- 1 -
3. METODY OPISU UKŁADÓW
ELEKTRONICZNYCH
3.1. MODELE ZACISKOWE - CZWÓRNIK
3.1.1. WPROWADZENIE
Wielobiegunnikiem nazywamy element, którego liczba zacisków jest
większa od 2 (m>2). Z każdym zaciskiem wielobiegunnika związana jest
para wielkości elektrycznych.
Definicja1.
Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn. m=2n)
zgrupowanych w n par i dla każdej pary zacisków zachodzi
związek:
k
k
I
I
'
(3.1)
to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";
- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć
zaciskowych tworzących tę bramę;
- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM
Definicja 2.
Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy
wielowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.
m= n
2
1
n
I
1
I
1’
I
n’
I
n
1’
n’
U
1
2n
I
1
I
1’
I
n
I
n’
U
1
U
n
I
1
I
1’
U
1
I
2
I
2’
n=2
U
2
...
...
U
n
1
1’
2
2’
n
n’
1
1’
- 2 -
Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik następująco
1
1’
2
2’
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
2’
Para zacisków 1-1’ – wrota pierwotne (WE)
2-2’ – wrota wtórne (WY)
Granicznymi stanami pracy każdej z bram są:
stan jałowy – gdy prąd danej bramy jest równy zeru
(I
1
=0 lub I
2
=0)
stan zwarcia – gdy napięcie danej bramy jest równe zeru
(U
1
=0 lub U
2
=0)
3.1.2. TRÓJNIK A CZWÓRNIK
Przyjmijmy jeden z zacisków trójnika za zacisk odniesienia.
Rozszczepiając zacisk odniesienia na dwa zwarte zaciski otrzymamy
czwórnik – nazywany czwórnikiem o strukturze trójnikowej
(czwórnikiem o wspólnej masie).
1
1’
2
I
1
U
1
I
2
U
2
2’
1
2
I
1
U
1
I
2
U
2
- 3 -
3.1.3. PODSTAWOWE RÓWNANIA CZWÓRNIKA
Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą
WIELKOŚCI ZACISKOWE, a więc prąd i napięcie wejściowe (I
1
, U
1
)
oraz prąd i napięcie wyjściowe (I
2
, U
2
).
Spośród czterech wielkości zaciskowych tylko dwie mogą być
przyjęte jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne. Para wielkości
niezależnych może być wybrana na sześć różnych sposobów, czwórnik
można zatem opisać jednym z sześciu rodzajów równań zaciskowych.
Para wielkości zaciskowych
ZALEŻNYCH
NIEZALEŻNYCH
RODZAJ RÓWNAŃ
1.
I
1
, I
2
U
1
, U
2
ADMITANCYJNE
2.
U
1
, U
2
I
1
, I
2
IMPEDANCYJNE
3.
U
1
, I
2
I
1
, U
2
HYBRYDOWE
4.
I
1
, U
2
U
1
, I
2
HYBRYDOWE ODWROTNE
5.
U
1
, I
1
U
2
, I
2
ŁAŃCUCHOWE
6.
