Przewodnictwo ciał stałych. 

Wyznaczenie zależności rezystancji przewodnika 

metalicznego i półprzewodnika od temperatury. 

Ćw.10 

 

Cel ćwiczenia 

Celem ćwiczenia jest: 

a) Zbadanie 

zależności rezystancji przewodnika metalowego i półprzewodnika (termistora) od temperatury. 

b)  Wyznaczenie temperaturowych współczynników zmiany rezystancji dla rezystora metalicznego i dla 

półprzewodnika. 

c) Obliczenie 

szerokości przerwy energetycznej ∆E pomiędzy pasmem przewodzenia i pasmem walencyjnym 

dla półprzewodnika, z którego wykonany jest badany termistor. 

 

Zakres obowiązującego materiału teoretycznego 

Model pasmowy ciała stałego. Przewodnictwo elektryczne przewodników metalicznych i półprzewodników. 

Półprzewodniki samoistne i domieszkowane. Zależność rezystywności (przewodnictwa) przewodników 

metalicznych i półprzewodników od temperatury. 

 

Metale 

Ogrzanie próbki przewodnika powoduje zmianę jej rezystancji. Na gruncie mechaniki kwantowej wykazano, że 

przewodność metali jest dla niezbyt niskich temperatur odwrotnie proporcjonalna do temperatury T w skali 

bezwzględnej: 

1

T

~

−

σ

 

(1) 

T>>Θ

D

 gdzie Θ

D

 jest tzw. temperaturą Debye'a. Zależność ta w sposób zadawalający zgadza się z 

doświadczeniem. Jeśli zamiast przewodności wprowadzić rezystywność 

ρ

, związek (1) uzyska postać: 

1

−

σ

=

T

~

ρ

 

(2) 

Jakościowo tłumaczy się zwiększenie rezystywności metali przy podwyższeniu temperatury przez wzrost 

rozproszenia cieplnego elektronów na sieci metalicznej. 

Dla przewodnika o określonych wymiarach rezystancja jest proporcjonalna do temperatury: 

(

)

(

)

o

o

273

t

1

A

273

t

273

A

AT

R

+

=

+

=

=

 

(3) 

gdzie A oznacza stałą, a t jest temperaturą w skali Celsjusza.  

Rezystancję w temperaturze 0 

o

C oznacza się zwykle przez R

o

. Z równania (3) wynika dla t=0 

o

C: 

A

273

R

o

o

=

 

(4) 

Wobec tego (3) można zapisać w postaci: 

(

)

at

1

R

R

o

+

=

 

(5) 

gdzie a=1/273

o

=0,00366 stop

-1

 nazwany jest temperaturowym współczynnikiem zmiany rezystancji. 

Z pośród metali platyna ma własności najbliższe przewidywanym przez równanie (5). Równanie to ma 

jednak charakter przybliżony, bardziej zgodna z doświadczeniem jest zależność: 

 

 

1

(

)

...

bt

at

1

R

R

2

o

+

+

+

=

 

(6) 

b jest przy tym często ujemne, przede wszystkim w przypadku stopów. Wówczas pochodna: 

(

)

...

bt

2

a

R

dt

dR

o

+

+

=

 

(7) 

osiąga zero dla pewnej temperatury t = t

m

; rezystancja jest wówczas maksymalna i zmienia się nieznacznie z 

temperaturą. Wartość t

m

 bliską temperaturze pokojowej posiadają niektóre stopy, odznaczające się w związku z 

tym stabilnością rezystywności. Należą do nich m.in. manganian, konstantan, nowokonstantan i izabelin. 

 

Półprzewodniki 

Własności półprzewodników są bardzo czułe na zmiany temperatury, ponieważ liczba elektronów w paśmie 

przewodzenia wzrasta szybko przy ogrzewaniu. Jeśli różnica energii pomiędzy pasmem przewodzenia i 

pasmem walencyjnym jest ∆E, to prawdopodobieństwo P tego, że w ciągu jednostki czasu energia równa 

szerokości przerwy energetycznej stanie się dostępna dla któregoś z elektronów w paśmie walencyjnym, jest 

proporcjonalna do czynnika 

(

kT

2

E

∆

−

)

exp

, gdzie k oznacza stałą Boltzmana natomiast T - temperaturę 

bezwzględną:  

(

)

kT

2

E

exp

~

P

∆

−

 

