Politechnika Warszawska
SzNTiS w Płocku
5. Twierdzenie o ekstremach
Funkcja f(x) jest różniczkowlna w (a,b) oraz
b
a,
f'' x0
0
=
dla
x0
oraz w punkcie
x0
następuje zmiana znaku pochodnej
1) Z "+" na "-" to w x
0
funkcja f(x) osiąga maksimum
2) Z "-" na "+" to w x
0
funkcja f(x) osiąga minimum
f : ( a , b )
R
6. Twierdzenie II o ekstremach
Funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowlna w (a,b)
b
a,
f'' x0
0
=
dla
x0
oraz
1) f ' '(x
0
) > 0 to w x
0
funkcja f(x) osiąga minimum
2) f ' '(x
0
) < 0 to w x
0
funkcja f(x) osiąga maksimum
b
a,
7. Twierdzenie o wklęsłości i wypukłości oraz punktach przegięcia
Jeżeli dla każdego
x
1) f ' '(x) > 0, to funkcja f(x) na przedziale (a,b) jest wypukła
2) f ' '(x) < 0, to funkcja f(x) na przedziale (a,b) jest wklęsła
3) dla x
0
z przedziału (a,b) f ' ' (x
0
) = 0 i f ' ' (x) zmienia znak w punkcie x
0
to punkt (x
0
,f(x
0
))
jest punktem przegięcia wykresu funkcji f(x)
8. Wielomian Taylora i Maclaurina Dla funkcji f(x), która w punkcie x
0
ma pochodne rzędu k
f x
( )
f x0
f
1
( )
x0
1
x
x0
f
2
( )
x0
2
x
x0
2
....
f
k
( )
x0
k
x
x0
k
Rn x
( )
=
wielomian Taylora
f x
( )
f 0
( )
f
1
( )
0
( )
1
x
f
2
( )
0
( )
2
x
2
....
f
k
( )
0
( )
k
x
k
Rn x
( )
=
wielomian Maclaurina
WYKŁAD 9 - ZASTOSOWANIE POCHODNEJ FUNKCJI
1. Pochodne funkcji wyższego rzędu
Jeżeli pochodna y' = f ' (x) jest różniczkowalna dla x z przedziału (a,b) to jej pochodą nazywamy pochodą
rzędu drugiego (drugą pochodą) i zapisujemy f ' ' (x) = (f '(x))' lub
f
2
( )
x
( )
d
2
f x
( )
dx
2
gdzie
f
1
( )
x
( )
f'' x
( )
=
d f x
( )
dx
f
0
( )
x
( )
f x
( )
=
pochodna rzędu n
f
n
( )
x
( )
f
n 1
(
)
x
( )
'
=
d
n
f x
( )
dx
n
=
Wzór Leibniza
f g
(
)
n
( )
x
( )
0
n
k
n
k
f
n k
(
)
x
( ) g
k
( )
x
( )
=
2. Reguła de L' Hospitala
a )
jeżeli
x0
x
f x
( )
g x
( )
lim
jest symbolem typu
0
0
lub
b )
istnieje granica
x0
x
f'' x
( )
g' x
( )
lim
to
x0
x
f x
( )
g x
( )
lim
x0
x
f'' x
( )
g' x
( )
lim
=
3. Twierdzenie Rolle' a i twierdzenie Lagrange' a
4. Twierdzenia o monotoniczności funkcji
Jeżeli dla każdego x z przedziału (a,b)
1) f '(x) = 0, to funkcja f(x) jest stała na przedzale (a,b)
2) f '(x) > 0, to funkcja f(x) jest rosnąca na przedzale (a,b)
3) f '(x) < 0, to funkcja f(x) jest malejąca na przedzale (a,b)
f : ( a , b )
R
Konspekt do wykładu 9
IB + IS sem I (stacjonarne)
oprac. A. Pankowski