i  graficznie  obydwa  rów-

nania regresji, 

d)  oceń stopień dopasowania funkcji regresji do 

danych empirycznych, 

e)  Nowy klient chce sprzedać mieszkanie o po-

wierzchni 76 

2

m . Oszacuj cenę rynkową tego 

mieszkania. 

80 
70 
64 
50 
64 

 

340 
315 
325 
300 
317 

 

 
Zad. 7 W banku Z zbadano zależność między stażem pracy zatrudnionych pracowników w latach (X) a 
wysokością ich zarobków w zł (Y). Uzyskano następujące informacje: przeciętny staż pracy wynosił 5 
lat, przeciętny zarobek 1200 zł. Współczynnik zmienności stażu pracy wynosił 20%. Współczynnik 
zmienności płac – 30%. Z kolei współczynnik korelacji pomiędzy stażem pracy a wysokością płac 0.75. 
Na podstawie tych informacji: 

a)  wyznacz rachunkowo teoretyczne linie regresji, 
b)  oszacuj wysokość płacy dla dziesięcioletniego stażu pracy, 
c)  czy  prawdą  jest,  ze  staż  pracy  w  90%  kształtuje  zmienność  zarobków  zatrudnionych  pracowni-

ków? 
 

Zad. 8 Badanie działalności handlowej dostarczyły min. następujących informacji o powierzchni i wiel-
kości utargu: 

Powierzchnia 

(w m kw.) 

Dzienny utarg 

(w tys. zł) 

a)  wyznacz parametry teoretycznej funkcji regre-

sji liniowej  w zależności od powierzchni  oraz 
odchylenie standardowe reszt modelu, 

b)  sklep ma powierzchnię 120 m kw. Na podsta-

wie wyznaczonego równania regresji oszacuj 
możliwy utarg tego sklepu. 

c)  Sklep uzyskał dzienny w wysokości 7 tys. zł. 

Określ powierzchnię sklepu. 

d)  Współczynnik korelacji między liczbą sprze-

dawców a utargiem wynosi 0,7. Która z cech 
w większym stopniu wyjaśnia wielkość utargu: 
liczba sprzedawców czy powierzchnia sklepu? 

20 
30 
35 
40 
45 

 

3.5 
4.8 
4.5 
3.0 
5.0 

 

 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 
Zad. 9 W zakładach odzieżowych przeprowadzono badania w celu ustalenia zależności między długością 
serii produkcji w tys. sztuk (X) a jednostkowym kosztem produkcji wyrobu w zł (Y). W rezultacie otrzy-
mano następujące teoretyczne równania regresji: 

i

i

y

x

x

y

003

,

0

7

,

1

ˆ

270

5160

ˆ









 

a)  podaj interpretację współczynników regresji, 
b)  co można powiedzieć o kierunku i sile zależności między tymi cechami? 
c)  W jakim procencie zmienna X wyjaśnia zmienną Y? 
d)  Jaki jest teoretyczny poziom kosztu jednostkowego przy serii o długości 10 tys. sztuk? 

 
Zad. 10 Spółka zajmująca się sprzedaż różnego rodzaju kserokopiarek chce ustalić wpływ wydatków na 
reklamę własnego produktu (w tys. zł) na wielkość sprzedaży (w mln zł). W tym celu zebrano informacje 
dotyczące ostatnich pięciu lat (dane roczne): 

132

5

1







i

i

x

,  

3502

5

1

2







i

i

x

, 

96

5

1







i

i

y

    

1870

5

1

2







i

i

y

 

2553

5

1







i

i

i

y

x

. 

Na podstawie tych informacji: 
a)  oblicz współczynnik korelacji liniowej Pearsona, 
b)  wyznacz rachunkowo i graficznie obydwa równania regresji, 
c)  oszacuj  „dobroć” dopasowania równania regresji  opisującego zależność sprzedaży kserokopiarek  od 

wydatków ponoszonych na reklamę w tym przedsiębiorstwie, 

d)  oszacuj wartość sprzedaży przyjmując, że wydatki na reklamę wynoszą 30 tys. zł rocznie. 

 

Zad. 11. Losowo wybrano 8 zakładów przemysłowych i zbadano je ze względu na wielkość produkcji w 
tysiącach ton (Y) i poziom zatrudnienia w tysiącach osób (X). Otrzymano następujące wyniki: 

Zatrudnienie (w tys. osób) 

0,9 

1,0 

1,2 

1,2 

1,4 

1,4 

1,5 

1,6 

Produkcja (w tys. ton) 

2,0 

2,3 

2,6 

2,5 

3,0 

3,1 

3,2 

3,4 

Obliczenia pomocnicze: 







8

1

2

,

10

i

i

x

; 







8

1

1

,

22

i

i

y

; 









8

1

29

i

i

i

y

x

; 







8

1

2

42

,

13

i

i

x

; 







8

1

2

71

,

62

i

i

y

; 

0519

,

0

2



x

s

; 

2073

,

0

2



y

s

; 









8

1

2

0286

,

0

)

ˆ

(

i

i

i

y

y

; 









8

1

2

6588

,

1

)

(

i

i

y

y

. 

a)  Obliczyć i zinterpretować kowariancję oraz współczynnik korelacji liniowej Pearsona. 
b)  Oszacować  parametry  liniowego  modelu  regresji  (opisującego  zależność  produkcji  od  zatrudnienia) 

wykorzystując obliczone wcześniej wartości współczynników kowariancji lub korelacji. 