U
2
, I
12
U
1
, I
1
ŁAŃCUCHOWE ODWROTNE
- 4 -
1. RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA
Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są napięcia: pierwotne
U
1
oraz wtórne U
2
. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia
czwórnika
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
1
1’
2
2’
I
11
U
1
I
21
CZWÓRNIK
1
1’
CZWÓRNIK
U
2
2
2’
I
12
I
22
=
+
22
21
2
12
11
1
I
I
I
I
I
I
gdzie:
1
11
11
U
y
I
2
12
12
U
y
I
1
21
21
U
y
I
2
22
22
U
y
I
Zatem równania admitancyjne czwórnika otrzymuje się jako:
2
22
1
21
2
2
12
1
11
1
U
y
U
y
I
U
y
U
y
I
(3.2)
- 5 -
2
22
1
21
2
2
12
1
11
1
U
y
U
y
I
U
y
U
y
I
(3.2)
lub w postaci macierzowej
2
1
2
1
22
21
12
11
2
1
U
U
U
U
y
y
y
y
I
I
Y
Elementy macierzy admitancyjnej Y nazywamy parametrami
admitancyjnymi czwórnika - można je wyznaczyć z układu równań 3.2
(jako stosunki prądów zaciskowych do napięć zaciskowych przy zwarciu
jednej z par zacisków):
0
1
1
11
2
U
U
I
y
admitancja dwójnika 1-1’ (od P)
0
2
1
12
1
U
U
I
y
admitancja wzajemna od W do P
0
1
2
21
2
U
U
I
y
admitancja wzajemna od P do W
0
2
2
22
1
U
U
I
y
admitancja dwójnika 2-2’ (od W)
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
1
1’
2
2’
I
1
U
2
I
2
CZWÓRNIK
1
1’
2
2’
Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (3.2)
I
1
U
1
I
2
U
2
y
11
y
12
U
2
y
22
y
21
U
1
- 6 -
2. RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA
2
22
1
21
2
2
12
1
11
1
I
z
I
z
U
I
z
I
z
U
2
1
2
1
22
21
12
11
2
1
I
I
I
I
z
z
z
z
U
U
Z
(3.3)
Elementy macierzy impedancyjnej Z (parametry impedancyjne)
mają wymiar impedancji [
]. Można je wyznaczyć jako stosunki napięć
zaciskowych do prądów zaciskowych przy rozwarciu jednej z par
zacisków:
o
I
Z
I
U
z
1
0
1
1
11
2
impedancja dwójnika 1-1’ (od P)
impedancja wejściowa rozwarciowa
0
2
1
12
1
I
I
U
z
impedancja wzajemna od W do P
0
1
2
21
2
I
I
U
z
impedancja wzajemna od P do W
o
I
Z
I
U
z
2
0
2
2
22
1
impedancja dwójnika 2-2’ (od W)
impedancja wyjściowa rozwarciowa
I
1
U
1
I
2
=0
CZWÓRNIK
1
1’
2
2’
U
2
I
1
=0
U
1
I
2
1
1’
2
2’
U
2
CZWÓRNIK
Schemat zastępczy czwórnika dla równań (3.3)
I
1
U
1
I
2
U
2
z
11
z
12
I
2
z
22
z
21
I
1
- 7 -
3. RÓWNANIA HYBRYDOWE CZWÓRNIKA
Jeśli przyjmiemy, że wielkościami niezależnymi jest prąd pierwotny
I
1
oraz napięcie wtórne U
2
- otrzymamy równania hybrydowe (mieszane)
czwórnika:
2
22
1
21
2
2
12
1
11
1
U
h
I
h
I
U
h
I
h
U
(3.4)
lub w postaci macierzowej
2
1
2
1
22
21
12
11
2
1
U
I
U
I
h
h
h
h
I
U
H
gdzie H nazywamy macierzą hybrydową czwórnika.
Schemat zastępczy czwórnika dla równań (3.4)
I
1
U
1
h
11
h
12
U
2
I
2
U
2
h
22
h
21
I
1
0
1
1
11
2
U
I
U
h
[
]
impedancja wejściowa przy
zwartym wyjściu
0
2
1
12
1
I
U
U
h
[-]
współczynnik oddziaływania
zwrotnego
0
1
2
21
2
U
I
I
h
[-]
zwarciowy współczynnik
wzmocnienia prądowego
0
2
2
22
1
I
U
I
h
[S]
admitancja wyjściowa przy
rozwartym wejściu
- 8 -
3.1.4. PARAMETRY ROBOCZE CZWÓRNIKA
1. IMPEDANCYJA WEJŚCIOWA
Określana jest na zaciskach pierwotnych jako stosunek napięcia do
prądu pierwotnego przy obciążeniu czwórnika po stronie wtórnej
dwójnikiem o impedancji Z
obc
.
