Microsoft Word - FIZYKA EGZAMIN Ko

Wielkości podstawowe i uzupełniające układu SI

Wielkość

Jednostka układu SI

Nazwa

Oznaczenie

A. Wielkości podstawowe

długość

metr

masa

kilogram

czas

sekunda

natężenie prądu elektrycznego amper

temperatura termodynamiczna Kelvin

światłość

kandela

B. Wielkości uzupełniające

kąt płaski

radian

rad

kąt bryłowy

steradian

Metr jest długością równą l 650 763,73 długości fali w próżni ściśle określonego
promieniowania monochromatycznego o barwie pomarańczowej, emitowanego przez izotop
kryptonu 86.
Kilogram

jest

masą

międzynarodowego

wzorca

przechowywanego

Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres pod Paryżem.
Sekunda jest 1/31 556925,9747 częścią roku zwrotnikowego 1900.
Amper  jest  natężeniem  nie  zmieniającego  się  prądu  elektrycznego,  który  -  płynąc  w  dwóch
równoległych  prostoliniowych,  nieskończenie  długich  przewodach  o  przekroju  okrągłym,
znikomo  małym,  umieszczonym  w  próżni  w  odległości  jednego  metra  jeden  od  drugiego  -
wywołuje  między  tymi  przewodami  siłę  równą  2*10

-7

niutona na każdy metr długości

przewodu.
Kelwin jest jednostką temperatury termodynamicznej w skali, w której temperatura punktu
potrójnego (punkt potrójny odpowiada stanowi równowagi miedzy fazą stałą , ciekłą i gazową)
wody jest równa dokładnie 273,16 K.

Kandela jest światłością, która ma w kierunku prostopadłym pole równe





powierzchni ciała doskonale czarnego, promieniującego w temperaturze krzepnięcia platyny
pod ciśnieniem 101 325 N/m

Radian jest to jednostka miary łukowej kąta płaskiego, równa stosunkowi łuku l do

promienia tego łuku r





Słownie definicja radiana (rad) brzmi: Radian jest to kąt płaski

zawarty  między  dwoma  promieniami  koła,  wycinającymi  z  jego  okręgu  łuk  o  długości
równej promieniowi tego koła.
Steradian.  Kąt  bryłowy  jest to  cześć  przestrzeni  ograniczona  powierzchnią  stożkową.  Jeżeli
ze środka pewnej powierzchni kulistej o promieniu r poprowadzimy powierzchnię stożkową
wycinającą  część  kuli  o  powierzchni  S,  to  powierzchnia  ta  ograniczy  kąt  bryłowy    równy

stosunkowi powierzchni S do kwadratu promienia r :





Jednostką miary kąta bryłowego

jest steradian (sr). Jego definicja brzmi: Steradian jest kątem bryłowym o wierzchołku w
środku kuli, wycinającym z jej powierzchni część równą powierzchni kwadratu o boku
równym promieniu tej kuli.

Ruch prostoliniowy. Prędkość ruchu.
Ruchem prostoliniowym nazywamy ruch ciała (punktu materialnego) po torze będącym linią
prostą.
Prędkość średnia. Jeżeli w chwili t

ciało zajmuje położenie A (współrzędna S

), a w chwili

położenie B (współrzędna S

), to prędkość średnia ruchu jest definiowana wzorem









. Prędkość średnia jest. więc ilorazem różnicowym drogi i czasu.

Prędkość  chwilowa.  Prędkość  średnia  nie  określił  dokładnie  ruchu  ciała.  Prawdziwy  obraz
ruchu  ciała.  np.  na  odcinku  AB  leżącym  wzdłuż  osi  Os  ,otrzymamy,  znajdując  prędkość
chwilową  w  każdym  punkcie  tego  odcinka.  Zatem    prędkość  chwilowa  jest  więc  pochodną
drogi  względem  czasu.  Prędkość  chwilową  nazywamy    też  po  prostu  prędkością.

lim











, ze wzoru tego wynika także , że przyrost drogi  S w czasie od 0 do t

wyraża się całką







vdt

Ruch prostoliniowy jednostajny.
Jeżeli prędkość ciała jest stała (nie zależy od czasu), to ruch jest jednostajny. Ze wzoru







vdt

przy założeniu, że w chwili t=0, S=0, otrzymujemy wzór na drogę w ruchu

jednostajnym prostoliniowym S=vt . Prędkość chwilowa w ruchu jednostajnym jest stała i
równa prędkości średniej.
Ruch prostoliniowy zmienny. Przyspieszenie
Jeżeli prędkość ciała zależy od czasu, to ruch nazywamy zmiennym. Niech w chwili t

prędkość ciała wynosi v

, a w chwili t

niech wynosi v

. Przyspieszeniem średnim ruchu

nazywamy iloraz różnicowy prędkości i czasu, co zapisujemy









Przyspieszenie chwilowe, zwane krótko przyspieszeniem, jest pochodną prędkości względem

czasu.



Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny.
Ruch,  w  którym  przyspieszenie  jest  stałe  (a=const),  nazywamy  mchem  jednostajnie
zmiennym.  Jeżeli  a>0,  to  ruch  jest  jednostajnie  przyspieszony,  jeżeli  zaś  a<0,  lo  ruch  jest
jednostajnie  opóźniony.  Przypadek  a=0  określa  ruch  jednostajny.    v  =  v

+ at , a draga

określona jest wzorem :





Ruch krzywoliniowy
Załóżmy że w chwili t punkt znajduje się w punkcie A, a jego położenie określone jest przez
wektor wodzący r(t). Po upływie czasu t punkt przemieści się po swym torze do punktu B,
który jest określony przez wektor

)

(

)

(















. Droga, jaką przebyło ciało w tym

czasie, wynosi S. Iloraz różnicowy przyrostu wektora





przez czas t, w którym ten

przyrost nastąpił określa wektor prędkości średniej







. Prędkość chwilowa wyraża się

wzorem :

lim











Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego. Obierzmy układ
współrzędnych 0

tak, aby początek układu znajdował się w środku koła o promieniu r.

Droga  kątowa.  Położenie  punktu  A  na  okręgu  można  wtedy  jednoznacznie  określić  za
pomocą kąta :  kąt  nosi  nazwę  drogi  kątowej.  Jednostką  drogi  kątowej jest radian.  Drogę
liniową  s  przebytą  przez  ciało  po  łuku  koła  można  wyrazić  za  pomocą  drogi  kątowej
następująco S = r Oczywiście,  aby wzór ten  był  prawdziwy droga   musi  być wyrażona w
radianach.

