1
MODELOWANIE WSPÓŁCZYNNIKA RYZYKA BETA DLA
AKCJI PIĘTNASTU AUSTRALIJSKICH SPÓŁEK SEKTORA
FINANSOWEGO
PAWEŁ DADURA, TOMASZ KOC
na podstawie
FRIDA LIE, ROBERT BROOKS and ROBERT FAFF
W tym artykule zastosowano uogólniony model autoregresyjny warunkowej
heteroskedastyczności (GARCH) i podejście wykorzystujące Filtr Kalmana do
modelowania współczynnika ryzyka beta dla próbki piętnastu australijskich
przedsiębiorstw sektora finansowego. Zgodnie z istniejącą literaturą, autorzy
dowodzą, że te techniki modelowania działają dobrze, a preferowane jest podejście
zwązane z Filtrem Kalmana. Co więcej, autorzy dowodzą, że znaczna zmienność
ryzyka następuje w badanym przez nich okresie. W ten sposób znajdują dowód
zgodny z hipotezą, zgodnie z którą zniesienie regulacji rynku miało wpływ na ryzyko
towarów z sektora bankowości.
I. Wstęp
Zagadnienie testowania i modelowania zmienności ryzyka akcji przyciąga w ostatnich
czasach coraz więcej badaczy. To zainteresowanie zostało zwiększone w wyniku tempa, w
którym główne gospodarki świata i rynki kapitałowe przeszły w kierunku deregulacji. W
związku z globalizacją i integracją rynków, banki doświadczyły znacznie zwiększonej
konkurencji. Australijska sytuacja jest stosownym przykładem tego trendu.
Podstawową metodologią użytą przez innych autorów w tym temacie jest podejście
wykorzystujące uogólniony model autoregresyjny warunkowej heteroskedastyczności
(GARCH). Ta metodologia jest popularną ekonometryczną techniką dla modelowania
zmieniających się w czasie współczynników beta. Model ten wielu autorów stosowało do
modelowania współczynników beta dla portfeli amerykańskich akcji, dla narodowych
indeksów rynku giełdowego, dla towarów amerykańskiego górnictwa, dla towarów
amerykańskiego przemysłu komputerowego, dla australijskich portfeli akcji sektora
przemysłowego i dla amerykańskiego sektora bankowości.
Głównym celem artykułu było rozszerzenie analizy Brooks, Faff i McKenzie (1997)
(a) biorąc pod uwagę większą ilość akcji z sektora bankowego; (b) używając nowo
dostępnych danych; (c) wykorzystując dzienne dane (w przeciwieństwie do miesięcznych); i
(d) załączając porównanie modeli GARCH i filtra Kalmana. W tym kontekście, Brooks, Faff i
McKenzie (1998) zauważyli, że Filtr Kalmana dał dużo lepsze oszacowania współczynników
beta w porównaniu do modelu GARCH dla australijskiego sektora przemysłowego. Brooks,
Faff i McKenzie (1997) zbadali jedynie akcje trzech głównych banków, wykorzystując dane z
okresu kończącego się w 1992 r., używając miesięcznych danych. Aktualny artykuł rozszerza
2
to badanie do dziennego zestawu danych, obejmującego piętnaście spółek sektora
finansowego i wprowadza porównanie technik modelowania, z okresem próbki wydłużonym
do września 1998 r.
II. Specyfikacja modelu
Model CAPM jest jedną z najczęściej użytywanych technik, z wykorzystaniem której
ekonomiści szacują systematyczne ryzyko i może być zapisany jako:
it
i
i
Mt
it
R
R
α β
ε
= +
+
(1.1)
gdzie
it
R jest stopą zwrotu dla danego waloru,
Mt
R jest stopą zwrotu portfela rynkowego,
najczęściej przybliżanym przez stopę zwrotu reprezentatywnego indeksu,
it
e jest
stochastycznym błędem o rozkładzie
2
~ (0,
)
IN
σ ,
i
a oraz
i
b są wyestymowanymi
parametrami, które z założenia są stałe w czasie, gdzie beta reprezentuje systematyczne
ryzyko dla akcji i. Ten model stałego ryzyka może zostać oszacowany na wiele sposobów -
dwa takie przypadki są przedstawione poniżej.
