Zadania z analizy matematycznej 4
semestr 4, gr. 2, sem. letni 2007/8.
2 Miara
Zadanie 2.1.
Sformuªowa¢ de nicj¦ miary.
Zadanie 2.2.
Sprawdzi¢, czy µ jest miar¡ na (X, F).
a) (X, F) dowolna przestrze« z wyró»nionym σ-ciaªem F, x
0
∈ X
oraz µ(A) =
(
1,
gdy x
0
∈ A,
0,
gdy x
0
/
∈ A.
b) X = N, F = 2
N
, µ(A) =
X
n∈A
1
.
c) X = N, F = 2
N
, µ(A) =
(
P
n∈A
1
2
n
,
gdy #A < ∞,
∞,
gdy #A = ∞.
d) X = N, F = 2
N
, µ(A) =
(
0,
gdy #A < ∞,
∞,
gdy #A = ∞.
e) X = R, F = B, µ(A) =
(
0,
gdy A jest zbiorem przeliczalnym,
∞,
gdy A jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Zadanie 2.3.
Niech µ b¦dzie miar¡ na σ-ciele F podzbiorów zbioru X. Wykaza¢, »e dla dowolnych A, B, A
n
∈ F
, n ∈ N:
a) A ⊂ B ⇒ µ(A) 6 µ(B),
b) A ⊂ B ∧ µ(B) < ∞ ⇒ µ(B\A) = µ(B) − µ(A),
c) µ
∞
[
n=1
A
n
!
6
∞
X
n=1
µ(A
i
)
,
d) A
1
⊂ A
2
⊂ . . . ⇒ µ
∞
[
n=1
A
n
!
= lim
n→∞
µ(A
n
)
,
e) µ(A
1
) < ∞ ∧ A
1
⊃ A
2
⊃ . . . ⇒ µ
∞
\
n=1
A
n
!
= lim
n→∞
µ(A
n
)
.
Zadanie 2.4.
Niech µ b¦dzie miar¡ na σ-ciele F podzbiorów zbioru X. Wykaza¢, »e dla dowolnych A, B, A
n
∈ F
, n ∈ N:
a) µ(A
n
) = 0
dla n ∈ N ⇒ µ
∞
[
n=1
A
n
!
= 0
,
b) µ(B) = 0 ∧ A ⊂ B ⇒ µ(A) = 0,
c) µ(B) = 0 ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A),
d) µ(B) = 0 ⇒ µ(A\B) = µ(A).
1