(8) 

 

Energia dostarczana z zewnątrz przy ogrzewaniu może zostać zużyta na przeniesienie elektronu z pasma 

walencyjnego do pasma przewodzenia. Wynika stad, że liczba elektronów w paśmie przewodzenia, a wiec i 

przewodność jest proporcjonalna do czynnika wykładniczego: 

(

)

kT

2

E

exp

~

∆

−

σ

 

(9) 

 

(dokładniej 

(

)

kT

2

E

exp

T

~

2

3

∆

−

σ

  jednak ze względu na decydujący wpływ czynnika wykładniczego 

wyrażenie (9) jest dobrym przybliżeniem). 

Szybka zmiana przewodności półprzewodnika przy zmianie temperatury została wykorzystana w urządzeniach 

nazwanych termistorami, odznaczających się dużym, najczęściej ujemnym temperaturowym współczynnikiem 

zmiany rezystancji. W niezbyt dużym zakresie temperatur przewodność termistora opisuje zależność typu (9), 

czyli rezystancję termistora można zapisać w postaci: 

( )

T

a

exp

R

R

0

T

T

=

 

(10) 

gdzie 

k

2

E

a

∆

=

 

(11) 

Podobne zależności są spełnione dla elementów półprzewodnikowych, w których przeważa przewodność 

samoistna - termistor należy do takich elementów. W diodach i tranzystorach decydującą rolę odgrywa 

przewodność domieszkowana. 

 

Zastosowanie 

Temperaturową zmianę rezystywności przewodników metalicznych wykorzystano przy budowie termometrów 

oporowych (dokładność pomiaru rzędu 10

-3 o

C). Do konstrukcji termometrów oporowych używa się najczęściej 

platyny, niklu i miedzi, rzadziej żelaza. Z kolei stopy o malej wartości temperaturowego współczynnika 

 

 

2

rezystywności służą do wytwarzania stabilnych rezystorów. Termistory znalazły zastosowanie jako 

ograniczniki prądu w chwili włączania urządzeń elektronicznych, jako kompensatory zmian temperaturowych 

parametrów innych elementów półprzewodnikowych, a także w pomiarach temperatury, mocy, przepływu 

gazu, poziomu cieczy oraz jako detektory promieniowania wysokiej częstości. Dzięki wysokiej czułości 

temperaturowej (rzędu 2×10

-2

 1/

o

C) przy użyciu termistorów można rejestrować zmiany temperatury rzędu 

10

-6

 

o

C Typowe dopuszczalne temperatury pracy nie przekraczają zwykle 300

o

C istnieją jednak termistory 

pracujące przy dwukrotnie wyższych temperaturach. 

 

Metoda pomiaru 

Celem doświadczenia jest wyznaczenie zależności rezystancji od temperatury dla czystego metalu, i materiału 

półprzewodnikowego (termistora). Zgodnie z równaniem (5) w pierwszym przypadku oczekujemy zależności 

liniowej. Dla termistora, jak to wynika z równania (10), spełniony jest związek: 

(

)

( )

T

a

exp

R

kT

2

E

exp

R

R

0

T

0

T

T

=

∆

=

 

(12) 

po zlogarytmowaniu: 

T

a

R

ln

R

ln

0

T

T

+

=

 

(13) 

W układzie współrzędnych ln(R)=f(1/T) wykresem zależności (13) jest linia prosta o nachyleniu  

k

2

E

a

∆

=

 

(14) 

Doświadczalne wyznaczenie a pozwala określić szerokość przerwy energetycznej ∆E: 

ka

2

E

=

∆

 

(15) 

Tradycyjnie stosowaną jednostką jest tutaj elektronowolt (eV). 

 

Część doświadczalna 

Zestaw przyrządów do wyznaczania temperaturowej zależności rezystancji przedstawia rys.1. Zestaw 

pomiarowy składa się z naczynia metalowego napełnionego olejem silikonowym i podgrzewanego prądem 

elektrycznym. Badane rezystory znajdują się w kąpieli olejowej. Pomiar rezystancji dla określonej temperatury 

wykonujemy miernikiem elektrycznym RLC na zakresie rezystancji. 

 

Rys.1 

Wykonanie pomiarów 

 

 

3

1. Włączyć przełącznikiem odpowiedni rezystor i wykonać pomiary oporu dla opornika metalicznego i 

termistora zanurzonego w kąpieli olejowej dla temperatury pokojowej. 