Modelowanie zmiennych w czasie współczynników beta na podstawie modelu GARCH
Najpierw estymowano warunkową zmienną w czasie β korzystając z modelu M-
GARCH zaproponowanego przez Bollersleva (1990). W tym artykule wykorzystano
dwurównaniową wersję tego modelu, przedstawioną poniżej.
2
,
1
=
=
i
R
it
it
ε
)
,
0
(
~
1
t
t
it
H
N
−
ψ
ε
(1)
)
(
var
/
)
,
(
cov
Mt
t
Mt
it
t
it
R
R
R
=
β
(2)
Zaczynamy od specyfikacji formy funkcyjnej średniej (1), gdzie Ψ – zbiór dostępnych
informacji, H –macierz warunkowej kowariancji. W artykule do estymacji macierzy
warunkowej wariancji wykorzystano model GARCH (1,1). Bollerslev (1990) zaproponował,
aby w celu wyliczenia ostatniego równania przyjąć stały współczynnik korelacji stóp zwrotu.
Oszacowania tego modelu pozwalają nam skonstruować pożądany szereg β – warunkowych
dla każdej spółki (2). Dla modelu M-GARCH mamy: cov=h12; var=h22, gdzie model jest
estymowany na stopach zwrotu spółek i rynku.
1
,
11
11
2
1
,
1
11
11
,
11
−
−
+
+
=
t
t
t
h
b
a
c
h
ε
1
,
22
33
2
1
,
2
33
22
,
22
−
−
+
+
=
t
t
t
h
b
a
c
h
ε
2
/
1
,
22
,
11
,
12
)
(
t
t
t
h
h
h
×
×
=
ρ
=
t
t
t
t
t
h
h
h
h
H
,
22
,
21
,
12
,
11
3
Modelowanie współczynników beta wykorzystujące filtr Kalmana
Drugim podejściem do modelowania rozważanym w tym artykule jest model
przestrzeni stanów wykorzystujący filtr Kalmana. Ta technika szacuje zmieniające się
współczynniki beta poprzez równanie pomiaru:
~
(0, )
K
it
t
it
Mt
t
t
R
R
N
α β
ε ε
= +
+
Ω
(1.2)
gdzie proces, który definiuje zmieniające się współczynniki beta jest dany przez równanie
przejścia:
1
~
(0, Q)
K
K
it
it
t
t
T
N
β
β
η η
−
=
+
(1.3)
W naszym przypadku ustalamy T =1 i przez to modelujemy proces zmieniających się
współczynników beta jako random-walk. Zarówno podejście GARCH jak i filtr Kalmana
generują warunkową serię współczynników beta dla każdego banku. Autorzy porównują
obydwa
podejścia
używając
średniego błędu absolutnego (MAE) i błędu
średniokwadratowego (MSE).
III. Wyniki empiryczne
Dzienne dane o cenach akcji piętnastu spółek pochodzą z bazy danych Datastream.
Podsumowanie danych znajduje się w Tabeli I. Dane obejmują okres od pierwszej emisji
każdego waloru aż do 10 września 1998. Indeks rynkowy, który jest mierzony przez All
Ordinaries Accumulation Index był dostępny od 1 stycznia 1980. Data początkowa każdej z
próbek zawiera się pomiędzy 1 stycznia 1980, a 5 sierpnia 1996, w zależności od momentu
emisji akcji danej spółki. Wszystkie ceny zostały zamienione na stopy zwrotu, przy założeniu
ciągłości.
Nazwa firmy
Data początku próbki
punktowa estymacja β
Adelaide Bank
24 December 1993
0.7359*
ANZ Bank
10 February 1992
1.3282**
Bendigo Bank
2 April 1993
0.5262*
Bank of Queensland
28 June 1988
0.2817*
BT Australia
3 August 1989
0.5820*
Bank of Western Australia
1 February 1996
0.7233*
Commonwealth Bank
13 September 1991
0.8419*
First Australian Building
6 October 1993
0.2785*
Hartley Poynton
5 August 1996
0.3565*
Macquarie Bank Ltd
29 July 1996
1.2446**
National Australia Bank
1 January 1980
0.8385*
Rock the Building Society
10 December 1992
0.2076*
Suncorp-Metway
18 May 1990
0.4935*
Wide Bay Capricorn
19 September 1994
0.28763*
Westpac Banking Corporation
1 January 1980
0.9609**
Tabela I.
