Przykład 10.3. Obliczenie warto´sci obci ˛
a˙zenia granicznego układu belko-
wo-słupowego
Obliczy´c warto´s´c obci ˛
a˙zenia granicznego q
gr
działaj ˛
acego na poni˙zszy układ.
2ql
q
l
⁄
2
l
⁄
2
l
1
1
2
2
3
3
1-1
4
8
2-2
1
1
3-3
4
4
[cm]
σ
pl
= 300 MPa
l
= 2 m
Do oblicze´n przyj ˛
a´c, ˙ze materiał z jakiego wykonane s ˛
a pr˛ety jest jednakowy, za´s pr˛et nr
2 jest
zabezpieczony przed wyboczeniem.
Rozwi ˛
azanie
W celu znalezienia obci ˛
a˙zenia granicznego rozpatrzymy kinematycznie mo˙zliwe schematy zni-
szczenia, dla ka˙zdego z nich obliczaj ˛
ac odpowiadaj ˛
ace mu obci ˛
a˙zenie zapewniaj ˛
ace równowag˛e
układu. Obci ˛
a˙zeniem granicznym q
gr
b˛edzie najmniejsze z tak obliczonych obci ˛
a˙ze ´n.
Uplastycznienie pr˛etów
1 i 3 nast˛epuje w wyniku zginania, w przypadku pr˛eta 2 uplastycznie-
nie spowodowane jest sił ˛
a osiow ˛
a.
Odpowiednie wielko´sci charakterystyczne przekrojów pr˛etów maj ˛
a warto´sci:
W
p
1
pl
=
4 · 8
2
4
= 64 cm
3
W
p
3
pl
=
4 · 4
2
4
= 16 cm
3
A
p
2
= 1 cm
2
Tak wi˛ec momenty zginaj ˛
ace, które powoduj ˛
a uplastycznienie pr˛etów
1 i 3 s ˛
a odpowiednio
1
równe:
M
p
1
pl
= σ
pl
· W
p
1
pl
= 300 · 10
3
· 64 · 10
−6
= 19,2 kNm
M
p
3
pl
= σ
pl
· W
p
3
pl
= 300 · 10
3
· 16 · 10
−6
= 4,8 kNm
Do uplastycznienia pr˛eta
2 dochodzi, gdy siła normalna w tym pr˛ecie ma warto´s´c
S
p
2
pl
= σ
pl
· A
p
2
= 300 · 10
3
· 1 · 10
−4
= 30 kN
Rozpatruje si˛e uplastycznienie tych przekrojów pr˛etów
1 i 3, w których wyst˛epuj ˛
a ekstrema
momentów zginaj ˛
acych, b ˛
ad´z te˙z w pr˛ecie nr
2, na który działa obci ˛
a˙zenie osiowe.
Poni˙zszy rysunek przedstawia układ rozło˙zony na pojedyncze pr˛ety. Zaznaczono na nim rów-
nie˙z schematycznie punkty, w których mo˙zna spodziewa ´c si˛e powstania przegubów (punkt B
oznacza punkt nale˙z ˛
acy do pr˛eta
3, odpowiadaj ˛
acy miejscu wyst˛epowania lokalnego ekstremum
momentu zginaj ˛
acego).
2ql
S
S
S
S
q
l
⁄
2
l
⁄
2
l
D
C
B
A
Przy konstruowaniu kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia nale˙zy pami˛eta ´c, ˙ze
nale˙zy przyjmowa´c kierunek przemieszczenia układu w taki sposób, aby praca sił zewn˛etrznych
na tych przemieszczenia była dodatnia. Jednocze´snie praca sił wewn˛etrznych musi by´c ujemna,
a co za tym idzie, przyj˛ete momenty plastyczne musz ˛
a mie´c takie zwroty, aby przeciwdziała´c
zało˙zonym obrotom.