Prędkość kątowa oznaczana jest przez

d





, a prędkość liniowa





Okres ruchu to czas T potrzebny na przebycie drogi kątowej  = 2. Dla ruchu

jednostajnego po okręgu







Częstotliwością f ruchu po okręgu nazywamy liczbę obiegów punktu po okręgu w jednostce

czasu ,

f 

Przyspieszenie  kątowe.  Gdy  ruch  po  okręgu  jest  niejednostajny,  prędkość  kątowa  ulega
zmianom,  możemy wówczas wprowadzić nową wielkość charakteryzującą ruch,  mianowicie
przyspieszenie  kątowe  ,  które  definiujemy  jako  pochodną,  prędkości  kątowej  względem

czasu:











Inercjalne układy odniesienia. Transformacja Galileusza

Z  pierwszej  zasady  dynamiki  wynika,  że  jeśli  na  ciało  nie  działają  żadne  siły  lub  działają
siły  zrównoważone  (F=0),  to  ciało  jest  nieruchome  lub  porusza  się  ruchem  jednostajnym
prostoliniowym. Ponieważ ruch jest zmianą położenia ciała względem układu.
Otóż okazuje się, że zasada ta obowiązuje tylko w inercjalnych układach odniesienia. Układy
odniesienia,  w  których  I  zasada  dynamiki  nie  jest  spełniona,  noszą  nazwę  układów
nieinercjalnych. Pierwsza zasada dynamiki jest w istocie postulatem, że układ inercjalny

istnieje.

Rozpatrzmy dwa układy odniesienia jeden nieruchomy O i drugi O' poruszający się
względem układu (J ruchem jednostajnym prostoliniowym x. prędkością v

. Układy te

orientujemy tak, aby osie x i x` pokrywały się i aby kierunek tych osi pokrywał się z
kierunkiem ruchu układu O'.

Przyjmujmy ponadto, że osie y i y' oraz z i z' są. do siebie równoległe oraz że w chwili t=0

układy pokrywają się.

Załóżmy, że chcemy opisać ruch punktu materialnego P z punktu widzenia

obserwatora związanego z układem O i obserwatora związanego /. układem O'.

Dwa układy odniesienia O i O' poruszają się względem siebie mchem jednostajnym

prostoliniowym. Prędkość poruszającego się ciała jest w obu układach różna, natomiast
przyspieszenie jest jednakowe. x'=x-v

t y'=y

z'=z Przyjmiemy ponadto, że w obydwu

układach  odniesienia  czas  płynie  jednakowo,  tzn.  t'=t    Zależności  te  noszą  nazwę
transformacji Galileusza.
Pierwsza zasada dynamiki głosi, że ciało nie poddane działaniu żadnej siły albo poddane
działaniu sił równoważących się pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym.  Pierwsza  zasada  dynamiki  nosi  nazwę  zasady  bezwładności.  Przez
bezwładność rozumiemy  właściwość ciała decydującą o tym, że  ciało  bez działania sił  nie
może zmienić ani wartości, ani kierunku swej prędkości. Czyli bez działania sil pozostaje w

takim stanie jak było wcześniej; spoczywa jeśli spoczywało, lub porusza się ruchem
jednostajnym jeśli było w jakimkolwiek ruchu.

Druga zasada dynamiki głosi, że: przyspieszenie ciała a jest wprost proporcjonalne do
siły F, która to przyśpieszenie wywołuje: F = ma

Trzecia zasada dynamiki zwana również zasadą akcji i reakcji, dotyczy wzajemnego
oddziaływania dwóch ciał (względnie układów ciał). Głosi, że jeżeli ciało A działa na ciało B

siłą



a ciało B działa na ciało A siłą



równą co do wartości, lecz przeciwnie

skierowaną: F

=-F

Pęd  (p)  -  wektorowa  wielkość  fizyczna  charakteryzująca  ruch  postępowy  ciała  o  kierunku  i
zwrocie pokrywającym  się z kierunkiem  i  zwrotem wektora prędkości. Pęd ciała  jest równy
iloczynowi masy (m) i prędkości (V) poruszającego się ciała: p = mv.
Jednostką  pędu  jest  kilogramometr  na  sekundę  kg m/s  -  jest  to  pęd  ciała  o  masie  1kg
poruszającego się z prędkością 1m/s.
Popęd siły (impuls siły) - wektorowa wielkość  fizyczna charakteryzująca działanie  siły  F  na
ciało w przeciągu czasu



t; równa jest iloczynowi: Ft.

Jednostką popędu jest niutonosekunda (Ns) - jest to popęd (impuls) siły udzielony ciału
przez działanie na nie w czasie 1s stałej siły równej 1N.
Zasada zachowania pędu - w układach odosobnionych pęd całkowity układu, będący sumą
wektorową pędów poszczególnych ciał układu, jest wielkością stałą. W układzie, na który nie
działają niezrównoważone siły zewnętrzne, suma pędów początkowych p

oddziałujących na

siebie ciał jest równa sumie pędów końcowych p

tych ciał. Co zapisujemy w postaci p=const.

lub p

Moment  pędu,  kręt,  wektor  osiowy  J  charakteryzujący  ruch  ciała  (w  szczególności  ruch
obrotowy):  J=r×p  (iloczyn  wektorowy  wektora  wodzącego  r i pędu  ciała).Dla  układu  ciał
moment  pędu  układu  jest  sumą  wektorową  momentu  pędu  pojedynczych  ciał,  dla  ciała
o ciągłym rozkładzie masy moment pędu wyraża się wzorem:

gdzie:  V -  objętość  ciała,  dv  -  element  objętości,  ρ(r)  -  funkcja  rozkładu  gęstości,  u(r)  -
prędkość elementu objętości dv. Równanie ruchu obrotowego ciała ma postać: dJ/dt=D gdzie
D  moment  sił  zewnętrznych  (moment  siły).  Moment  pędu  bryły  sztywnej  wyraża  się  (w
układzie  odniesienia,  w którym  oś  obrotu  przechodzi  przez  początek  układu)  poprzez  tensor
momentu bezwładności I i prędkość kątową ω, J=Iω. Moment pędu  izolowanego układu  jest
zachowywany (zasada zachowania krętu).

Coriolisa siła, jedna z sił bezwładności działająca na ciało znajdujące się w nieinercjalnym
(tu: obracającym się) układzie odniesienia, F

cor

= -2m ω×v, gdzie m - masa ciała, ω - wektor

prędkości  kątowej  obracającego  się  układu,  v -  wektor  prędkości  liniowej  ciała  mierzony
w obracającym  się  układzie  odniesienia  .Siła  Coriolisa  spowodowana  dziennym  ruchem
obrotowym działa na poruszające się poziomo na Ziemi ciała, osiągając największe wartości
na  biegunach (przy ruchu poziomym  wektory ω  i v są prostopadłe,  niezależnie od kierunku

v),  a jej  składowa  pozioma  zanika  na  równiku.  Na  półkuli  północnej  powoduje  odchylanie
się  poruszających  się  poziomo  ciał  na  prawo  (odpowiedzialne  np.  za  intensywniejsze
podmywanie  prawych  brzegów  rzek),  a na  półkuli  południowej  -  w lewo.  Siła  Coriolisa
działa  na  spadające  swobodnie  ciała,  odchylając  je  od  pionu  w kierunku  wschodnim.  Siła
działająca

jednostkową

masę

nazywa

się

przyspieszeniem

Coriolisa.