Estymacja współczynnika beta metodą MNK
Pierwszym krokiem w analizie było zastosowanie metody MNK do standardowego
modelu rynkowego, aby otrzymać punktową estymację współczynnika beta. Wyniki
przedstawia ostatnia kolumna w Tabeli I. Wszystkie piętnaście spółek ma współczynnik beta,
który jest istotnie różny od zera (*). Dla dwunastu spółek jest on istotnie różny od jedności
(brak **). Ogólnie, rezultat tych obliczeń wskazuje, że sektor finansowy jest mniej
ryzykowny niż portfel rynkowy.
4
Współczynniki beta uzyskane z wykorzystaniem modelu GARCH
Dla każdej spółki współczynniki α i β w równaniu warunkowej wariancji są
istotnie różne od zera, co więcej model dla każdej spółki okazał się stacjonarny (suma
parametrów mniejsza od jedności). W celu skonstruowania pożądanego szeregu beta
autorzy potrzebowali również współczynnika korelacji pomiędzy poszczególnymi
akcjami, a indeksem rynkowym. Współczynniki te przedstawiono w ostatniej kolumnie
tabeli II. W nawiasach, przy oszacowaniach parametrów znajdują się wartości statystyki
t-studenta.
Nazwa firmy
0
a
1
a
i
β
,
t
m
R R
ρ
Adelaide Bank
0.00008 (6.165)
0.1865 (6.515)
0.4808 (6.931)
0.3990
ANZ Bank
0.00001 (4.843)
0.1226 (8.115)
0.8233 (39.297)
0.6828
Bendigo Bank
0.00004 (5.557)
0.1453 (7.640)
0.6702 (15.157)
0.2833
Bank of Queensland
0.00006 (16.858)
0.1795 (15.971)
0.4749 (17.833)
0.1728
BT Australia
0.00007 (4.859)
0.0734 (5.144)
0.7337 (15.658)
0.2425
Bank of Western Australia
0.00002 (2.107)
0.0596 (2.699)
0.8275 (11.949)
0.4549
Commonwealth Bank
0.00001 (5.617)
0.1236 (6.472)
0.7204 (17.439)
0.6036
First Australian Building
0.00001 (9.001)
0.0312 (7.577)
0.9606 (232.72)
0.1381
Hartley Poynton
0.00007 (3.492)
0.1301 (5.096)
0.7087 (11.908)
0.1541
Macquarie Bank Ltd
0.00008 (5.795)
0.3452 (8.933)
0.3502 (4.540)
0.6258
National Australia Bank
0.00002 (17.048)
0.1489 (24.986)
0.7106 (53.449)
0.5682
Rock the Building Society
0.00001 (5.957)
0.0394 (7.555)
0.9223 (104.772)
0.1162
Suncorp-Metway
0.00006 (12.950)
0.3048 (13.399)
0.3824 (10.232)
0.2849
Wide Bay Capricorn
0.00002 (6.264)
0.1184 (9.566)
0.7836 (34.036)
0.1658
Westpac Banking Corporation
0.00003 (13.255)
0.1450 (32.906)
0.7221 (59.953)
0.6252
Market Portfolio
0.00001 (13.266)
0.2719 (62.187)
0.5763 (33.776)
1.0000
Tabela II.