2. Włączyć prąd podgrzewający naczynie z kąpielą olejową, w której zanurzone są badane rezystory. 

3. Przy 

osiągnięciu temperatury ok. 105 

o

C wyłączyć ogrzewanie. Po wyłączeniu prądu, temperatura kąpieli 

olejowej wzrastać będzie jeszcze do ok. 110-115 

o

C, a następnie zacznie opadać. 

4.  W czasie stygnięcia kąpieli poczynając od ok. 110 

o

C wykonać pomiary rezystancji rezystora metalowego i 

termistora w odstępach ok. 5-7 

o

C. Aby przyśpieszyć obniżanie się temperatury w zakresie niższych 

temperatur (poniżej ok. 80 

o

C) należy włączyć przepływ wody w wężownicy  (Wykonuj pod nadzorem 

prowadzącego pracownię !!!) i mieszać olej za pomocą mieszadła (po skończeniu pomiarów zakręcić 

zawór wody !). 

5.  Wyniki pomiarów zapisać w tabeli: 

Tabela 1 

lp. t 

[

o

C] T 

[K] R [Ω] R

T

 [Ω] 

1.      

 

2.      

 

3.      

 

.        

.        

.        

n.      

 

Opracowanie wyników 

1.  W przypadku czystego metalu wyniki opracować metodą najmniejszych kwadratów (instrukcja nr 17). 

Wyniki obliczeń zestawić w tabeli wg. przykładu ze str.21 instrukcji nr 17, przyjmując X = t (

o

C) i Y = R (Ω). 

Sporządzić na papierze milimetrowym wykres otrzymanej zależności Y = aX+b i nanieść również punkty 

doświadczalne dla metalu. Korzystając z obliczeń metodą najmniejszych kwadratów wyliczyć wartość R

o

 

odpowiadająca  temperaturze  t = 0 

o

C, oraz wyznaczyć temperaturowy współczynnik rezystywności 

(współczynnik a ze wzoru nr 5.) materiału, z którego jest wykonany rezystor metaliczny. Obliczyć 

odchylenie standardowe współczynników regresji (instrukcja 17), oraz podać oszacowanie granic 

wyników dla R

o

 i a. 

2. Dla 

termistora 

obliczyć wartości 1/T (T - temperatura w stopniach Kelvina) i odpowiadające im wartości 

ln(R

T

). Wyniki zapisać w tabeli 2. Korzystając z metody najmniejszych kwadratów sporządzić wykres 

ln(R

T

)=f(1/T) odzwierciedlający równanie (13). 

Tabela 2 

lp. T 

[K] 

R

T

 [Ω] 

x =1/T [1/K] 

y=ln(R

T

) x

2

 [1/K

2

] y

2

 

xy [1/K] 

1.  

 

 

 

 

 

 

2.  

 

 

 

 

 

 

3.  

 

 

 

 

 

 

.  

 

 

 

 

 

 

.  

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

5

.  

 

 

 

 

 

 

n.  

 

 

 

 

 

 

 

3. Mając obliczony (metodą najmniejszych kwadratów) współczynnik prostej opisanej równaniem (13) – 

y = Ax + B,  gdzie  x = 1/T,  y = ln(R

T

),  A = a,  B = ln(R

To

)

 

 obliczyć szerokość przerwy energetycznej ∆E 

zgodnie z równaniem (15) pomiędzy pasmem przewodnictwa a pasmem walencyjnym (przyjmując 

k = 1,38 ×10

-23 

J/K = 8,62 ×10

-5 

eV K

-1

). Obliczyć odchylenie standardowe współczynników regresji i podąć 

oszacowanie granic wyniku pomiaru szerokości przerwy energetycznej ∆E. 

 

Wyniki obliczeń i wnioski 

Na osobnej stronie podać wyniki obliczeń rezystancji R

To

 oraz współczynnika rezystywności dla metalu wraz z 

obliczonymi błędami. Podać obliczoną wartość szerokości przerwy energetycznej pomiędzy pasmem 

przewodnictwa a pasmem walencyjnym dla termistora wraz z obliczonym błędem. Napisać wnioski. Poprzez 

porównanie z wartościami teoretycznymi przerw energetycznych określić materiał z jakiego wykonano 

półprzewodnik.