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
1
Z
g
E
g
Z
obc
1’
2
2’
Z
we
=
U
1
I
1
Jeśli czwórnik opisuje się równaniami impedancyjnymi to z
pierwszego równania (3.3):
2
12
1
11
1
I
z
I
z
U
1
2
12
11
1
1
I
I
z
z
I
U
Z
we
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że
2
2
I
Z
U
obc
2
22
1
21
2
I
z
I
z
U
22
21
1
2
z
Z
z
I
I
obc
Stąd:
22
21
12
11
1
1
z
Z
z
z
z
I
U
Z
obc
we
(3.5)
- 9 -
2. IMPEDANCYJA WYJŚCIOWA
Jest impedancją widzianą z zacisków wtórnych czwórnika (przy
E
g
= 0) i wyraża się stosunkiem napięcia do prądu wtórnego.
I
1
U
1
I
2
CZWÓRNIK
U
2
1
Z
g
1’
2
2’
Z
wy
=
U
2
I
2
Z drugiego równania (3.3) otrzymujemy
2
22
1
21
2
I
z
I
z
U
2
1
21
22
2
2
I
I
z
z
I
U
Z
wy
Natomiast z drugiego równania po uwzględnieniu, że
1
1
I
Z
U
g
2
12
1
11
1
I
z
I
z
U
11
12
2
1
z
Z
z
I
I
g
Stąd:
11
21
12
22
2
2
z
Z
z
z
z
I
U
Z
g
wy
(3.6)
- 10 -
3. WZMOCNIENIE NAPIĘCIOWE
(TRANSMITANCJA NAPIĘCIOWA)
obc
obc
u
Z
z
Z
z
U
U
K
11
21
1
2
det
Z
(3.7)
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
rzeczywistego źródła energii,
mówimy o
skutecznym (efektywnym)
wzmocnieniu napięciowym:
I
1
U
1
U
2
1
Z
g
E
g
Z
obc
1’
2
2’
we
g
u
we
g
g
g
sk
u
Z
Z
K
Z
U
Z
U
U
I
Z
U
U
E
U
K
1
1
1
2
1
1
2
2
(3.8)
4. WZMOCNIENIE PRĄDOWE
(TRANSMITANCJA PRĄDOWA)
obc
i
Z
z
z
I
I
K
22
21
1
2
(3.9)
Gdy uwzględni się fakt zasilania z
rzeczywistego źródła energii,
mówimy o
skutecznym (efektywnym)
wzmocnieniu prądowym:
I
1
U
1
U
2
1
Z
g
Z
obc
1’
2
2’
I
g
(-I
2
)
g
we
i
g
g
we
g
g
g
g
g
sk
i
Z
Z
K
Z
I
Z
I
Z
I
Z
I
Z
U
I
Z
E
I
I
I
K
1
1
1
2
1
1
2
2
2
(3.10)
- 11 -
3.2. OPIS CZĘSTOTLIWOŚCIOWY
3.2.1. POJĘCIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie
harmoniczne o symbolicznej wartości skutecznej F (napięciowe lub
prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedź o
symbolicznej wartości skutecznej R (prądowa lub napięciowa).
F
R
układ
elektryczny
Jeśli wielkości F i R występują na tych samych zaciskach to
rozpatrywany układ jest
dwójnikiem
.
W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru:
I
Z
U
Z
Y
U
0
I
Z
I
Z
U
(3.11a)
0
U
Y
I
(3.11b)
Zatem stosunek odpowiedzi do wymuszenia, definiujemy jako:
IMpedancja
Z
I
U
Z
(3.12a)
adMITANCJA
0
U
I
Y
(3.12b)
Dla obu tych wielkości spełniających związek
1
Z
Y
(3.14)
stosujemy określenie : IMMITANCJA
- 12 -
W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia
z
czwórnikiem
. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a
odpowiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do
wymuszenia nazywamy TRANSMITANCJĄ.