Wyniki modelu GARCH
Współczynniki beta uzyskane z modelu z filtrem Kalmana
W poniższej tabeli przedstawiono średnie wartości β dla obu modeli, jak również
rozpiętość estymowanych parametrów. Można zauważyć następujące zależności: model z
filtrem Kalmana generuje szerszy zakres β, co jest odwrotnym wynikiem do uzyskanego
przez Brooks, Faff i McKenzie (1998). Różnica ta może wynikać z wykorzystania danych
miesięcznych, zamiast dziennych. Po drugie, największy zakres β miał National Australia
Bank, podczas gdy Bendigo Bank dał najmniejszy zakres tego parametru (związek z
długością próby). Po trzecie, prawie we wszystkich przypadkach model z filtrem Kalmana
dawał również ujemne wartości β, co przy danych dziennych może nie zaskakiwać, natomiast
częstotliwość pojawiania się tych wyników może budzić pewne podejrzenia. Po czwarte,
podobnie jak w przypadku modelu GARCH, średnia wartość β daje wynik zbliżony do
estymacji MNK. Model z filtrem Kalmana odbiega od estymacji MNK nieco bardziej niż
GARCH (np. średnia β dla Macquarie Bank wynosi tylko 0.7498 w porównaniu z 1.2825 w
estymacji MNK). Pomimo tej różnicy, współczynnik korelacji między tymi estymatorami dla
wszystkich spółek wyniósł 0.93. Przeciętna korelacja pomiędzy warunkowymi β dla modelu
GARCH i Kalmana (high/low range) dla wszystkich spółek wyniosła 0.1334 (od 0.703 dla
ANZ Bank do -0.1246 dla Rock the Building Society).
Garch Conditional Beta
Kalman Filter conditional Beta
Nazwa firmy
Average Time-
Varying Beta
High (Low)
Average Time-
Varying Beta
High (Low)
Adelaide Bank
0.7787
1.7530 (0.3946)
0.6454
2.2186 (-0.6899)
ANZ Bank
1.3687
2.7453 (0.7513)
1.3280
2.7208 (0.4264)
Bendigo Bank
0.5426
1.1565 (0.2991)
0.3634
1.3062 -0.2801)
Bank of Queensland
0.2971
2.1762 (0.0865)
0.2279
2.4602 -1.8204)
BT Australia
0.6094
0.9894 (0.1751)
0.5123
1.6548 -0.4184)
Bank of Western Australia
0.8080
1.1559 (0.2359)
0.6360
2.0837 -0.6883)
5
Commonwealth Bank
0.8731
2.2368 (0.4188)
0.8190
2.2684 -1.5351)
First Australian Building
0.2853
0.5724 (0.0310)
0.1946
3.3290 -1.4644)
Hartley Poynton
0.3990
0.8798 (0.1221)
0.3776
2.7729 -1.3543)
Macquarie Bank Ltd
1.1768
2.8421 (0.5559)
0.7498
2.4918 -0.8156)
National Australia Bank
0.9327
4.0901 (0.2721)
0.8792
4.9202 -5.1527)
Rock the Building
0.2183
0.3855 (0.0680)
0.1122
1.2046 -0.9497)
Suncorp-Metway
0.5125
2.1492 (0.1995)
0.4664
3.9367 -3.3940)
Wide Bay Capricorn
0.3022
0.6654 (0.1112)
0.1697
1.6786 -1.8488)
Westpac Banking Corporation
1.0951
4.7823 (0.3077)
1.0367
3.8029 -3.4626)
Tabela III.
Porównanie wyników estymacji współczynników beta
Porównanie błędów prognozy obu modeli
Wybór lepszego modelu oparto na porównaniu błędów prognozy z obu modeli. Dla
każdego przypadku modelowanie beta z wykorzystaniem filtru Kalmana daje niższe błędy
prognozy w porównaniu do modelu GARCH. Średnia wartość MAE dla modelu GARCH
wyniosła 0.0097, natomiast dla modelu wykorzystującego filtr Kalmana tylko 0.00437. Aby
zbadać odporność tego wniosku ze względu na wybraną miarę błędu policzono również MSE.
Analiza otrzymanych wartości prowadzi do takich samych wniosków. Model GARCH daje
wyższy średni MSE (0.00023) w porównaniu z modelem, w którym zastosowano filtr
Kalmana (0.00008). Ten wniosek popiera twierdzenie Brooks, Faff i McKenzie (1998), które
autorzy oparli na podstawie analizy danych miesięcznych australijskich firm z sektora
przemysłowego.
