1
Wykład pierwszy
Oznaczenia
N – zbiór liczb naturalnych
Z – zbiór liczb całkowitych
Q – zbiór liczb wymiernych
R – zbiór liczb rzeczywistych
∀ – kwantyfikator ogólny – ”dla każdego”
∃ – kwantyfikator szczegółowy – ”istnieje”
Podstawowe własności funkcji
X, Y - dowolne zbiory niepuste; f : X → Y - funkcja f określona na zbiorze X o wartościach
w zbiorze Y . x -
argument funkcji f
(zmienna niezależna); y = f (x)
wartość funkcji f
(zmienna
zależna).
X
df
= D
f
-
dziedzina funkcji f
;
R
f
df
={y ∈ Y : y = f (x) dla pewnego x ∈ D
f
} -
przeciwdziedzina funkcji f
.
Jeśli D
f
⊂ R, R
f
⊂ R, to f - funkcja
liczbowa
.
Def. 1. Funkcje f
1
, f
2
są
równe
, jeśli 1) D
f
1
= D
f
2
; 2) ∀x ∈ D
f
1
[f
1
(x) = f
2
(x)].
Def. 2. Niech f : X → Y i A ⊂ X. Funkcja f jest
różnowartościowa
na zbiorze A, jeśli
∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
6= x
2
⇒ f (x
1
) 6= f (x
2
)] ≡ ∀x
1
, x
2
∈ A [f (x
1
) = f (x
2
) ⇒ x
1
= x
2
]
Def. 3. Niech f : X → Y , g : Y → Z. Funkcja
złożona
(
superpozycja
) funkcji f (f.
we-
wnętrzna
) i g (f.
zewnętrzna
)to funkcja h : X → Z określona wzorem ∀x ∈ X[h(x)
df
= g(f (x)).
h
ozn
= g ◦ f .
Jeśli f : X → Y taka, że R
f
= Y i f - różnowartościowa, to można określić funkcję
g : Y → X wzorem
∀x ∈ X, y ∈ Y [g(y) = x
df
⇔ f (x) = y]
Funkcja g
ozn
= f
−1
- funkcja
odwrotna
do funkcji f .
Uwaga 1. f ◦ f
−1
= id
Y
, f
−1
◦ f = id
X
.
2
Def. 4. Funkcja f : X → Y jest
parzysta
, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = f (x)];
Funkcja f : X → Y jest
nieparzysta
, jeśli ∀x ∈ X[−x ∈ X ∧ f (−x) = −f (x)].
Uwaga 2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą. Iloczyn
funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcja nieparzystą.
Def. 5. Funkcja f : X → Y jest
rosnąca
(odp.
niemalejąca
) na zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) < f (x
2
)]
(odp. ∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) ¬ f (x
2
)] )
Def. 6. Funkcja f : X → Y jest
malejąca
(odp.
nierosnąca
) na zbiorze A ⊂ X, jeśli
∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) > f (x
2
)]
(odp. ∀x
1
, x
2
∈ A [x
1
< x
2
⇒ f (x
1
) f (x
2
)] )
Def. 7. Funkcja f jest
monotoniczna
(odp.
ściśle monotoniczna
) na zbiorze A, jeśli jest na
tym zbiorze niemalejąca lub nierosnąca (odp. rosnąca lub malejąca).
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym przedziale O = (x
0
− δ; x
0
+ δ).
Def. 8. Funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum lokalne
(odp.
minimum lokalne
), jeżeli
∀x ∈ O
1
⊂ O [f (x) ¬ f (x
0
)] (odp. ∀x ∈ O
1
⊂ O [f (x) f (x
0
)])
Funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum lokalne
, jeśli ma w tym punkcie minimum lub
maksimum lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to
ekstremum jest
właściwe
.
Funkcje cyklometryczne (kołowe)
Funkcja x = sin y na przedziale h−
π
2
;
π
2
i ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościo-
wa. Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna
arkus sinus
(arcsin):
y = arcsin x ⇔ x = sin y i y ∈ h−
π
2
;
π
2
i
Funkcja x = cos y na przedziale h0 ; πi ma przeciwdziedzinę h−1 ; 1i i jest różnowartościowa.
Na zbiorze h−1 ; 1i określona jest funkcja odwrotna
arkus kosinus
(arccos):
y = arccos x ⇔ x = cos y i y ∈ h0 ; πi
Funkcja x = tg y na przedziale (−
π
2
;
π
2
) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa.
Na zbiorze R określona jest funkcja odwrotna
arkus tangens
(arctg ):
y = arctg x ⇔ x = tg y i y ∈ (−
π
2
;
π
2
)
Funkcja x = ctg y na przedziale (0 ; π) ma przeciwdziedzinę R i jest różnowartościowa. Na
zbiorze R określona jest funkcja odwrotna
arkus kotangens
(arcctg ):
y = arcctg x ⇔ x = ctg y i y ∈ (0 ; π)
3
y = arcsin x
y = sin x
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
X
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Y
y = arccos x
y = cos x
-1
1
2
X
-1
1
2
Y
y = tg x
y = arctg x
-4
-2
2
4
X
-6
-4
-2
2
4
Y
y = arcctg x
y = ctg x
-4
-2
2
4
X
-6
-4
-2
2
4
Y
Uwaga 3. Dla każdego x ∈ h−1 ; 1i:
1. sin(arcsin x) = x, cos(arccos x) = x
2. sin(arccos x) = cos(arcsin x) =
√
1 − x
2
Logarytmy
Funkcja wykładnicza y = a
x
, a > 0, a 6= 1 , x ∈ R ma przeciwdziedzinę R
+
i jest różnowar-
tościowa. Na zbiorze R
+
określona jest funkcja odwrotna – f.
logarytmiczna
4
y = log
a
x ⇔ x = a
y
i y ∈ R
Uwaga 4. Własności funkcji logarytmicznej:
1. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1: x = a
log
a
x
;
2. dla każdych x
1
, x
2
> 0 i a > 0 , a 6= 1: log
a
x
1
+ log
a
x
2
= log
a
(x
1
· x
2
);
3. dla każdych x
1
, x
2
> 0 i a > 0 , a 6= 1: log
a
x
1
− log
a
x
2
= log
a
x
1
x
2
;
4. dla każdego x > 0 i a > 0 , a 6= 1 , α ∈ R: log
a
x
α
= α · log
a
x;
5. dla każdego x > 0 i a, b > 0 , a 6= 1, b 6= 1: log
a
x =
log
b
x
log
b
a
e = 2, 718 . . . - stała matematyczna; jeśli a = e, to log
e
x
ozn
= ln x - logarytm naturalny.
y = ã
x
y = ln x
-2
-1
1
2
X
-3
-2
-1
1
2
Y
Funkcje hiperboliczne
Funkcje hiperboliczne:
sinus hiperboliczny
(sh, sinh),
kosinus hiperboliczny
(ch, cosh),
tangens
hiperboliczny
(th, tgh),
kotangens hiperboliczny
(cth, ctgh) określone są następująco
1. sh x
df
=
e
x
− e
−x
2
, x ∈ R
2. ch x
df
=
e
x
+ e
−x
2
, x ∈ R
3. th x
df
=
sh x
ch x
, x ∈ R
5
4. cth x
df
=
ch x
sh x
, x ∈ R − {0}
Uwaga 5. Funkcja ch jest funkcją parzystą, pozostałe f.hiperboliczne są nieparzyste.
y = sh x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y
y = ch x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y
y = th x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y
y = cth x
-4
-2
2
X
-4
-2
2
4
Y