Nieinercjalny układ odniesienia, fizyczny układ odniesienia, w którym  nie  jest spełniona I
zasada  dynamiki  Newtona:  np.  układ  związany  z obracającym  się  ciałem  (w  szczególności
układ związany z Ziemią) lub ciałem poddanym przyspieszeniom liniowym. Przeciwieństwo
układu  odniesienia  inercjalnego.  W nieinercjalnym  układzie  odniesienia  obserwuje  się  np.
siłę Coriolisa, siłę odśrodkową, inne siły bezwładności.

Siły  bezwładności,  pozorne  siły  działające  na  ciała  fizyczne  w nieinercjalnych  układach
odniesienia  (styczna  siła  bezwładności,  siła  odśrodkowa,  siła  Coriolisa).  Liczbowo  siły
bezwładności  równe  są  iloczynowi  masy  i odpowiedniego  przyspieszenia,  a skierowane
przeciwnie niż siła wymuszająca ruch.

Lorentza transformacja, Lorentza przekształcenie, przekształcenie matematyczne opisujące
transformacje wielkości fizycznych w czasoprzestrzeni czterowymiarowej przy przechodzeniu
od jednego inercjalnego układu odniesienia, określonego przez współrzędne przestrzenne x, y,
z i współrzędną czasową t, do drugiego, określonego przez współrzędne x', y', z' oraz t'. W
najprostszym przypadku, jeśli układ (x', y', z', t') porusza się jednostajnie w kierunku osi
x z prędkością v, to transformacja Lorentza ma postać:

gdzie

c -

prędkość

światła

w próżni.

transformacji  Lorentza  wynikają  wszystkie  efekty
kinematyczne  szczególnej  teorii  względności,  takie
jak: reguła sumowania się prędkości prowadząca do
niemożności  uzyskania  prędkości  większej  od

prędkości światła, względność pojęcia równoczesności, skrócenie Lorentza-Fitzgeralda,
spowolnienie biegu poruszających się zegarów.

Czasoprzestrzeń,  przestrzeń  czterowymiarowa,  w której  oprócz  trzech  składowych
przestrzennych  występuje  składowa  czasowa,  podstawowe  pojęcie  współczesnej  fizyki,
inaczej:  przestrzeń  zdarzeń  fizycznych.  Pojęcie  czasoprzestrzeni  wprowadził  A.  Einstein
w szczególnej

teorii

względności.

Względności  teoria  szczególna,  STW  Podstawowe  założenie  STW  to  stałość  prędkości
światła w każdym układzie odniesienia (Michelsona-Morleya doświadczenie) - wynika z tego
prawo transformacji  współrzędnych  przestrzennych  i czasu  przy  przejściu  od  jednego  układu
odniesienia  do  drugiego,  opisane  przez  transformację  Lorentza,  oraz  postulat  prawdziwości
zasady  względności  głoszącej,  że  prawa  fizyki  mają  taką  samą  postać  w każdym  inercyjnym
układzie odniesienia.

Dodawanie prędkości wg Einsteina. Przedmiot ma już prędkość u

w jednym układzie i u`

w innym układzie , który porusza się z prędkością v. A więc u`

= u

+ v , wiedząc że

dx`=dx + vdt i









dzieląc pierwsze równanie przez drugie i zastępując dx/dt i

dx`/dt` odpowiednio przez u

i u`

otrzymujemy :





-dodawanie prędkości wg

Einsteina.

Równoważność masy i energii E=mc

. E oznacza całkowitą energię ciała. Masa ciała w

spoczynku jest równa masie i jego energia wynosi

E 

i nazywamy ją energią

spoczynkową, co oznacza że ciało będąc w spoczynku posiada pewną energię związaną z jego
masą. Jeśli ciało to zostanie wprowadzone w ruch przez działanie siły. Praca tej siły zamieni
się energię kinetyczną ciała . Energia kinetyczna ciała równa jest zatem różnicy energii
całkowitej ciała w ruchu i jego energii spoczynkowej, czyli

)

(









przekształceniu tego wzoru mamy























)

(

Wzór ten różni się

w istocie od wzoru klasycznego















. Jednak można udowodnić że oba wzory dają

te same wyniki dla niewielkich prędkości. W tym celu należy skorzystać z rozwinięcia w

szereg :





...

)

(













w tym przypadku n = -1/2, a x = -v

. Zatem



















...

Jeżeli v <<c to w nawiasach możemy pominąć wyrazy o

wyższych potęgach i otrzymamy







Otrzymaliśmy klasyczny wzór na

energię kinetyczną , stanowiący szczególny przypadek wzoru relatywistycznego, gdy v <<c.
Według  mechaniki  relatywistycznej  energia  kinetyczna  jest  związana  z  przyrostem  masy
ciała.  To  samo  dotyczy  innych  rodzajów  energii.  Na  przykład  każde  ciało  w  miarę
podnoszenia  go  nad  poziom  Ziemi,  zwiększa  swoją  masę.  Oczywiście  zmiany  te  są  tak
niewielkie, że są niewykrywalne; dopiero w zjawiskach atomowych i jądrowych zmiana masy
z energią są znaczne.

Prawo  powszechnego  ciążenia  .  Dwa  punkty  materialne  o  masach  m

i m

przyciągają się

wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu

ich odległości r , czyli

F 

gdzie G jest to stała uniwersalna nazywająca się stałą

grawitacyjną, która wynosi







Ciężar ciał jest to siła jaką ciało materialne jest przyciągane przez Ziemię.

F 

gdzie

M to masa ziemi, a R jej promień. Siła ta nadaje swobodnie spadającemu ciału
przyspieszenie g zwane przyspieszeniem ziemskim F = mg z porównania obu wzorów
otrzymujemy zależność na przyspieszenie ziemskie powiązaną z stałą grawitacyjną

g 

. Wielkość przyspieszenia zależy od szerokości geograficznej co powoduje że jest

największa na biegunach, a najmniejsza na równiku gdyż ziemia jest elipsą.