MAE
MSE
Company Name
GARCH
Kalman
GARCH
Kalman
Adelaide Bank
0.01279
0.00035
4.37E-12
3.49E-23
ANZ Bank
0.00852
0.00013
0.00615
0.00007
Bendigo Bank
0.01021
0.00021
0.00953
0.00018
Bank of Queensland
0.00757
0.00017
0.00673
0.00014
BT Australia
0.01440
0.00037
0.01363
0.00034
Bank of Western Australia
0.01046
0.00020
1.08E-14
2.07E-28
Commonwealth Bank
0.00631
0.00008
9.02E-08
1.60E-14
First Australian Building
0.00908
0.00027
0.00812
0.00020
Hartley Poynton
0.01348
0.00043
5.30E-16
4.67E-33
Macquarie Bank Ltd
0.01173
0.00036
4.13E-12
3.30E-23
National Australia Bank
0.00785
0.00014
0.00509
0.00006
Rock the Building Society
0.00870
0.00020
0.00353
0.00003
Suncorp-Metway
0.00925
0.00018
0.00725
0.00012
Wide Bay Capricorn
0.00784
0.00018
5.50E-16
7.89E-30
Westpac Banking Corporation
0.00843
0.00014
0.00547
0.00006
Tabela IV.
Podsumowanie błędów predykcji
IV. Wnioski
W tym artykule zastosowano model GARCH oraz podejście wykorzystujące filtr
Kalmana do modelowania współczynnika ryzyka beta dla próbki piętnastu australijskich
przedsiębiorstw sektora finansowego. Wyniki estymacji okazały się zgodne z literaturą
dotyczącą tego tematu – dowodząc zmienności β, nawet w obserwacjach z kolejnych dni.
Wykorzystano podstawowe miary błędu w celu porównania prognoz stóp zwrotu uzyskanych
za pomocą obu tych modeli. Analiza ta wykazała wyższość modelu korzystającego z filtru
Kalmana. W ten sposób potwierdzono wyniki uzyskane przez Brooks, Faff i McKenzie
(1998) dla spółek z sektora przemysłowego w Australii, mówiące o wyższości modelu z
filtrem Kalmana w estymacji zmiennego w czasie β, przynajmniej w odniesieniu do spółek z
sektora finansowego i przemysłowego w Australii.
6
MODELOWANIE WSPÓŁCZYNNIKA RYZYKA BETA DLA
AKCJI TRZYNASTU SPÓŁEK SEKTORA FINANSOWEGO W
POLSCE
Poniższy model zbudowaliśmy na podstawie omówionego artykułu, dlatego też
nie będziemy opisywać dokładanie metodologii, ograniczymy się jedynie do
omówienia wyników oraz różnic pomiędzy modelem zaproponowanym przez
autorów
powyższego
artykułu,
a
modelem
wykorzystanym
przez
nas.
Zastosowaliśmy do estymacji model bvGARCH – opisany szerzej przez L. Bauvensa
i podejście wykorzystujące Filtr Kalmana do modelowania współczynnika ryzyka
beta dla spółek sektora finansowego w Polsce. Zgodnie z powyższym artykułem, jak
również istniejącą literaturą dotyczącą tego tematu dowodzi się, że preferowane jest
podejście zwązane z Filtrem Kalmana. Nasze badanie również potwierdza tą tezę.
I. Wstęp
Głównym celem badania było rozszerzenie analizy omawianych autorów (a) biorąc
pod uwagę inny rynek; (b) używając bardziej aktualnych danych; i (c) załączając porównanie
modeli bvGARCH i filtra Kalmana. W tym kontekście, model oparty o filtr Kalmana dał
nieco lepsze oszacowania współczynników beta w porównaniu do modelu bvGARCH dla
polskiego sektora finansowego.
II. Specyfikacja modelu
Specyfikacja naszego modelu nie odbiega w istotny sposób od modelu
przedstawionego w powyższym artykule, dlatego też skupimy się jedynie na uzasadnieniu
wykorzystania modelu bvGARCH do estymacji zmiennego w czasie beta. Po pierwsze, taka
specyfikacja modelu pozwala na zrozumienie i prognozowanie zależności pomiędzy
momentami II rzędu stóp zwrotu. Ponadto, analiza zmienności stóp zwrotu poprzez modele
wielorównaniowe prowadzi do lepszych wyników, dzięki czemu stanowi lepsze narzędzie
decyzyjne przy wyborze modelu wyceny, doboru portfela, hedgingu i VaR.
