Przepływy laminarne - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
1
Zadanie 1
Warstwa cieczy o wysokości b = 3mm i lepkości
= 1,5 ∙ 10
/ płynie równomiernie pod
działaniem siły ciężkości po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem
= 15°. Wyznaczyć:
a) Rozkład prędkości.
b) Prędkość maksymalną.
c) Prędkość średnią.
d) Stosunek prędkości średniej do maksymalnej.
e) Strumień objętości przez przekrój poprzeczny o szerokości L = 1m.
Naprężenia styczne na granicy fazy ciekłej i gazowej pominąć.
Rozwiązanie:
Przepływ ten można rozpatrywać, jako przepływ płaski. Po zorientowaniu układu współrzędnych w
sposób pokazany na rysunku powyżej, z warunków zadania wynika, że:
= 0
= 0 = (0)
= 0
= 0
=
∙ sin ( )
= − ∙ cos ( )
Równanie Naviera-Stokesa uprości się, zatem do postaci:
∙ sin( ) +
= 0
∙ cos( ) +
1
= 0
Po scałkowaniu drugiego równania dla warunków brzegowych p = p
0
gdy y = b, można wyznaczyć
rozkład ciśnienia w warstwie cieczy:
=
+
∙
∙ cos( ) ∙ ( − )
Po scałkowaniu pierwszego równania otrzymamy:
= −
∙ sin( )
∙ +
= −
∙ sin( )
2
∙
+
+
Przepływy laminarne - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
2
Po uwzględnieniu warunków brzegowych: v = 0 dla y = 0,
= 0 dla y = b (ponieważ na granicy fazy
ciekłej i gazowej
= 0).
=
∙ sin( )
2
∙
∙ (2 − )
Krzywa rozkładu prędkości jest parabolą. Maksymalna prędkość występuje na powierzchni cieczy
=
∙ sin( )
2
∙
= 7,6
Strumień objętości przez przekrój poprzeczny o szerokości L:
=
=
∙ sin( )
2
(2 − )
=
∙ sin( )
3
= 1,52
A średnia prędkość:
=
=
∙ sin( )
3
= 5,1
Stosunek prędkości średniej do maksymalnej:
= 2/3
Zadanie 2
Ciecz znajduje się między dwiema równoległymi płytami, nachylonymi pod kątem do poziomu. Płyta
górna porusza się w kierunku zgodnym ze spadkiem płyt, ze stałą prędkością
. Wyznaczyć rozkład
prędkości i strumień objętości przypadający na jednostkę szerokości oraz naprężenie styczne na
ruchomej płycie, jeżeli:
= 0,2 / ,
= 15°,
= 0,5
, gęstość cieczy
= 900
, i lepkość
= 0,2
/
.
Rozwiązanie:
Rozwiązanie tego zadania różni się od rozwiązania zadania 1 tylko warunkami brzegowymi. Stałe
całkowania w całce ogólnej:
= −
∙
∙ sin( )
2
∙
+
+
Wyznaczamy dla warunków brzegowych:
= 0,
= 0,
Przepływy laminarne - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
3
=
,
= ,
skąd
=
+
∙
∙ sin( )
2
∙
= 0
Rozkład prędkości określony jest zależnością:
=
−
∙
∙ sin( )
2
∙ ( − )
Strumień objętości przypadający na jednostkę szerokości płyty:
=
=
2
−
∙
∙ sin( )
12
= 50,1
∙
Naprężenie styczne na ruchomej płycie obliczamy z zależności:
=
=
−
∙
∙ sin( )
2
= 79,4
Zadanie 3
Nad płytą, po której spływa warstwa cieczy, rozpięto pas transmisyjny. Obliczyć przy jakiej prędkości
przesuwu pasa strumień objętości między zbiornikami będzie równy zeru. Obliczenia przeprowadzić
dla:
= 4
,
= 30°, = 1,5 ∙ 10
/ .