2
Schemat I - uplastycznienie przekrojów A i B
S
q
l
x
δ
B
A
M
pl
p3
M
pl
p3
M
pl
p3
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
q
· x ·
δ
2
+ q · (l − x) ·
δ
2
− M
p
3
pl
·
δ
x
− 2 · M
p
3
pl
·
δ
l
− x
= 0
=⇒
=⇒
ql
2
=
1
x
+
2
l
− x
M
p
3
pl
=⇒
q
= 2
l
+ x
x
(l − x)
M
p
3
pl
l
Nieznan ˛
a warto´s´c x mo˙zna łatwo obliczy´c korzystaj ˛
ac z faktu, ˙ze długo´s´c odcinka x musi
odpowiada´c minimalnej warto´sci obci ˛
a˙zenia q, tak wi˛ec
dq
(x)
dx
= 0. St ˛
ad
dq
(x)
dx
= 0
=⇒
2
x
(l − x) − (l + x) (l − 2x)
x
2
(l − x)
2
M
p
3
pl
l
= 0
=⇒
=⇒
2
lx
− x
2
− l
2
+ 2lx − lx + 2x
2
x
2
(l − x)
2
M
p
3
pl
l
= 0
=⇒
=⇒
2
x
2
+ 2lx − l
2
x
2
(l − x)
2
M
p
3
pl
l
= 0
=⇒
x
2
+ 2lx − l
2
= 0
pierwiastek z
∆ jest równy
√
∆ =
√
4l
2
+ 4l
2
= 2
√
2l
St ˛
ad
dq
(x)
dx
= 0 dla nast˛epuj ˛
acych warto´sci x:
x
1
=
−2l − 2
√
2l
2
= −
√
2 + 1
l
x
2
=
−2l + 2
√
2l
2
=
√
2 − 1
l
Uwzgl˛ednienie faktu, ˙ze x musi mie´c warto´s´c z przedziału
(0, l) prowadzi do odrzucenia roz-
wi ˛
azania x
1
, jako niespełniaj ˛
acego warunków zadania. Tak wi˛ec
x
= x
2
=
√
2 − 1
l
3
Obci ˛
a˙zenie q odpowiadaj ˛
ace rozpatrywanemu schematowi zniszczenia ma zatem warto´s´c
q
= 2
l
+ x
x
(l − x)
M
p
3
pl
l
= 2
l
+
√
2 − 1
l
√
2 − 1
l l −
√
2 − 1
l
M
p
3
pl
l
=
= 2
√
2
√
2 − 1
2 −
√
2
M
p
3
pl
l
2
= 2
√
2
2
√
2 − 2 − 2 +
√
2
M
p
3
pl
l
2
=
2
√
2
3
√
2 − 4
M
p
3
pl
l
2
=
=
2
√
2 3
√
2 + 4
3
√
2 − 4
3
√
2 + 4
M
p
3
pl
l
2
=
12 + 8
√
2
18 − 16
M
p
3
pl
l
2
= 2
3 + 2
√
2
M
p
3
pl
l
2
=
= 2
3 + 2
√
2
4,8
2
2
=
12 3 + 2
√
2
5
≈ 13,99
kN
m
Schemat II - uplastycznienie przekroju A i pr˛eta
2
S = S
pl
p2
S = S
pl
p2
S = S
pl
p2
q
l
A
M
pl
p3
Warto´s´c, odpowiadaj ˛
acego schematowi uplastycznienia, obci ˛
a˙zenia q obliczamy z warunku ze-
rowania si˛e sumy momentów obliczanej wzgl˛edem punktu A.