Model przez nas estymowany różni się od modelu przedstawionego w artykule
następującymi szczegółami:
•
Autorzy założyli w modelu GARCH zerowe elementy na przecięciu przekątnych w
równaniu wariancji, my uchyliliśmy to założenie, dzięki czemu do obliczenia szeregu
beta nie potrzebowaliśmy współczynnika korelacji między szeregami.
•
W równaniu średniej w modelu GARCH uwzględniliśmy również stałą, zakładając,
że spółki różnią się między sobą również w fundamentalnej wycenie.
III. Wyniki empiryczne
Dzienne dane o cenach akcji trzynastu spółek pochodzą z serwisu bossa.pl.
Podsumowanie danych znajduje się w Tabeli I. Dane obejmują okres od pierwszej emisji
każdego waloru aż do 20 kwietnia 2006. Indeks rynkowy – WIG był dostępny od 16 kwietnia
1991. . Data początkowa każdej z próbek zawiera się pomiędzy 13 sierpnia 1992, a 10
listopada 2004, w zależności od momentu emisji akcji danej spółki. Wszystkie ceny zostały
zamienione na stopy zwrotu, przy założeniu ciągłości.
7
Pierwszym krokiem w analizie było zastosowanie metody MNK do standardowego
modelu rynkowego, aby otrzymać punktową estymację współczynnika beta. Wyniki
przedstawia ostatnia kolumna w Tabeli I. Wszystkie trzynaście spółek ma współczynnik beta,
który jest istotnie różny od zera (a). Dla dziewięciu spółek jest on istotnie różny od jedności
(b). Ogólnie, rezultat tych obliczeń wskazuje, że sektor finansowy jest mniej ryzykowny niż
portfel rynkowy.
Współczynniki beta uzyskane z wykorzystaniem modelu GARCH
Dla każdej spółki współczynniki α i β w równaniu warunkowej wariancji są
istotnie różne od zera (statystyka t-studenta na szarym tle), dla 10 spółek model okazał się
stacjonarny (suma parametrów mniejsza od jedności). Jedynie model dla Getin Bank i
ING BSK okazał się niestacjonarny. Jak już wcześniej wspomniano, w estymowanym
modelu liczenie stałego w czasie współczynnika korelacji było zbędne, gdyż kowariancję
pomiędzy stopą zwrotu danej akcji a indeksem rynkowym estymowaliśmy bezpośrednio
w modelu.
Tabela II
Wyniki modelu GARCH
Nazwa spółki
α0
α1
β1
BACA
0,000
0,150
-0,213
9,41
4,11
-2,48
BOS
0,000
0,164
0,706
13,55
11,06
40,55
BPH
0,000
0,142
0,753
10,44
11,88
41,43
BRE Bank
0,000
0,112
0,872
9,13
15,28
137,09
BZ WBK
0,000
0,101
0,888
6,71
15,13
128,32
Fortis PL
0,000
0,164
0,713
15,16
11,73
43,54
Tabela I Estymatory MNK beta dla akcji spółek sektora finansowego w Polsce
Nazwa Spółki
Początek próby
Punktowy estymator (β
i
)
BACA
14 Października 2003
0.434
ab
BOŚ
3 Marca 1997
0.431
ab
BPH
7 Lutego 1995
0.877
ab
BRE Bank
6 Października 1992
0.867
ab
BZ WBK
22 Czerwca 1993
1.058
a
Fortis PL
7 Listopada 1994
0.576
ab
Getin Bank
5 Października 2001
1.297
a
Bank Handlowy
30 Czerwca 1997
0.589
ab
ING BSK
25 Stycznia 1994
0.802
ab
Kredyt Bank
25 Lipca 1994
0.814
ab
Bank Millennium
13 Sierpnia 1992
0.981
a
Pekao SA
30 Czerwca 1998
0.860
ab
PKO BP
10 Listopada 2004
1.224
a
8
Getin Bank
0,000
0,200
0,813
10,77
17,02
100,06
Bank Handlowy
0,000
0,087
0,899
6,41
12,67
109,79
ING BSK
0,000
0,126
0,876
9,97
19,40
191,72
Kredyt Bank
0,000
0,022
0,975
6,51
12,37
519,38
Bank Millennium
0,000
0,152
0,817
11,93
18,65
97,16
Pekao S.A.