c)  Oszacować  parametry  liniowego  modelu  regresji  (produkcji  względem  zatrudnienia)  wykorzystując 

układ równań normalnych (rozwiązać go metodą wyznaczników). 

d)  Metodą macierzową oszacować parametry równania regresji produkcji względem zatrudnienia. 
e)  Zinterpretować współczynnik regresji liniowej. 
f)  Ocenić dopasowanie wyznaczonego modelu  regresji do danych  empirycznych za pomocą:  wariancji 

resztowej,  odchylenia  standardowego  składnika  resztowego,  współczynnika  zmienności  resztowej, 
współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji. 

g)  Jak zmieni się wielkość produkcji gdy zatrudnienie wzrośnie o 0,5 tysiąca osób? 
h)  Jak zmieni się wielkość produkcji gdy zatrudnienie spadnie o 3 tysiące osób? 
i)  Ile przeciętnie może wynosić wielkość produkcji zakładu zatrudniającego 2.5 tysiąca osób? 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 
Zad. 12. Wiadomo, że długość drogi hamowania samochodu (Y) zależy od jego prędkości (X). Przepro-
wadzono test na suchej nawierzchni i otrzymano następujące dane: 

Prędkość samochodu (w km/h) 

20 

40 

60 

80 

100 

Droga hamowania (w metrach) 

5 

15 

30 

50 

80 

Obliczenia pomocnicze: 







5

1

300

i

i

x

; 







5

1

180

i

i

y

; 









5

1

14500

i

i

i

y

x

; 







5

1

2

22000

i

i

x

; 







5

1

2

10050

i

i

y

; 

800

2



x

s

; 

714

2



y

s

. 

a)  Oszacować parametry liniowego modelu regresji (zinterpretować współczynnik regresji liniowej). 
b)  Ocenić dopasowanie wyznaczonego modelu  regresji do danych  empirycznych za pomocą:  wariancji 

resztowej,  odchylenia  standardowego  składnika  resztowego,  współczynnika  zmienności  resztowej, 
współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji. 

c)  Jak zmieni się droga hamowania gdy prędkość samochodu wzrośnie o 8 km/h? 
d)  Jaka będzie droga hamowania przy prędkości 63 km/h? 
 
Zad.  13.    W  jednowskaźnikowym  modelu  Sharpe’a  przyjmuje  się,  że  stopa  zwrotu  akcji  danej  spółki 
giełdowej  R  spełnia równanie  

I

R

R

 



 



 

gdzie 

I

R   oznacza  stopę  zwrotu  indeksu  giełdowego, 



  jest  błędem  losowym  o  wartości  oczekiwanej 

zero, zaś 



 i 



 są współczynnikami, które należy oszacować. Równanie  

I

R

R

 

 

 nazywa się linią 

charakterystyczną  akcji.  W  poniższej  tabeli  podano  stopy  zwrotu  akcji  R   i  indeksu  giełdowego 

I

R   w 

ciągu sześciu tygodni. 
 

Tydzień 

Akcja 

Indeks rynku 

1 

8.36% 

9.23% 

2 

4.95% 

7.10% 

3 

-1.29% 

3.12% 

4 

0.10% 

4.65% 

5 

-2.05% 

1.16% 

6 

0% 

2.20% 

 
Użyć metody najmniejszych kwadratów do oszacowania linii charakterystycznej  akcji i  narysować wy-
kres linii wraz ze stopami zwrotu. Sprawdzić czy akcja jest  defensywna (tzn. 

0

1



 

), czy agresywna 

(tzn. 

1





).  

 

Zad.  14.  Oszacować  metodą  najmniejszych  kwadratów  współczynniki 

0

ln



  i 

1



  w  modelu  Cobba-

Douglasa  

1

0

W

Y

x e







 

po zlogarytmowaniu obu stron powyższego równania. Dane zmieszczono w następującej tabeli: 
 

Tydzień 

Wielkość produkcji Y 

Wielkość nakładów  x  

1 

12.1 

5 

2 

15.5 

7 

3 

18.3 

9 

4 

20.1 

11 

5 

18.9 

10 

 
 
 
 
 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Statystyka, mgr Oskar Knapik 

 

Numer 
zadania 

Odpowiedzi 

1 

 

2 

 

3 

 

4 

 

5 

 

6 

 

7 

 

8 

 

9 

 

10 

 

11 

a)  cov( , )

0.1028

X Y



;  ( , )

0.9913

r X Y



; b), c), d) 

0.2355

a



; 

1.9819

b



; 

ˆ

0.2355 1.9819

i

i

y

x





;  

f) 

2

0.0048

e

S



; 

0.0691

e

S



; 

0.025

e

V



; 

2

0.0173





; 

2

0.9827

R



; g) wzrośnie o 

0.991 tys. ton;  

h) spadnie o 5.9458 tys. ton; i) 5.1904 tys. ton 

12 

a) 

19.5

a

 

; 

0.925

b



;  ˆ

19.5

0.925

i

i

y

x

 



; b) 

2

49.1667

e

S



; 

7.0119

e

S



; 

0.1948

e

V



; 

2

0.0413





; 

2

0.9587

R



; c) wydłuży się o 7.4 metra; d) 38.775 metra 

13 

 

14