S
p
2
pl
· l − q · l ·
l
2
+ M
p
3
pl
= 0
=⇒
q
= 2
S
p
2
pl
l
+ 2
M
p
3
pl
l
2
= 2
30
2
+ 2
4,8
2
2
= 32,4
kN
m
4
Schemat III - uplastycznienie przekrojów A i C
2ql
q
l
⁄
2
l
⁄
2
l
C
A
M
pl
p3
M
pl
p1
M
pl
p1
δ
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
2ql ·
δ
2
+ q · l ·
δ
2
− 2 · M
p
1
pl
·
δ
l
− M
p
3
pl
·
δ
l
= 0
=⇒
=⇒
3
2
ql
=
2M
p
1
pl
+ M
p
3
pl
l
=⇒
=⇒
q
=
2 2M
p
1
pl
+ M
p
3
pl
3l
2
=
2 (2 · 19,2 + 4,8)
3 · 2
2
= 7,2
kN
m
Schemat IV - uplastycznienie przekrojów A i D
2ql
q
l
⁄
2
l
⁄
2
l
D
A
M
pl
p3
M
pl
p1
M
pl
p1
δ
5
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
2ql · δ + q · l ·
1
2
·
l
3
2
l
δ
− M
p
1
pl
·
δ
l
2
− M
p
1
pl
·
δ
3
2
l
− M
p
3
pl
·
l
3
2
l
δ
l
= 0
=⇒
=⇒
7
3
ql
=
8
3
M
p
1
pl
l
+
2
3
M
p
3
pl
l
=⇒
=⇒
q
=
2 4M
p
1
pl
+ M
p
3
pl
7l
2
=
2 (4 · 19,2 + 4,8)
7 · 2
2
=
204
35
≈ 5,83
kN
m
Schemat V - uplastycznienie przekroju C i pr˛eta
2
2ql
S = S
pl
p2
S = S
pl
p2
S = S
pl
p2
l
⁄
2
l
⁄
2
l
C
M
pl
p1
M
pl
p1
δ
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
2ql ·
δ
2
− S
p
2
pl
· δ − 2 · M
p
1
pl
·
δ
l
= 0
=⇒
q
=
2M
p
1
pl
+ S
p
2
pl
l
l
2
=
2 · 19,2 + 30 · 2
2
2
=
= 24,6
kN
m
6
Schemat VI - uplastycznienie przekroju D i pr˛eta
2
2ql
S = S
pl
p2
S = S
pl
p2
S = S
pl
p2
l
⁄
2
l
⁄
2
l
D
M
pl
p1
M
pl
p1
δ
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
2ql · δ − S
p
2
pl
·
l
3
2
l
δ
− M
p
1
pl
·
δ
l
2
− M
p
1
pl
·
δ
3
2
l
= 0
=⇒
=⇒
2ql =
8
3
M
p
1
pl
l
+
2
3
S
p
2
pl
=⇒
=⇒
q
=
4M
p
1
pl
+ S
p
2
pl
l
3l
2
=
4 · 19,2 + 30 · 2
3 · 2
2
= 11,4
kN
m
7
Schemat VII - uplastycznienie przekrojów C i D
2ql
q
l
⁄
2
l
⁄
2
l
D
C
M
pl
p1
M
pl
p1
M
pl
p1
δ
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
2ql · δ − 3 · M
p
1
pl
δ
l
2
= 0
=⇒
q
= 3
M
p
1
pl
l
2
= 3 ·
19,2
2
2
= 14,4
kN
m
Poszukiwana warto´s´c obci ˛
a˙zenia granicznego q
gr
jest równa najmniejszej spo´sród obliczonych
warto´sci q, czyli
q
gr
= min
12 3 + 2
√
2
5
≈ 13,99; 32,4; 7,2;
204
35
≈ 5,83; 24,6; 11,4; 14,4
!
=
=
204
35
kN
m
≈ 5,83
kN
m
za´s konstrukcja przekształca si˛e w mechanizm wg schematu IV.
Sprawd´zmy, czy uzyskane rozwi ˛
azanie jest rozwi ˛
azaniem zupełnym.