0,000
0,085
0,863
5,30
7,07
46,97
PKO BP
0,000
0,076
0,883
1,94
2,45
19,93
Współczynniki beta uzyskane z modelu z filtrem Kalmana
Model z filtrem Kalmana generuje szerszy zakres β, co jest wynikiem zgodnym z
wynikami omawianego artykułu, jest to prawdopodobnie konsekwencją sposobu działania
algorytmu Kalmana w początkowych iteracjach, dlatego też przy porównaniu obu modeli
pominiemy 50 pierwszych obserwacji, aby nie zafałszowywać wyników badania. Prawie we
wszystkich przypadkach model z filtrem Kalmana dawał dodatnie jak i ujemne wartości β, co
przy danych dziennych może nie zaskakiwać. Podobnie jak w przypadku modelu bvGARCH,
średnia wartość β daje wynik zbliżony do wyników MNK. Pomimo różnicy, współczynnik
korelacji między tymi estymatorami dla wszystkich spółek wyniósł 0.92. Przeciętna korelacja
pomiędzy warunkowymi β dla modelu GARCH i Kalmana dla wszystkich spółek wyniosła
0.53 (od 0.17 dla PKO BP do 0.86 dla Getin).
Tabela III
Porównanie wyników estymacji współczynników beta
Nazwa firmy
Average
time-varying
β
High/Low
Average time-
varying β
High/Low
BACA
0,4598
1,4304
0,5447
0,7433
-0,6688
-4,5430
BOS
0,4012
2,2827
0,4207
3,5466
-1,1327
0,0000
BPH
0,9392
2,2645
0,9071
1,5754
-0,1001
-0,3685
BRE Bank
0,8285
2,0146
0,8305
2,8579
-0,5685
0,0000
BZ WBK
1,0317
2,0127
1,0146
33,1091
0,1956
0,0000
Fortis PL
0,5420
2,1165
0,5113
2,1929
-1,5301
-32,7175
Getin Bank
1,1449
7,5066
1,2059
6,9068
-0,7223
-0,6593
Bank Handlowy
0,4714
1,5447
0,7162
1,3099
-0,1016
-18,0230
ING BSK
0,5893
2,8398
0,6112
1,4783
-0,7610
-0,0286
Kredyt Bank
0,6758
1,8672
0,9582
2,3552
0,0459
0,0000
Bank Millennium
0,9686
3,1097
0,9590
1,9555
-0,4348
-0,1256
9
Pekao S.A.
1,0267
1,9572
0,7639
1,7385
0,1337
0,0000
PKO BP
1,1944
1,8536
1,1444
1,4637
0,9006
0,0000
Wykres 1
Zmienność β dla BACA i Getin Bank
Wykresy pokazują wyestymowane wartości β dla próby, co więcej, pokazują również
różnice w estymacji zmiennego w czasie β dla BACA i Getin Bank. Drugi wykres, w
przeciwieństwie do pierwszego przedstawia bliski związek między parametrami z obu modeli.
Pojawia się więc pytanie, która metoda daje lepsze estymatory? W celu przeanalizowania
właściwości obu modeli przyjrzyjmy się jeszcze zmienności wyestymowanych parametrów na
tle stóp zwrotu z danych walorów.