Pole grawitacyjne. W absolutnej pustej przestrzeni jeśli umieścimy punkt materialny o masie
M, wówczas w przestrzeni otaczającej masę M powstaje wówczas pole grawitacyjne o takiej
własności, że jeśli w dowolnym punkcie tego pola, odległym o r od masy M , umieścimy

próbną masę m , to będzie na nią działać siła

F 

, siła ta w postaci wektorowej

przyjmuje postać

Mmr





. Natężenie pola grawitacyjnego nazywamy stosunek siły

działającej na masę próbną do wartości tej masy. Natężenie pola jest wektorem i wyraża się

wzorem:







Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego. Siłą grawitacji jest siłą
zachowawczą, możemy wobec tego obliczyć energię potencjalną położenia masy próbnej. W
tym celu należy obliczyć pracę siły grawitacyjnej wykonaną przy przesunięciu masy próbnej
m od danego punktu pola P do punktu odniesienia O. E

= W

. Niech punkt P znajduje się w

odległości r

od masy M wytwarzającej pole grawitacyjne . Praca wykonana przez pole

grawitacyjne przy przesunięciu masy próbnej m z punktu P do nieskończoności wynosi :









Fdr

, podstawiając za F otrzymujemy





, zatem grawitacyjna energia

potencjalna masy próbnej w dowolnej odległości r od masy M wynosi

)

(





Temperatura jest wielkością skalarną określającą stopień nagrzania ciała. Jej równość
zapewnia równowagę termiczną ciał będących w kontakcie (równowaga termiczna).
Jednostką temperatury w skali bezwzględnej jest kelwin (K), a w skali Celsjusza stopień (

C).

T-temperatura w skali bezwzględnej, t-w stali Celsjusza , a więc T = t + 273,15 .
Ciepłem  nazywamy  ilość  energii  wewnętrznej  jaka  przepływa  między  ciałami  w  wyniku
różnicy temperatur. Ciepło  jest  mikroskopowym  sposobem przekazywania energi. Jednostką
ciepła podobnie jak energii i pracy jest dżul (J).
Ciepłem właściwym nazywamy ilość ciepła, jaką musi wymienić z otoczeniem ciało o masie

1 kg, aby jego temperatura zmieniła się o 1k.





, gdzie Q - ilość pobranego ciepła, m –

masa, T – przyrost temperatury , jednostką ciepła właściwego jest J/(kgK) .
Ciepłem molowym substancji nazywamy ilość ciepła potrzebną do ogrzania 1 mola tej

substancji o 1K.





Q - ilość ciepła, n – liczba moli substancji , T – zmiana

temperatury,  C  –  ciepło  molowe.  Jednostka  ciepła  molowego  w  układzie  SI  jest  J/(mol  K).
Pomiędzy ciepłem właściwym a ciepłem molowym zachodzi związek C = c , gdzie  - masa
molowa.
Równanie  stanu  gazu  doskonałego.  Stan  pewnej  stałej  ilości  gazu  określają  jednoznacznie
trzy parametry stanu : ciśnienie p , objętość V i temperatura T.  PV = nRT, gdzie n – liczba
moli  danego  gazu  ,  a  R  =  8,314  J/(molK)  –  uniwersalna  stała  gazowa.  Fikcyjny  gaz  ,  który
dokładnie spełniałby to równanie w każdych warunkach, nazywamy gazem doskonałym.
Gazy  rzeczywiste  mają  właściwości  zbliżone  do  gazu  doskonałego  jedynie  wtedy,  gdy  są
rozrzedzone.  Założenia  wprowadzone  dla  gazu  doskonałego  przestają  jednak  obowiązywać
przy  dużych  gęstościach  gazu.  Wtedy  należy  uwzględnić  np.  efekty  związane  z  siłami
spójności  i  skończoną  objętość  cząsteczek  gazu.  Zmodyfikowane  równanie  stanu  gazów
rzeczywistych  dokładniej  niż  równanie  Clapeyrona,  zostało  wprowadzone  przez  van  der

Waalas. Równanie van der Waalsa opisuje z dobrym przybliżeniem stan gazu rzeczywistego i

ma postać :

)

)(

(







, gdzie a i b – wielkości wyznaczone doświadczalnie dla

danego gazu, v = V/n – objętość molowa

Założenia  kinetycznej  teorii  gazu  doskonałego.  Z  mikroskopowego  punktu  widzenia  gaz
doskonały  możemy  też  zdefiniować  ,  czyniąc  pewne  założenia  o  własnościach  cząsteczek
gazów rzeczywistych. Mianowicie: 1. Cząsteczki danego gazu można traktować jako punkty
materialne  o  równych  masach,  2.  Cząsteczki  gazu  znajdują  się  w  szybkim  chaotycznym
ruchu. Chaotyczność ruchu oznacza , że cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach ,
jakie są tylko możliwe , i że żaden z tych kierunków nie jest uprzywilejowany, 3. Cząsteczki
gazu  zderzają  się  sprężyście  ze  sobą  i  ze  ściankami  naczynia  .  Siły  działające  podczas
zderzenia są siłami zachowawczymi i wobec tego energia mechaniczna cząsteczek pozostaje
stała, 4. Siły działają tylko w momencie zderzenia się cząsteczek gazu. Cząsteczki oddalone
od  siebie  nie  działają  na  siebie  żadnymi  siłami,  5.  Objętość  cząsteczek  gazu  jest
zaniedbywalnie mała w porównaniu z objętością zajmowaną przez gaz.
Rozkład  Maxwella.  Ten  angielski  fizyk  na  podstawie  założeń  teorii  kinetycznej  gazu
wyprowadził  prawo  rozkładu  wartości  prędkości  poruszających  się  cząsteczek.  Ma  ono

postać:

gdzie

)

(

3
p

3
P









nosi

nazwę prędkości

najbardziej

prawdopodobnej . Funkcja f(v) określa prawdopodobieństwo , że na ogólną liczbę cząsteczek
N, liczba dN cząsteczek ma prędkości zawarte w elementarnym przedziale od v do v+dv.

Zatem

)

(



I  zasada  termodynamiki.  Zmiana  energii  wewnętrznej  układu  termodynamicznego  jest
równa  sumie  ciepła  pobranego  (lub  oddanego)  przez  układ  i  pracy  wykonanej  nad  układem
przez  siły  zewnętrzne  (lub  przez  układ  nad  otoczeniem).  U

– U

= Q + W , gdzie U

–

energia wewnętrzna układu w stanie początkowym , U

– energia wewnętrzna w stanie

końcowym,  Q-  energię  pobraną(lub  oddaną)  przez  układ  w  wyniku  wymiany  ciepła    ,  W-
energię pobraną (lub oddaną) przez układ w wyniku wykonania pracy przez siły zewnętrzne.
II  zasada  termodynamiki.  Wg  Plancka:  Niemożliwe  jest  zbudowanie  maszyny  cieplnej
działającej cyklicznie , która oziębiałaby zbiornik ciepła i wykonywała pracę nie powodując
żadnych  zmian  w  przyrodzie.  Wg  Clausiusa:  żadna  pracująca  cyklicznie  maszyna  nie  może
bez  zmian  w  otoczeniu  przenosić  w  sposób  ciągły  ciepła  z  jednego  ciała  do  drugiego  o
wyższej temperaturze.
Entropia.  Do  scharakteryzowania  termodynamicznych  procesów  należy  nową  wielkość  ,
zwaną  entropią  S.  Entropia  jest  termodynamiczną  funkcją  nie  zależną od  drogi  przejścia  od
jednego  stanu  do  drugiego,  a  zależną  tylko  od  początkowego  i  końcowego  stanu  układu.  A
więc  entropia  jest  funkcją  stanu  określoną  dla  stanów  równowagi  i  taką,  że  w  procesie

kwazistatycznym









albo

. Jednostką entropii jest dżul/kelwin(J/K). Drugą

zasadę

termodynamiki

można

sformułować

następująco:

Entropia

układów

termodynamicznych jest jednoznaczną funkcją stanu tych układów.
Cykl Carnotta. Silnik Carnota jest to silnik , którego teoretyczna sprawność jest większa niż
sprawność spalania wewnętrznego, posiada największą sprawność. Seria procesów w nim
zachodzących nazywamy cyklem Carnota. Silnik ten posiada cztery cykle:

1)P

–rozprężanie izotermiczne, 2)





- rozprężanie adiabatyczne,

3)P

– sprężanie izotermiczne, 4)





- sprężanie adiabatyczne.

Ciśnienie w cieczy i gazie . Prawo Pascala.
Ciecze  i  gazy  noszą  łączną  nazwę  płynów  .  Ciśnienie  płynu  można  scharakteryzować
wielkością  siła  działających  na  siebie  poszczególnych  warstw  płynu  lub  na  stykające  się  z
nimi  ciała  .  Stosunek  siły  parcia  na  dowolną  powierzchnię  w  płynie  do  wielkości  tej
powierzchni  nazywamy  ciśnieniem  .  Jednostką  ciśnienia  jest  paskal  (Pa).  Jest  to  ciśnienie

jakie wywiera siła jednego niutona na powierzchnię 1 m



Zjawisko to opisuje

prawo Pascala, które można sformułować następująco: Ciśnienie zewnętrzne wywierane na
ciecz lub gaz jest przenoszone we wszystkich kierunkach jednakowo.
p = p

+ gh , gdzie  gęstość cieczy, g – przyspieszenie ziemskie, h- głębokość mierzonego

ciśnienia, p

ciśnienie na powierzchni.

Prawo Archimedesa. Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi
wypartej przez to ciało cieczy.
Pływanie ciał. Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu W = Vg

i siła

ciężkości Q = Vg - gdzie 

i  oznaczają odpowiednio gęstość cieczy i średnią gęstość ciała

niejednorodnego . Wypadkowa tych dwóch sił wyraża się wzorem R = W-Q = Vg(

-).

Mogą tu wystąpić trzy przypadki: 1) >

wówczas wypadkowa siła R<0 ciało będzie tonąć.

2) =

- wówczas R=0 ciało będzie znajdować się w równowadze z cieczą na dowolnej

głębokości zanurzenia, 3) <

wówczas R>0 ciało będzie pływać częściowo zanurzone.

Przepływ  płynu.  Ruch  płynów  nazywamy  przepływem  ,  a  uporządkowany  ruch  cząsteczek
płynów poruszających się w jednym kierunku strumieniem lub strugą . Przepływ nazywamy
laminarnym,  jeżeli  strumień  płynu  może  być  rozłożony  na  warstwy  ,  których  wektor
prędkości jest równoległy do kierunku przepływu. Przepływ płynu nazywamy turbulentnym ,
jeżeli  zachodzi  mieszanie  się  poszczególnych  warstw  płynu  .  W  ruchu  turbulentnym  dla

różnych warstw płynu pochodne prędkości względem czasu



. Jeżeli w danym

punkcie przestrzeni prędkość przepływającego płynu nie zależy od czasu , to przepływ taki
nazywamy ustalonym lub stacjonarnym.

lub



Związek ten nosi nazwę równania ciągłości, z którego wynika , że

prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów strugi.

const

mgh





. Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego. Dzieląc stronami

powyższe równanie przez objętość V i podstawiając za m/V gęstość cieczy



otrzymamy

postać równania następującą

const











. Na podstawie tych dwóch równań

możemy  sformułować  prawo  Bernouliego  następująco  :  Suma  energii  kinetycznej,
potencjalnej i ciśnienia jednostki masy (lub jednostki objętości) ustalonego przepływu cieczy
doskonałej jest wielkością stałą.
Prawo Culomba.
Dwa  nieruchome  punktowe  ładunki  elektryczne  odpychają  się  lub  przyciągają  z  siłą
proporcjonalną do iloczynu tych ładunków, a odwrotnie proporcjonalną do ich odległości.

Wyrazimy to przy pomocy równania:





gdzie q

i q

są wielkościami skalarnymi określającymi wielkość i znak ładunków. Wielkość

jest silą działającą na ładunek, zaś wektor r

jest skierowany od ładunku q

do q

W układzie jednostek SI stałą k można zapisać w postaci:

















9875





gdzie 

=0.8859*10

-11

jest przenikalnością próżni.

Stała 

występująca we wzorze nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej ośrodka i

wyraża się liczbą niemianowaną. Znając 

i 

możemy określić przenikalność elektryczną



każdego ośrodka materialnego:  = 



Natężenie pola elektrycznego.
Przestrzeń  otaczająca  ładunki  elektryczne  posiada  taką  właściwość,  że  na  umieszczone  w
dowolnym  jej punkcie  inne  ładunki działa siła. Mówimy,  że wokół  ładunków elektrycznych
istnieje pole elektryczne.
Istnienie pola elektrycznego  można wykryć wprowadzają do przestrzeni w której ono działa

ładunek próbny q

. W polu elektrycznym na ładunek próbny działa siła



. Umożliwia to

wprowadzenie pojęcia: natężenia pola elektrycznego.

Natężenie pola elektrycznego



definiuje się jako stosunek siły



, działającej na dodatni

ładunek próbny q

, do wartości tego ładunku.





Natężenie pola elektrycznego jest wektorem. W każdym punkcie przestrzeni wektor



może mieć inną wartość i inny kierunek. Jednostką natężenia pola w układać SI,

wynikającą ze wzoru powyżej jest [N/C], jednakże w praktyce przyjęło się używać jednostki

równoważnej [V/m].

mAs

VAs







Obliczenie natężenia pola elektrycznego w

dowolnym punkcie przestrzeni jest w zasadzie możliwe zawsze, jeżeli znamy rozkład
ładunków wytwarzających to pole. Z prawa Coulomba i definicji pola elektrycznego możemy
wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy q.