Rozwiązanie:
Zadanie to różni się od poprzednich warunkami brzegowymi:
= 0,
= 0,
= − ,
= ,
skąd
= −
+
∙ sin( )
2
∙
= 0
Prędkość w dowolnym punkcie:
Przepływy laminarne - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
4
= −
+
∙ sin( )
2
∙ ( − )
Znając rozkład prędkości wyznaczamy strumień objętości:
=
= −
2
+
∙ sin( )
12
Warunki zadania wymagają, by Q = 0, a więc:
2
=
∙ sin( )
12
=
∙ sin( )
6
= 87,2
/
Zadanie 4
Ciecz o lepkości płynie w szczelinie pierścieniowej, utworzonej przez dwa współśrodkowe walce o
promieniach r
1
i r
2
, pod działaniem stałego gradientu ciśnienia dp/dz = -Δp/L. Wyznaczyć:
a) rozkład prędkości,
b) prędkość maksymalną,
c) prędkość średnią,
d) strumień objętości.
Rozwiązanie:
Rozpatrywany przepływ jest ustalonym przepływem osiowosymetrycznym w kierunku osi z (tzn.
=
= 0). Równania ruchu po pominięciu sił masowych sprowadzą się zatem do układu:
= 0
= −
1
+
+
1
= 0
Ponieważ
=
= ( ), a
= ( ), więc ruch cieczy opisany jest równaniem różniczkowym
zwyczajnym:
+
1
=
1
które można przedstawić w dogodniejszej postaci:
Przepływy laminarne - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
5
1
= −
∆
Rozwiązując powyższe równanie dla warunków brzegowych:
= 0,
=
,
= 0,
=
,
otrzymamy:
=
∆
4
−
+
−
ln ( / )
Prędkość osiąga maksymalną wartość w promieniu, na którym naprężenia styczne są równe zeru, tzn.
tam gdzie
= 0. Tak więc:
=
∆
4
−2 +
−
ln ( / )
∙
1
= 0
Skąd:
=
−
2ln ( / )
a po podstawieniu:
=
∆
4
1 −
1 −
2 (1/ )
∙ 1 −
1 −
2 (1/ )
=
Strumień objętości:
=
2
=
∆
8
1 −
−
(1 −
)
(1/ )
prędkość średnia:
=
(
−
)
=
∆
8
1 +
−
1 −
(1/ )
Przepływy laminarne - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
6
Zadanie 5
Pierścieniowa szczelina utworzona przez dwa walce o promieniach r
1
i r
2
jest zapełniona cieczą o
lepkości . Walec wewnątrz porusza się wzdłuż osi ze stałą prędkością
. Określić:
a) rozkład prędkości w szczelinie,
b) strumień objętości,
c) siłę tarcia na długości L wewnątrz walca
obliczenia strumienia objętości i siły tarcia wykonać dla danych:
= 20
,
= 32
,
= 0,2
/
,
= 0,5 / , = 1 .
Rozwiązanie:
Z warunków zadania wynika, że:
=
= 0
= 0
=
= ( )
= 0
= 0
Układ równań można zapisać następująco:
= 0
Po dwukrotnym scałkowaniu:
=
∙
+
Stałe całkowania wyznaczone z warunków brzegowych:
= 0,
=
,
=
,
=
,
wynoszą:
= −
ln ( / )
=
ln ( / )
∙
Rozkład prędkości jest więc określony zależnością:
=
ln ( / )
∙ ln ( / )
Strumień objętości:
Przepływy laminarne - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
7
=
2
=
2
ln ( / )
=
−
2ln ( / )
−
= 0,414
/
Siła tarcia:
= 2
Naprężenia styczne:
= −
=
r ∙ ln ( / )
Naprężenia styczne na promieniu r = r
1
:
=
r ∙ ln ( / )
a zatem siła tarcia na walcu wewnętrznym:
=
2
ln ( / )
= 1,34