3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
1
Zadanie 1.
-DNLH MHVW SUDZGRSRGRELHVWZR *H Z GREU]H SRWDVRZDQHM WDOLL NDUW
ZV]\VWNLH DV\ VVLDGXM ]H VRE QLH V UR]G]LHORQH LQQ\PL NDUWDPL "
(A)
1
4
52
−
(B)
1
3
52
−
(C)
52
4
(D)
50
51
52
!
4
⋅
⋅
(E)
!
48
1
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
2
Zadanie 2. Niech
8
2
1
,
,
,
X
X
X
E G]LH SUyE ] UR]NáDGX MHGQRVWDMQHJR QD
przedziale
( )
θ
,
0
, gdzie
0
>
θ
MHVW QLH]QDQ\P SDUDPHWUHP =QDMG( QDMPQLHMV] OLF]E c
WDN *HE\ SU]HG]LDá
{
}
{
}
[
]
8
2
1
8
2
1
,
,
,
max
,
,
,
,
max
X
X
X
c
X
X
X
⋅
%\á SU]HG]LDáHP XIQR FL GOD
θ
na poziomie 0.9375
(A)
2.0000
(B)
1.0667
(C)
1.4142
(D)
1.0625
1.1250
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
3
Zadanie 3. Niech
1
N i
2
N
E G QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R UR]NáDGDFK
3RLVVRQD ] ZDUWR FLDPL RF]HNLZDQ\PL RGSRZLHGQLR
( )
20
1
=
N
E
,
( )
30
2
=
N
E
.
(
)
50
2
1
1
=
+
N
N
N
VAR
wynosi:
(A)
0
(B)
10
(C)
20
(D)
12
(E)
50
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
4
Zadanie 4. Rozpatrzmy zmienne losowe X i Y
R áF]Q\P UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P
:LDGRPR *H
( )
9
=
Y
VAR
( )
7
2
1
+
=
X
X
Y
E
( )
8
=
X
Y
VAR
Wobec tego
( )
Y
X
COV
,
wynosi:
(A)
3
1
(B)
3
1
−
(C)
2
(D)
2
1
(E)
1
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
5
Zadanie 5. Niech
n
X
X
X
,
,
,
2
1
E G]LH SUyE SURVW ] UR]NáDGX
( )
2
2
,
0
N
.
5R]ZD*P\ QDMPRFQLHMV]\ WHVW KLSRWH]\
0
:
0
=
µ
H
przeciw alternatywie:
1
:
1
=
µ
H
,
QD SR]LRPLH LVWRWQR FL
01
.
0
=
α
,OH REVHUZDFML SRWU]HED MDN GX*H PXVL E\ü n *HE\
PRF WHVWX E\áD ZL NV]D QL* "
(A)
Potrzeba przynajmniej
75
=
n
obserwacji
(B)
Potrzeba przynajmniej
14
=
n
obserwacji
(C)
Potrzeba przynajmniej
100
=
n
obserwacji
(D)
Wys
WDUF]
4
=
n
obserwacje
(E)
Potrzeba przynajmniej
53
=
n
obserwacji
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
6
Zadanie 6. Zmienne losowe X i Y
PDM áF]Q\ UR]NáDG SUDZGRSRGRELHVWZD R
J VWR FL
( )
>
<
<
=
+
−
przypadku
przeciwnym
w
x
y
i
x
dla
e
y
x
f
x
y
0
1
0
,
:DUWR ü RF]HNLZDQD
(
)
Y
X
E
+
jest równa:
(A)
.....
718
.
2
=
e
(B)
1.5
(C)
0.5
(D)
1
(E)
2
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
7
Zadanie 7. Niech X
E G]LH ]PLHQQ ORVRZ R UR]NáDG]LH JHRPHWU\F]Q\P
( )
(
)
(
)
θ
θ
θ
θ
−
⋅
=
=
=
1
Pr
x
x
X
x
f
,
2
,
1
,
0
=
x
.
=Dáy*P\ *H QLH]QDQ\ SDUDPHWU
θ
MHVW UHDOL]DFM ]PLHQQHM ORVRZHM
Θ
NWyUD PD J VWR ü
(a priori):
( )
<
<
=
przypadku
przeciwnym
w
dla
0
1
0
3
2
θ
θ
θ
π
:DUWR ü Bayes’owskiego estymatora parametru
θ
obliczona na podstawie
]DREVHUZRZDQHM ZDUWR FL
0
=
X
, czyli
(
)
0
=
Θ
X
E
wynosi:
(A)
0.1
(B)
0.2
(C)
0.6
(D)
0.5
(E)
0.8
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
8
Zadanie 8. Niech
9
8
2
1
,
,
,
,
X
X
X
X
E G QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL SU]\
W\P J VWR ü ;
L
jest dana wzorem:
( )
>
⋅
=
⋅
−
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
e
x
f
x
0
0
λ
λ
8
,
,
2
,
1
=
i
dla
.