Ze wzoru powyżej wynika, że na ładunek q

znajdujący się w polu elektrycznym działa

siła



= q



. Siła ta może wykonać pracę przesuwając ładunek. Elementarna praca

wykonywana przez siłę elektryczną przy przesunięciu ładunku na elemencie drogi d



wynosi

dW =



= q



. Praca sił pola elektrycznego na drodze między punktami A i B wyrazi

się zatem wzorem







Można wykazać, że pole elektrostatyczne, tzn. takie które nie zmienia się w czasie, jest polem
potencjalnym, czyli że siły elektryczne są. siłami zachowawczymi. Oznacza to, że wartość
pracy

nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B. Z własności sił potencjalnych

wiadomo też, że praca takich sił na drodze zamkniętej jest równa zeru. Powyższe sprawdzimy
dla najprostszego przypadku przesuwania ładunku próbnego q

w polu ładunku punktowego

Q po drodze ABCDA. Odcinki AB i CD tej drogi leżą na liniach sił pola, odcinki BC i DA -
na łukach kół, które w każdym swym punkcie są prostopadłe do linii sił. Praca sił pola na
odcinku AB jest równa co do wartości, lecz przeciwna co do znaku względem pracy

wykonanej  na  odcinku  CD.  Prace  na  odcinkach  BC  i  AD  są  równe  zeru  ze  względu  na
prostopadłość kierunków siły  i przesunięcie.  A zatem  całkowita praca na drodze zamkniętej
ABCDA  jest równa zeru. Zdefiniujemy obecnie napięcie elektryczne

między punktami

A i B, mianowicie



co słownie można wyrażać następująco: Napięciem

elektrycznym między punktami A i B nazywamy stosunek pracy W

wykonanej przy

przesunięciu ładunku q

z punktu A do B do wielkości tego ładunku. Należy podkreślić, że

niezależność  pracy  od  kształtu  drogi  umożliwia  jednoznaczne  określenie  napięcia  między
danymi  punktami  A  i  B,  Przejdziemy  teraz  do  określenia  potencjału:  Potencjałem  danego
punktu A nazywamy napięcie między punktem A i punktem nieskończenie odległym.
Zatem  potencjał  V

jest związany z pracą przesunięcia ładunku q

od punktu A do

nieskończoności.





Aby uzyskać zależność między napięciem a potencjałem

rozważmy pracę wykonaną na drodze od punktu A do nieskończoności, a następnie od
nieskończoności do B. Praca ta wynosi























Z drugiej strony, ponieważ praca nie zależy od wyboru drogi, musi być ona równa pracy na
odcinku AB, czyli:



Z porównania ostatnich dwóch związków wynika, że





czyli: Napięcie między dwoma punktami pola elektrycznego równa się

różnicy potencjału tych punktów. Z wzorów definicyjnych napięcia elektrycznego i

potencjału wynika, że napięcie i potencjał mają wspólną jednostkę.

AVs



Prawo Gaussa dla pola elektrycznego.
Prawo  Gaussa-Oslrogradskicgo,  zwane  też  krótko  prawem  Gaussa,  dotyczy  zależności
strumienia pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną zamkniętą powierzchnię S od
ogólnego  ładunku  znajdującego  się  wewnątrz  obszaru  objętego  tą  powierzchnią.  Dowód
prawa Gaussa podamy dla powierzchni kulistej o promieniu R , w środku której znajduje się
ładunek  +Q.  Linie  sił  wychodzą  radialnie  z  tego  ładunku  i  przecinają  prostopadle
powierzchnię kuli. Natężenie pola E w dowolnym punkcie tej powierzchni zgodnie z wzorem

równa się:





Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię kuli wynosi zatem:













czyli











We wzorze wektory E i ds są w każdym

punkcie na powierzchni kuli równoległe do siebie, a symbol



oznacza całkowanie po

powierzchni  zamkniętej  (jaką  jest  powierzchnia  kulista).Jak  widać  z  wzoru  całkowity
strumień  pola  elektrycznego  nie  zależy  od  promienia  kuli,  przez  którą  przechodzi,  a  zależy
jedynie  od  ładunku  Q  znajdującego  się  wewnątrz  i  od  przenikalności  elektrycznej  ośrodka.
Można udowodnić, ze wzór Gaussa  nie zmienia swej postaci przy zastąpieniu kuli dowolną
zamkniętą  powierzchnią  S.  Jeżeli  wewnątrz  zamkniętej  powierzchni  S  znajduje  się  N
ładunków  Q

...Q

(dodatnich i ujemnych), to całkowity strumień elektryczny

przechodzący

przez

tę

powierzchnię

wynosi:















gdzie

...





Jeżeli powierzchnia zamknięta obejmuje ładunki dodatnie i ujemne

w  takiej  ilości,  że  ich  suma  algebraiczna  równa  się  zeru,  to  całkowity  strumień  elektryczny
przez  tę  powierzchnię  równa  się  zeru.  Ostatecznie  prawo  Gaussa  dla  pola  elektrycznego
możemy  sformułować  następująco:  Całkowity  strumień  pola  elektrycznego



przez

dowolną powierzchnię zamkniętą S jest równy algebraicznej sumie Q ładunków zawartych

wewnątrz tej powierzchni pomnożony przez czynnik



Prąd stały i prawa Ohma i Kirchoffa.
Przez  przepływ  prądu  elektrycznego  rozumiemy  ruch  ładunków  elektrycznych.  Czynnikiem
wywołującym ten ruch jest istnienie napięcia, czyli różnicy potencjałów.
W  każdym  zamkniętym  obwodzie  prądu  można  wyróżnić  źródło  (czyli  tzw.  część
wewnętrzną  obwodu)  wytwarzające  różnicę  potencjałów  między  dwoma  biegunami,
dodatnim i ujemnym, oraz odbiorniki prądu (czyli tzw. część

zewnętrzną obwodu, utworzoną

z przewodników elektryczności).
Zgodnie  z  tradycją,  za  kierunki  prądu  w  obwodzie  zewnętrznym  przyjmuje  się  kierunek  od
potencjału wyższego - dodatniego, do niższego - ujemnego, czyli za umowny kierunek prądu
przyjmuje się kierunek ruchu ładunków dodatnich.
W  czasie  przepływu  prądu  przez  przewodniki  metalowe  mamy  do  czynienia  z  ruchem
swobodnych elektronów, a więc nośników prądu poruszających się od potencjału niższego do
wyższego,   czyli   w   kierunku   przeciwnym   do   umownie   przyjętego.   W   elektrolitach
wchodzących  w  skład  zewnętrznej  części  obwodu  mamy  do  czynienia  z  ruchem  jonów
dodatnich  (tzw.  kationów)  do  elektrody  ujemnej  (katody)  i  jonów  ujemnych  (tzw. anionów)
do  elektrody    dodatniej    (anody).    W    tym  przypadku  mówimy  o  prądzie  jonowym-  W
półprzewodnikach może występować przewodnictwo elektronowe oraz dziurowe . W gazach
występuje zarówno przewodnictwo jonowe, jak i elektronowe.
Przez natężenie prądu elektrycznego (zwanego też krótko prądem elektrycznym) rozumiemy
stosunek  ładunku  przepływającego  przez  poprzeczny  przekrój  przewodnika  do  czasu

przepływu:

I 

gdzie I oznacza natężenie prądu elektrycznego, Q - ładunek elektryczny, t

- czas przepływu. W przypadku prądu stałego, tj. prądu płynącego w jednym kierunku, gdy

jego natężenie jest stałe w czasie

I 

. Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper

[A].
Prawo Ohma . Prawo Ohma mówi o prostej proporcjonalności prądu I płynącego przez

przewodnik do napięcia U przyłożonego na jego końcach.







gdzie R oznacza

współczynnik  proporcjonalności  zwany  oporem  elektrycznym  przewodnika.  Równanie
powyżej przedstawia matematyczny zapis prawa Ohma.
Prawo  Ohma  mówi,  że  stosunek  napięcia  U  między  dwoma  punktami  przewodnika  do
należenia  I  przepływającego  przezeń  prądu  jest  wielkością  siała  (R)  i  nie  zależy  ani  od
napięcia U, ani od natężenia I prądu. Opór elektryczny  R (zwany też rezystancją) wyrażany
jest w omach [].
Opór  przewodnika  R  równa  się    l  omowi,  jeżeli  niezmienne  napięcie  U  równe    l  woltowi
istniejące na końcach przewodnika wywołuje w nim prąd I o natężeniu l ampera.
Prawa Kirchoffa. Pierwsze prawo Kirchoffa mówi, że w dowolnym punkcie W obwodu (w
węźle) suma algebraiczna  natężeń prądów stałych dopływających  i odpływających do węzła
równa się zeru.







Natężenie prądów dopływających do węzła uważamy

za dodatnie, natężenie prądów odpływających za ujemne. Innymi słowy, w żadnym punkcie
obwodu ładunki się nie gromadzą, nigdzie też nie giną, ani nic powstają (zasada zachowania
ładunku). Ile ładunków do węzła dopływa, tyle w tym samym czasie z niego odpływa:





Drógie  prawo  Kirchoffa  mówi,  że  w  dowolnie  wydzielonej  zamkniętej  części  obwodu
elektrycznego, w tzw. oczku, suma algebraiczna wszystkich napięć elektrycznych panujących
na  poszczególnych  elementach  oczka  równa  się  zeru.  Bierzemy  tu  pod  uwagę  wszystkie
czynne  siły  elektromotoryczne  (SEM)  E,  jak  również  wszystkie  istniejące  w  tej  części
obwodu spadki napięć IR.









Przy zastosowaniu wzoru powyżej trzeba pamiętać o regule znaków, przypisującej znaki plus
lub minus iloczynom IR oraz siłom elektromotorycznym źródeł prądu. Dowolny węzeł oczka)
przyjmujemy za punkt początkowy obiegu i w środku oczka zaznaczamy wybrany dowolnie
kierunek obiegu, np. zgodnie z ruchem wskazówki zegara. Na tych odcinkach oczka, gdzie
kierunek prądu jest zgodny z wybranym kierunkiem obiegu, iloczyn IR traktujemy jako

dodatnie (np. +I

, lecz -I

). Siłom elektromotorycznym

przypisujemy znak plus, gdy kierunek od bieguna dodatniego do
ujemnego jest zgodny z wybranym kierunkiem obiegu.
W odniesieniu do najprostszego obwodu pojedynczego ogniwa o
sile elektromotorycznej E i oporze wewnętrznym R

zamkniętego oporem zewnętrznym R

drugie prawo Kirchoffa

przyjmuje postać :







stąd

)

(





Prąd w cieczach ,mechanizm przewodzenia, elektroliza.
Elektrolity
Czyste ciecze (z wyjątkiem roztopionych metali) są. złymi przewodnikami prądu
elektrycznego. Stają się one dobrymi przewodnikami po rozpuszczeniu w nich kwasów, zasad
i soli. Takie roztwory nazywamy elektrolitami. Czysta woda np. w temperaturze pokojowej
ma opór właściwy p= 2,5 10

m, po rozpuszczeniu zaś w niej chlorku potasu KCl w

stężeniu  odpowiadającym  jednej  cząsteczce  KCl  na  pięćset  tysięcy  cząsteczek  wody  opór
właściwy maleje do p = 7m, a więc 35 000 razy. Oznacza to, że w roztworze wodnym siły
wiązań  chemicznych  cząsteczek  rozpuszczalnych  w  wodzie  ulegają  osłabieniu.  W  takich
warunkach  cząsteczka  AB,  składająca  się  z  dwóch  różnych  pierwiastków  A  i  B,  pod
wpływem  ruchów  termicznych  cząstek  elektrolitu  zostaje  rozerwana  na  cząstkę  dodatnio
naładowaną A

- kation i ujemnie naładowaną B

- anion. Proces taki nazywamy dysocjacją.

Proces odwrotny - łączenie się anionów i kationów w cząstki obojętne - nazywamy
rekombinacją. Oba te procesy możemy opisać równaniem: ABA

+ B

Elektrolity są to zatem roztwory (przede wszystkim wodne) kwasów, zasad i soli.
W wyniku przepływu prądu elektrycznego przez, elektrolity na elektrodzie ujemnej -katodzie
- wydzielają się takie substancje jak wodór, metale oraz grupy takie jak NH

. Na elektrodzie

dodatniej - anodzie - wydzielają się: tlen, reszty kwasowe oraz grupa OH. Wydzielanie się
substancji w wyniku przepływał prądu przez elektrolit nazywamy elektrolizą.
Elektroliza
Przy przepływie prądu elektrycznego przez elektrolit na elektrodach woltametru (czyli
naczynia, w którym odbywa się elektroliza) wydzielają się

substancje chemiczne. Oznacza to,

że w procesie elektrolizy transportowi ładunku towarzyszy transport masy. Z prawa
zachowania ładunku wynika, że: do wydzielenia masy jednego mola dowolnego pierwiastka
potrzebny jest przepływ ładunku Q





gdzie: N

= 6,02 10

[l / mol] - to

liczba Avogadra, w - wartościowość danego jonu, e - ładunek elementarny.
Prawo elektrolizy Faradaya
Pierwsze  prawo  Faradaya  wyraża  związek  między  ilością  substancji  wydzielającej  się  na
elektrodzie,  natężeniem  prądu  i  czasem  przepływu  prądu  przez,  elektrolit.  Prawo  to  ma
następującą  prostą  treść:  masa  substancji  m  wydzielającej  się  na  elektrodzie  jest  wprost
proporcjonalna  do  należenia  prądu  I  i  do  czasu  jego  przepływu  t:  m=kIt  gdzie  k  oznacza

współczynnik proporcjonalności, który zależy tylko od rodzaju wydzielającej się substancji i
składu elektrolitu.
Iloczyn  natężenia  prądu  I  przez  czas  t  daje  ilość  ładunku  elektrycznego  Q,  który  przepłynął
przez elektrolit It=Q skąd można pierwsze prawo Faradaya przedstawić w postaci m = kQ
tj. masa wydzielającej się substancji m jest proporcjonalna do przepływającej przez elektrolit
ilości   ładunku   Q.   Współczynnik   k   nazywa   się   równoważnikiem   elektrochemicznym
wydzielanej  substancji.  Ponieważ  dla  Q  =  l  mamy    m  =  k    więc  równoważnik
elektrochemiczny równa się liczbowo masie substancji wydzielającej się przy przejściu przez
elektrolit jednostki ładunku elektrycznego, czyli l Kulomba
Drugie  prawo  Faradaya  mówi,  że  współczynniki  elektrochemiczne  poszczególnych
pierwiastków są wprost proporcjonalne do ich równoważników chemicznych.