F
R
K
F
R
K
(3.15)
czyli
F
K
R
(3.16)
Ponieważ w przypadku czwórnika wymuszeniem i odpowiedzią może
być prąd lub napięcie, należy więc rozróżnić
cztery transmitancje
:
K
u
I
2
=0
U
2
U
1
transmitancję napięciową
0
1
2
2
I
u
U
U
K
(3.17a)
K
iu
I
2
U
1
transmitancję prądowo-napięciową
0
1
2
2
U
u
i
U
I
K
(3.17b)
K
i
I
2
I
1
transmitancję prądową
0
1
2
2
U
i
I
I
K
(3.17c)
K
ui
I
2
=0
U
2
I
1
transmitancję napięciowo-prądową
0
1
2
2
I
i
u
I
U
K
(3.17d)
- 13 -
3.2.2. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależą od:
układu (jego struktury i wartości elementów);
pulsacji (częstotliwości) sygnału wymuszającego.
Dla układu liniowego, badanego przy przebiegach harmonicznych dla
określonej pulsacji słuszna jest zależność:
F
R
j
j
m
m
e
F
e
R
F
R
K
2
2
F
R
j
e
F
R
(3.18)
j
e
K
Charakterystykami częstotliwościowymi układu nazywamy
zależność transmitancji lub immitancji układu
od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.
)
(
)
(
)
(
j
e
K
K
dla
)
0
(
(3.19)
gdzie: K(
) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
K(
) - częstotliwościowa
charakterystyka amplitudowa
(
) - częstotliwościowa
charakterystyka fazowa
UWAGA:
)
(
lg
20
)
(
K
K
dB
Wybrane wartości w decybelach
)
(
K
N
10
0,1
2
/
1
1
2
10
N
10
)
(
lg
20
K
[dB]
N
20
-20
-3
0
3
20
N
20
moduł transmitancji K
określony
jest
stosunkiem
wartości
skutecznych
odpowiedzi do wymuszenia
argument transmitancji
wyraża
kąt
przesunięcia
fazowego
odpowiedzi
w
odniesieniu do wymuszenia
- 14 -
3.2.3. PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW
częstotliwość graniczna
częstotliwość przy której moduł transmitancji
maleje o 3 dB od wartości nominalnej dla której
umownie przyjęto poziom 0dB.
pasmo przenoszenia
d
g
P
f
f
S
zakres częstotliwości, w którym moduł
transmitancji maleje nie więcej niż o 3 dB od
wartości nominalnej, a jest to zakres
częstotliwości zawarty między częstotliwościami
granicznymi. Miarą pasma przenoszenia jego
szerokość S
P
selektywność układu
)
20
(
)
3
(
dB
S
dB
S
p
P
P
zdolność
rozdziału
częstotliwościowego
przenoszonych sygnałów. Miarą selektywności
jest współczynnik prostokątności p
nachylenie charakterystyki
określa się liczbą decybeli wyrażającą zmianę
modułu transmitancji układu na dekadę w
zadanym zakresie częstotliwości
K f
( )
1
0,707
f
g1
0,1
0dB
-3dB
-20dB
f
g2
f
s
f
3.2.4. KLASYFIKACJA UKŁADÓW
wąskopasmowe
S
P
f
s
szerokopasmowe
S
P
=f
s
lub
S
P
f
s
dolnoprzepustowe
f
g1
=0
f
g2
górnoprzepustowe
f
g1
0
f
g2
=
środkowoprzepustowe f
g1
0
f
g2
środkowozaporowe
f
(f
g1
, f
g2
)
f
g1
0
f
g2
- 15 -
3.2.5. FILTRY RC
GÓRNOPRZEPUSTOWY
R
1
C
1
U
1
U
2
I
Zgodnie z (3.17a):
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
C
j
R
R
I
C
j
R
I
R
U
U
K
u
Czyli:
1
1
1
1
1
C
R
j
C
R
j
K
u