Zmienna
9
X
PD LQQ\ UR]NáDG R J VWR FL
( )
>
⋅
⋅
=
⋅
−
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
e
x
x
g
x
0
0
2
λ
λ
(VW\PDWRU QDMZL NV]HM ZLDU\JRGQR FL QLH]QDQHJR SDUDPHWUX
λ
PD SRVWDü
(A)
∑
=
=
9
1
9
ˆ
i
i
X
λ
(B)
1
9
8
1
2
1
ˆ
−
=
⋅
+
=
∑
X
X
i
i
λ
(C)
1
9
8
1
2
1
8
1
ˆ
−
=
⋅
+
⋅
=
∑
X
X
i
i
λ
(D)
∑
=
=
9
1
10
ˆ
i
i
X
λ
(E)
1
9
8
1
8
1
ˆ
−
=
+
⋅
=
∑
X
X
i
i
λ
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
9
Zadanie 9. Niech
25
2
1
,
,
,
x
x
x
E G]LH SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX
(
)
2
,
σ
µ
N
]D
50
27
26
,
,
,
x
x
x
SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX
( )
2
,
τ
ν
N
, gdzie
τ
σ
ν
µ
,
,
,
V
QLH]QDQ\PL SDUDPHWUDPL :LHP\ *H
4
.
10
25
1
25
1
25
=
⋅
=
∑
=
i
i
x
x
0
.
10
50
1
50
1
50
=
⋅
=
∑
=
i
i
x
x
(
)
333
.
3
24
1
25
1
2
25
2
25
=
−
⋅
=
∑
=
i
i
x
x
s
,
(
)
000
.
2
49
1
50
1
2
50
2
50
=
−
⋅
=
∑
=
i
i
x
x
s
.
&]\ QD SRGVWDZLH W\FK GDQ\FK PR*QD SROLF]\ü ZDUWR ü QLHREFL*RQHJR HVW\PDWRUD
2
ˆ
τ
wariancji
2
τ
?
(A)
TAK, 333
.
1
ˆ
2
=
τ
(B)
TAK, 400
.
0
ˆ
2
=
τ
(C)
TAK, 666
.
2
ˆ
2
=
τ
(D)
TAK, 417
.
0
ˆ
2
=
τ
(E)
NIE
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
10
Zadanie 10.
: XUQLH , ]QDMGXM VL GZLH NXOH L Z XUQLH ,, ]QDMGXM VL GZLH NXOH 1D WH
F]WHU\ NXOH Z VXPLH VNáDGDM VL GZLH NXOH ELDáH L GZLH F]DUQH 3U]HSURZDG]DP\
QDVW SXMFH GR ZLDGF]HQLH ORVRZH
a)
QDMSLHUZ ORVXMHP\ MHGQ NXO ] XUQ\ , L SU]HNáDGDP\ M GR XUQ\ ,,
b)
QDVW SQLH ORVXMHP\ MHGQ NXO ] XUQ\ ,, L SU]HNáDGDP\ M GR XUQ\ ,
6HNZHQFM GZyFK ORVRZD D L E SRZWDU]DP\ ZLHORNURWQLH 3U]HG ND*G\P
ORVRZDQLHP GRNáDGQLH PLHV]DP\ NXOH Z XUQLH 1LHFK
( )
1
n
p
oznacza
SUDZGRSRGRELHVWZR WHJR *H SR n powtórzeniach (czyli po 2n losowaniach) w urnie I
]QDMGXMH VL MHGQD ELDáD L MHGQD F]DUQD NXOD 3UDZG MHVW *H
(A)
( )
3
2
1
lim
=
∞
→
n
n
p
(B)
( )
2
1
1
lim
=
∞
→
n
n
p
(C)
( )
3
1
1
lim
=
∞
→
n
n
p
(D)
( )
4
1
1
lim
=
∞
→
n
n
p
(E)
granica
( )
1
lim
n
n
p
∞
→
]DOH*\ RG WHJR LOH NXO ELDá\FK E\áR Z , XUQLH QD SRF]WNX
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
21.06.1997 r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 21 czerwca 1997 r.
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
Arkusz odpowiedzi
*
,PL L QD]ZLVNR ./8&= 2'32:,('=,
Pesel ...........................................
Zadanie nr
2GSRZLHG( Punktacja
♦
1
D
2
C
3
D
4
C
5
E
6
E
7
C
8
D
9
D
10
A
*
2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.
♦
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD