20
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
6.
Sposób
wyznaczania
e
At
oraz A
k
7. Postać modalna rozwiązania równania stanu.
2 2
3 3
0
2
3
i i
i
A t
A t
A t
( t ) I
At
!
!
i!
∞
=
Φ
= +
+
+
+
=
∑
przez podobieństwo z
2 2
3 3
0
1
2
3
at
i i
i
a t
a t
a t
e
at
!
!
i!
∞
=
= +
+
+
+
=
∑
oznaczamy
At
( t ) e
Φ
=
[
] [
]
1
2
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
n
n
n
s
s
s
S
S
A
v
v
v
v
v
v
V V
V
V
V
,
V
A
S
A
A
−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎦
=
=
=
⎥
⎣
=
21
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
Rozpatrzmy równanie
d
x( t ) Ax( t )
dt
=
i zastosujmy przekształcenie zmiennych stanu:
Vz( t ) x( t )
=
1
1
0
0
0
0
d
V
z( t ) AVz( t ), z( ) V x( ) V x
z
dt
−
−
=
=
=
=
1
1
1
0
0
0
0
d
z( t ) V AVz( t ), z( ) V x( ) V x
z
dt
−
−
−
=
=
=
=
1
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
n
s
s
d
z( z )
z( t ), z( ) V x( ) V x
z
dt
s
−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
22
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
0
0
1 2
i
i i
i
i
d
z ( t ) s z ( t ), z ( ) z
i
, ,...,n
dt
=
=
=
0
1 2
i
s t
i
i
z ( t ) e z
i
, ,...,n
=
=
1
2
0
0
0
0
0
0
0
n
s t
s t
s t
e
e
z( t )
z( ),
e
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
23
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
1
2
0
0
0
0
0
0
0
n
s t
s t
s t
e
e
Vz( t ) V
z( ),
e
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
n
s t
s t
s t
e
e
x( t ) V
V x( ),
e
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
1
1
2
T
T
T
n
w
w
V :
w
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
24
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
1
0
i
n
s t
T
i
i
i
x( t )
e v w x( ),
=
=
∑
0
x( t )
( t )x
= Φ
czyli
1
2
1
0
0
0
0
0
0
n
s t
s t
s t
e
e
( t ) V
V
e
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
Φ
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
1
i
n
s t
T
i
i
i
( t )
e v w
=
Φ
=
∑
0
0
t
x( t )
( t )x
( t
)Bu( )d
τ
τ τ
= Φ
+ Φ −
∫
25
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
( )
0
1
1
0
0
1
0
i
i
i
i
t
n
n
s t
s t
T
T
i
i
i
i
i
i
t
n
s t
s
T
i
i
i
x( t )
e v w x
e
v w Bu( )d
e v w x
e
Bu( )d
τ
τ
τ τ
τ τ
−
=
=
−
=
=
+
=
⎡
⎤
=
+
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
∫
∑
∫
UKŁAD DYSKRETNY
Postać modalna rozwiązania:
A ma n różnych wartości własnych z
i
Macierzą przekształcenia przez podobieństwo do postaci diagonalnej jest macierz, której kolumnami są wektory własne:
[
]
n
v
v
v
V
2
1
=
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
z
z
z
0
0
0
0
0
0
2
1
Λ
26
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
i
i
i
v
z
v
A
=
i=1,...., n
Λ
V
AV
=
1
−
=
V
V
A
Λ
Λ
=
−
AV
V
1
1
2
1
1
2
−
−
−
=
=
V
V
V
V
V
V
A
Λ
Λ
Λ
1
3
1
1
2
3
−
−
−
=
=
V
V
V
V
V
V
A
Λ
Λ
Λ
.........................
1
−
=
V
V
A
k
k
Λ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
k
n
k
k
k
z
z
z
0
0
0
0
0
0
2
1
Λ
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
−
T
n
T
T
w
w
w
W
V
2
1
1
:
1
−
=
V
V
A
k
k
Λ
=
( )
T
j
j
n
j
k
j
w
v
z
∑
=1
27
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
)
(kT
x
=
)
)
((
)
0
(
0
1
T
i
k
Bu
A
x
A
k
i
i
k
−
+
∑
=
−
==
( )
)
0
(
1
x
w
v
z
T
j
j
n
j
k
j
∑
=
( )
)
)
((
1
0
1
T
i
k
Bu
w
v
z
k
i
T
j
j
n
j
i
j
−
+
∑∑
=
=
−
=
( )
)
0
(
1
x
w
v
z
T
i
i
n
i
k
i
∑
=
( )
)
)
((
1
0
1
T
i
k
Bu
z
w
v
i
j
k
i
n
j
T
j
j
−
+
−
=
=
∑
∑