2q
gr
l
q
gr
l
⁄
2
l
⁄
2
l
D
C
A
E
F
G
V
E
R
F
V
A
H
A
H
E
M
pl
p3
M
pl
p1
M
pl
p1
8
W celu wyznaczenia reakcji dokonano nast˛epuj ˛
acych oblicze ´n:
X
M
p
G
= 0
=⇒
V
A
· l − M
p
3
pl
− q
gr
· l ·
l
2
= 0
=⇒
=⇒
V
A
· 2 = 4,8 +
204
35
· 2
2
2
=⇒
=⇒
2V
A
=
48
10
+
408
35
=⇒
V
A
=
12 · 7 + 204
35
=⇒
=⇒
V
A
=
288
35
kN ≈ 8,23kN
X
M
g
C
= 0
=⇒
V
A
· l − M
p
3
pl
− q
gr
· l ·
l
2
+ H
A
· |CG| = 0
=⇒
=⇒
X
M
p
G
+ H
A
· |CG| = 0
=⇒
=⇒
0 + H
A
· |CG| = 0
=⇒
H
A
= 0
X
P
x
= 0
=⇒
H
E
= H
A
=⇒
H
E
= 0
X
M
l
D
= 0
=⇒
V
E
·
l
2
− M
p
1
pl
= 0
=⇒
V
E
=
2 · 19,2
2
=⇒
=⇒
V
E
= 19,2kN
X
P
y
= 0
=⇒
V
E
− 2q
gr
l
− q
gr
l
+ V
F
+ V
A
= 0
=⇒
=⇒
V
E
= −19,2 + 3 ·
204
35
· 2 −
288
35
=⇒
=⇒
V
E
= −
192
10
+
6 · 204 − 288
35
=⇒
=⇒
V
E
= −
96
5
+
936
35
=⇒
=⇒
V
E
=
−96 · 7 + 936
35
=⇒
V
E
=
264
35
kN ≈ 7,54kN
Siła normalna w pr˛ecie nr
2 jest wi˛ec równa
S
= q
gr
· l − V
A
=
204
35
· 2 −
288
35
=
120
35
=
24
7
kN ≈ 3,43kN
<
S
p
2
pl
= 30kN
St ˛
ad wykresy siły normalnej i tn ˛
acej maj ˛
a posta´c:
3,43
N
.
kN
(-)
9
3,43
8,23
7,54
4,11
19,2
T
.
kN
(+)
(-)
(+)
(-)
(-)
x
Zerowanie si˛e wykresu siły tn ˛
acej w odległo´sci x od podpory A ´swiadczy o wyst˛epowaniu
w tym miejscu lokalnego ekstremum momentu zginaj ˛
acego.
V
A
− q
gr
· x = 0
=⇒
x
=
V
A
q
gr
=⇒
x
=
288
35
204
35
=⇒
x
=
72
51
m ≈ 1,41m
M
max
= V
A
· x − M
p
3
pl
− q
gr
· x ·
x
2
=⇒
=⇒
M
max
=
288
35
·
72
51
− 4,8 −
204
35
·
72
51
·
36
51
=⇒
=⇒
M
max
=
6912
595
−
24
5
−
3456
595
=⇒
=⇒
M
max
=
120
119
kNm ≈ 1,01kNm
1,01
4,8
15,09
19,2
M
.
kNm
1,41 m
Warunki plastyczno´sci s ˛
a spełnione (
|M| 6 19,2kNm w przypadku pr˛eta nr 1 i |M| 6 4,8kNm
w przypadku pr˛eta nr
3 oraz |S| 6 S
pl
w przypadku pr˛eta nr
2). Oznacza to, ˙ze otrzymane
rozwi ˛
azanie jest rozwi ˛
azaniem zupełnym, poniewa˙z spełnia wszystkie równania: warunki kine-
matyczne, równania równowagi i warunki plastyczno´sci. Przewiduj ˛
ac, ˙ze dany schemat zni-
szczenia odpowiada obci ˛
a˙zeniu granicznemu wystarczy wyznaczy ´c siły przekrojowe i spraw-
dzi´c, czy spełniaj ˛
a one warunki plastyczno´sci. Wyznaczenie sił przekrojowych nie zawsze jest
proste, poniewa˙z nieruchoma cze´s´c układu mo˙ze pozosta´c układem statycznie niewyznaczal-
nym.
10