(3.20)
lub
u
K
1
1
2
2
1
1
1
1
1
C
R
arctg
j
e
C
R
C
R
K(
)
(
)
K(
)
- częstotliwościowa
charakterystyka
amplitudowa
(
)
- częstotliwościowa
charakterystyka
fazowa
K( )
1
0,707
g1
=1/R C
1
1
( )
/2
/4
g1
=1/R C
1
1
UWAGA:
1
1
1
1
2
1
2
1
C
R
f
g
1
- stała czasu FG
- 16 -
DOLNOPRZEPUSTOWY
R
2
C
2
U
1
U
2
I
Zgodnie z (3.17a):
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
C
j
R
C
j
I
C
j
R
I
C
j
U
U
K
u
Czyli:
2
2
1
1
C
R
j
K
u
(3.21)
lub
u
K
2
2
2
2
2
1
1
C
R
arctg
j
e
C
R
K(
)
(
)
K(
)
- częstotliwościowa
charakterystyka
amplitudowa
(
)
- częstotliwościowa
charakterystyka
fazowa
K( )
1
0,707
g2
=1/R C
2
2
( )
/2
/4
g2
=1/R C
2
2
UWAGA:
2
2
2
2
2
1
2
1
C
R
f
g
2
- stała czasu FD
- 17 -
3.3. OPIS CZASOWY
3.3.1. WPROWADZENIE
Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie
przyczynowe f(t) (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną
funkcją jest odpowiedź r(t) (prądowa lub napięciowa).
f t
( )
r t
( )
układ
elektryczny
Czasową charakterystykę układu o określonym wejściu i
wyjściu stanowi przebieg sygnału wyjściowego, gdy na
wejściu działa wymuszenie będące sygnałem wzorcowym.
Jeśli
sygnałem wzorcowym f(t)
jest funkcja skoku jednostkowego
1(t) to
t
h
s
H
s
K
s
t
r
1
1
1
L
L
(3.22)
gdzie
h(t)
–
CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA UKŁADU
(zwana
funkcją/charakterystyką przejściową)
UWAGA:
0
1
0
0
)
(
1
)
(
t
dla
t
dla
t
t
f
t
f t
( )
0
1
Skok jednostkowy
W chwili t = 0 pojawia się sygnał o wartości jeden i następnie dla
czasów t > 0 nie ulega on zmianie. Każde wymuszenie stałe doprowadzone
do obwodu w chwili t = 0 można traktować jako iloczyn sygnału
jednostkowego i wielkości stałej.
- 18 -
3.3.2. PARAMETRY CZASOWE UKŁADÓW
t
h =1
ust
0
h(t)
t
o
t
n
0,1
0,5
0,9
t
m
Czas narastania t
n
czas wzrostu charakterystyki skokowej
układu od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej
Czas opóźnienia t
o
czas wzrostu charakterystyki skokowej
układu od 0 do 0,5 wartości ustalonej
Czas opadania t
m
czas malenia charakterystyki skokowej
układu od 0,9 do 0,1 wartości ustalonej
- 19 -
3.3.3. UKŁADY RC
RÓŻNICZKUJĄCY
GÓRNOPRZEPUSTOWY
R
1
C
1
u t
t
1
( )=1( )
u t
2
( )
dt
u
d
C
R
t
u
1
1
1
2
t
e
t
e
t
u
C
R
1
1
1
1
1
1
1
2
(3.23)
t
1
0
h(t)
CAŁKUJĄCY
DOLNOPRZEPUSTOWY
R
2
C
2
u t
t
1
( )=1( )
u t
2
( )
t
dt
u
C
R
t
u
0
1
2
2
2
1
t
e
t
e
t
u
C
R
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
(3.24)
t
1
0
h(t)
- 20 -
3.4. ZWIĄZKI CHARAKTERYSTYK UKŁADU
0
lim
lim
0
h
K
h
K
(3.25)
Są to związki o bardzo dużym znaczeniu praktycznym. Wynika z nich
jednoznacznie, że jeśli znamy np. charakterystykę amplitudową K(
), to
jej graniczne wartości określają jednoznacznie graniczne wartości funkcji
skokowej (przejściowej) h(t) i odwrotnie.
t
1
0
h(t)
1
0
K( )