Wykład 24
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
Wykład 24
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe pierwszego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodn
,
a
y
0
= −
F
0
x
F
0
y
.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
DOWÓD:
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) > 0.
Z ciągłości
∂F
∂y
istnieje δ > 0 taka, że
∂F
∂y
(x, y) > 0 dla
x ∈ (x
0
− 2δ, x
0
+ 2δ) y ∈ (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Funkcja y −→ F (x
0
, y) jest rosnąca w (y
0
− 2δ, y
0
+ 2δ).
Mamy zatem F (x
0
, y
0
− δ) < 0 i F (x
0
, y
0
+ δ) > 0.
Z ciągłości F istnieje δ
1
∈ (0, δ) taka, że dla x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
)
mamy F (x, y
0
− δ) < 0, F (x, y
0
+ δ) > 0.
Zatem ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) funkcja y −→ F (a, y) jest rosnąca w
[y
0
− δ, y
0
+ δ].
Mamy więc ∀a ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) istnieje dokładnie jedno
b ∈ (y
0
− δ, y
0
+ δ) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
Dla wybranego δ > 0 możemy wybrać δ
1
> 0 takie, że dla
∀x ∈ (x
0
− δ
1
, x
0
+ δ
1
) mamy |y(x) − y
0
| < δ czyli y jest ciągła w x
0
.
0 = F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
F (x
0
+ h, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y(x
0
+ h)) + F (x
0
, y(x
0
+ h)) − F (x
0
, y
0
) =
= F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))h+
+F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))(y(x
0
+ h) − y(x
0
)).
Mamy stąd
y(x
0
+ h) − y(x
0
)
h
= −
F
0
x
(x
0
+ θh, y(x
0
+ h))
F
0
y
(x
0
, b + η(y(x
0
+ h) − y(x
0
)))
.
Z ciągłości F
0
x
, F
0
y
, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
y
0
(x
0
) =
F
0
x
(x
0
, y
0
)
F
0
y
(x
0
, y
0
)
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma drug
,
a pochodn
,
a
y
00
= −
F
00
xx
(F
0
y
)
2
− 2F
00
xy
F
0
x
F
0
y
+ F
00
yy
(F
0
x
)
2
(F
0
x
)
3
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma drug
,
a pochodn
,
a
y
00
= −
F
00
xx
(F
0
y
)
2
− 2F
00
xy
F
0
x
F
0
y
+ F
00
yy
(F
0
x
)
2
(F
0
x
)
3
.
FUNKCJA UWIKŁANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana b
,
edzie funkcja F : D −→ R, gdzie D ⊂ R
2
maj
,
aca ci
,
agłe
pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu.
Jeżeli F (x
0
, y
0
) = 0 oraz
∂F
∂y
(x
0
, y
0
) 6= 0 to istnieje U otoczenie punktu
x
0
i istnieje V otoczenie punktu y
0
takie, że ∀a ∈ U istnieje dokładnie
jedno b ∈ V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U −→ V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma drug
,
a pochodn
,
a
y
00
= −
F
00
xx
(F
0
y
)
2
− 2F
00
xy
F
0
x
F
0
y
+ F
00
yy
(F
0
x
)
2
(F
0
x
)
3
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy dowolny ci
,
ag
∆ = {x
i
}
n
i=0
taki, że
x
i
< x
j
jeśli i < j
x
0
= a, x
n
= b.
DEFINICJA 359
Średnic
,
a podziału ∆ = {x
i
}
n
i=0
przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
δ(∆) = max{|x
i
− x
i−1
| : i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ci
,
ag {∆
n
}
∞
n=1
podziałów przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
normalnym ci
,
agiem podziałów jeżeli δ
n
średnica podziału ∆
n
zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy dowolny ci
,
ag
∆ = {x
i
}
n
i=0
taki, że
x
i
< x
j
jeśli i < j
x
0
= a, x
n
= b.