Wykres 2
Stopy zwrotu vs β dla Getin Bank i Handlowy
Widzimy wyraźnie, że nasze modele dosyć dobrze opisują zmiany zachodzące na
rynku. Można zauważyć, iż dużym wahaniom stóp zwrotu towarzyszy bardzo znaczący
wzrost parametru beta (czyli wzrost ryzyka), co jest zgodne z naszymi oczekiwaniami.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2002
2003
2004
2005
B-GARCH
B-KALMAN
corr=0.88
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2004M01
2004M07
2005M01
2005M07
2006M01
B-GARCH
B-KALMAN
corr=0.43
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
st.zwrotu - Handlowy
B-GARCH
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-.5
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
2002
2003
2004
2005
B-GARCH
B-KALMAN
rGETIN
10
Porównanie błędów prognozy obu modeli
Wybór lepszego modelu oparto na porównaniu błędów prognozy z obu modeli. Dla
każdego przypadku modelowanie beta z wykorzystaniem filtru Kalmana daje niższe błędy
prognozy w porównaniu do modelu GARCH. Średnia wartość MAE dla modelu GARCH
wyniosła 0,01859, natomiast dla modelu wykorzystującego filtr Kalmana tylko 0,01648. Aby
zbadać odporność tego wniosku ze względu na wybraną miarę błędu policzono również MSE.
Analiza otrzymanych wartości prowadzi do takich samych wniosków. Model GARCH daje
wyższy średni MSE 0,00086 w porównaniu z modelem, w którym zastosowano filtr Kalmana
0,00066. Ten wniosek potwierdza wnioski Brooks, Faff i McKenzie (1998), które autorzy
oparli na podstawie analizy danych australijskich firm z sektora przemysłowego i
finansowego.
Tabela IV
Podsumowanie błędów predykcji
MAE
MSE
Nazwa firmy
GARCH
Kalman
GARCH
Kalman
BACA
0,01250
0,01238
0,00030
0,00029
BOS
0,01726
0,01731
0,00067
0,00062
BPH
0,01742
0,01466
0,00063
0,00043
BRE Bank
0,02120
0,01790
0,00097
0,00064
BZ WBK
0,02254
0,01757
0,00109
0,00064
Fortis PL
0,02291
0,02212
0,00128
0,00117
Getin Bank
0,02678
0,02596
0,00219
0,00200
Bank Handlowy
0,01395
0,01357
0,00047
0,00040
ING BSK
0,01655
0,01421
0,00071
0,00047
Kredyt Bank
0,01745
0,01598
0,00070
0,00052
Bank Millennium
0,02484
0,02099
0,00140
0,00099
Pekao S.A.
0,01595
0,01307
0,00048
0,00033
PKO BP
0,01227
0,00853
0,00026
0,00012
MEAN
0,01859
0,01648
0,00086
0,00066
IV. Wnioski
Na podstawie artykułu i dostępnych opracowań zastosowano model bvGARCH i
model oparty o filtr Kalmana do modelowania β na próbce 13 polskich firm z sektora
bankowego. Wyniki estymacji okazały się zgodne z literaturą dotyczącą tego tematu –
dowodząc zmienności β, nawet w obserwacjach z kolejnych dni. Ponadto wykorzystano
podstawowe miary błędu w celu porównania prognoz stóp zwrotu uzyskanych za pomocą obu
tych modeli. Analiza ta wykazała wyższość modelu korzystającego z filtru Kalmana, co
pozwoliło potwierdzić - na podstawie danych z innego rynku - wyniki uzyskane przez
Brooks, Faff i McKenzie dla spółek z sektora przemysłowego i bankowego w Australii,
mówiące o wyższości modelu z filtrem Kalmana w estymacji zmiennego w czasie β.
11
Bibliografia:
•
Luc Bauwens, Multivariate GARCH models, KU Leuven 2005.
•
Frida Lie, Robert Brooks And Robert Faff, Modelling The Equity Beta Risk Of
Australian Financial Sector Companies, Blackwell Publishers Ltd.
•
Jerzy Mycielski, Slajdy z wykładu Ekonometria II, WNE UW, Warszawa 2006.
•
Greg Welch, Gary Bishop, An Introduction To The Kalman Filter, Department Of
Computer Science, University Of North Carolina At Chapel Hill.
•
Wikipedia: The Free Encyclopedia. Wikimedia Foundation. 9 April 2005.
http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter
•
www.bossa.pl
– dane źródłowe do modelu