DEFINICJA 359
Średnic
,
a podziału ∆ = {x
i
}
n
i=0
przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
δ(∆) = max{|x
i
− x
i−1
| : i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ci
,
ag {∆
n
}
∞
n=1
podziałów przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
normalnym ci
,
agiem podziałów jeżeli δ
n
średnica podziału ∆
n
zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy dowolny ci
,
ag
∆ = {x
i
}
n
i=0
taki, że
x
i
< x
j
jeśli i < j
x
0
= a, x
n
= b.
DEFINICJA 359
Średnic
,
a podziału ∆ = {x
i
}
n
i=0
przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
δ(∆) = max{|x
i
− x
i−1
| : i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ci
,
ag {∆
n
}
∞
n=1
podziałów przedziału zamkni
,
etego [a, b] nazywamy
normalnym ci
,
agiem podziałów jeżeli δ
n
średnica podziału ∆
n
zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f b
,
edzie określona na przedziale zamkni
,
etym [a, b] i niech
∆ = {x
i
}
n
i=0
b
,
edzie podziałem przedziału zamkni
,
etego [a, b] zaś
ξ = {ξ
i
}
n
i=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów pośrednich tj. ξ
i
∈ [x
i−1
, x
i
].
Wyrażenie S(f, ∆, ξ) =
n
P
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) nazywamy sum
,
a
aproksymacyjn
,
a całki Riemanna funkcji f przy podziale ∆ i punktach
pośrednich ξ.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b] i niech ξ
(n)
= {ξ
(n)
j
}
p
n
j=1
b
,
edzie ci
,
agiem punktów
pośrednich dla ∆
n
.
Niech ponadto S
n
b
,
edzie sum
,
a aproksymacyjn
,
a całki funkcji f przy
podziale ∆
n
i punktach pośrednich ξ
(n)
.
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim
n→∞
S
n
niezależna od wyboru normalnego ci
,
agu
podziałów i ci
,
agu punktów pośrednich to granic
,
e t
,
e nazywamy całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy
b
R
a
f (x) dx.
DEFINICJA 363
Funkcję f : R
n
⊃ D −→ R nazywamy jednostajnie ciągłą w D wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 takie, że nierówność kx
1
− x
2
k < δ
implikuje nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : R
n
⊃ G −→ R jest ciągła to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim
n→∞
S
n
niezależna od wyboru normalnego ci
,
agu
podziałów i ci
,
agu punktów pośrednich to granic
,
e t
,
e nazywamy całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy
b
R
a
f (x) dx.
DEFINICJA 363
Funkcję f : R
n
⊃ D −→ R nazywamy jednostajnie ciągłą w D wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 takie, że nierówność kx
1
− x
2
k < δ
implikuje nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : R
n
⊃ G −→ R jest ciągła to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAŁKA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim
n→∞
S
n
niezależna od wyboru normalnego ci
,
agu
podziałów i ci
,
agu punktów pośrednich to granic
,
e t
,
e nazywamy całk
,
a
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy
b
R
a
f (x) dx.
DEFINICJA 363
Funkcję f : R
n
⊃ D −→ R nazywamy jednostajnie ciągłą w D wtedy i
tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 takie, że nierówność kx
1
− x
2
k < δ
implikuje nierówność |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : R
n
⊃ G −→ R jest ciągła to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAŁKA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f b
,
edzie określona i ograniczona na przedziale zamkni
,
etym
[a, b], niech {∆
n
}
∞
n=1
b
,
edzie normalnym ci
,
agiem podziałów przedziału
zamkni
,
etego [a, b], gdzie ∆
n
= {x
(n)
j
}
p
n
j=0
i niech
M
(n)
i
= sup{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]} m
i
= inf{f (x) : x ∈ [x
(n)
i−1
, x
(n)
i
]}
Niech ponadto S
n
=
p
n
P
j=1
M
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
),
S
n
=
p
n
P
j=1
m
(n)
j
(x
(n)
j
− x
(n)
j−1
).
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
, zaś całką
dolną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim
n→∞
S
n
.
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.