m 

Stąd wynika, że jeżeli w procesie elektrolizy, na elektrodzie wydziela się jeden

gramorównoważnik substancji (tj. masa m równa liczbowo M/w) to przez elektrolit
przepływa ładunek elektryczny Q liczbowo równy stałej F.
Innymi słowy stała Faradaya F równa się liczbowo ilości ładunku elektrycznego Q, który
przepływając przez elektrolit, wydziela na elektrodzie jeden gramorównoważnik substancji.

Siła Lorentza

Oddziaływania pola magnetycznego na prąd lub magnes trwały można sprowadzić do
elementarnego działania — pola magnetycznego na poruszający się ładunek punktowy.

Załóżmy, że w polu magnetycznym porusza się z prędkością



ładunek próbny q

. Okazuje

się, że pole magnetyczne działa na poruszający się ładunek elektryczny siłą



. Zmieniając

prędkość



ładunku próbnego, można stwierdzić, że niezależnie od kierunku jego prędkości



, siła



jest zawsze do niej prostopadła, natomiast wartość bezwzględna siły zależy od

wartości i od kierunku prędkości. Zawsze można znaleźć taki kierunek prędkości, aby wartość
siły była maksymalna oraz taki kierunek - prostopadły do poprzedniego - aby sila była równa

zeru. Zależność siły



od prędkości



ładunku próbnego q

można wyrazić

prostym wzorem, jeśli wprowadzimy wektor



opisujący pole magnetyczne, zwany

wektorem indukcji magnetycznej.

W przestrzeni istnieje pole magnetyczne o indukcji



, jeżeli na ładunek próbny q

poruszający się w tej przestrzeni z prędkością



działa siła















Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, wartość bezwzględna siły wyraża się wzorem:





sin

gdzie  to kąt między



. Wektor



jest prostopadły do wektorów



Wartość siły jest maksymalną, gdy







. Gdy wektory



są do siebie równoległe to

siła



= 0.

Zwróćmy uwagę, że w odróżnieniu od siły elektrycznej siła magnetyczna działa tylko na

ładunki w ruchu oraz, że jej kierunek jest zawsze prostopadły do kierunku wektora



. Siłę

magnetyczną wyrażoną wzorem













nazywamy często siłą Lorenza, a sam wzór -

wzorem Lorenza. Z właściwości iloczynu wektorowego opisującego siłę Lorenza wynika, że

trzy wektory



stanowią taki układ, że siła F jest prostopadła do płaszczyzny

wektorów



, zaś zwrot siły



określa reguła śruby prawoskrętnej.

Prawo Ampera i wzór Ampera

Obliczmy całkę krzywo liniową







po konturze zamkniętym C (w naszym przypadku

po   okręgu   o  promieniu    r)    wokół  nieskończenie  długiego  prostoliniowego  przewodnika  z
prądem.  Ponieważ  linie  sił  pola  magnetycznego  pochodzącego  od  prądu  prostoliniowego
tworzą  w  płaszczyźnie  prostopadłej  do  przewodnika  okręgi  koncentryczne  o  środkach

leżących na przewodniku. Indukcja B



we wszystkich punktach okręgu jest taka sama i

wynosi :







, a kierunek wektora



pokrywa się ze styczną do okręgu.



















Wzór jest również prawdziwy dla konturu zamkniętego C

dowolnego kształtu obejmującego przewodnik. Co więcej wynik całkowania jest taki sam,
gdy przewodnik (nie jest prostoliniowy) ma dowolny kształt. Jeżeli kontur C nie obejmuje

przewodnika z prądem, to cyrkulacja z wektora indukcji



po tym konturze jest równa zero.

Jeżeli kontur C obejmuje kilka przewodników z prądem to wobec zasady superpozycji pól

magnetycznych wzór można zapisać:















gdzie N- ilość przewodników z

prądem obejmowanych przez kontur C . Wzór ten wyraża matematyczną postać prawa
Ampera. Całka okrężna (po obwodzie zamkniętym) występująca w tym prawie nosi nazwę

cyrkulacji albo krążenia wektora



Wiedząc, że



= .



możemy zapisać:











W tym przypadku prawo przepływu

prądów tzw. prawo Ampera  można  sformułować  następująco: Cyrkulacja wektora natężenia
pola  magnetycznego  jest  równa  algebraicznej  sumie  natężeń  prądów  płynących  wewnątrz
konturu obejmującego te prądy.

Prawo Biota-Savarta-Laplacea
Laplace  sformułował  swą  hipotezę  następująco:  Indukcja  B  w  dowolnym  punkcie  pola
magnetycznego  dowolnego  przewodnika  z  prądem  stanowi  wektorową  sumę  przyczynków

indukcji d



pochodzących od elementów d



przewodnika z prądem I. Jest to zasada

superpozycji tj. zasada niezależnego działania pól.
Niech CD przedstawia odcinek długiego krzywoliniowego przewodnika, przez który płynie

prąd I. Dla obliczenia indukcji magnetycznej



w punkcie A dzielimy przewodnik na

nieskończenie małe elementy d



, traktując je jako wektory o zwrocie zgodnym ze zwrotem I.

Jego odległość od punktu A wynosi



(zwrot wektora



od elementu przewodnika do punktu

A).

Zgodnie z prawem Biota-Savarta-Laplace'a (prawo B-S-L) nieskończenie mały element d



przewodnika z prądem wytwarza w punkcie A odległym od d



indukcję magnetyczną



a mianowicie:

















w postaci skalarnej :









sin



- gdzie

 oznacza kąt między wektorem d



. A zatem słownie ujmując : Wartość liczbowa

indukcji d



wywołanej przez element dl przewodnika jest proporcjonalna na natężenia prądu

I, do długości elementu d



, odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r i zależna od

kąta a utworzonego przez kierunki d



. d



jest indukcją pola magnetycznego, jakie

wytwarza element d



przewodnika z prądem I w odległości



od tego elementu.

Kierunek i zwrot d



jest zgodny z kierunkiem i zwrotem iloczynu wektorowego d



Całkowita indukcja



wytworzona w punkcie A dzięki przepływowi prądu w całym

przewodniku jest sumą geometryczną wektorów d



wytworzonych przez wszystkie elementy



przewodnika,

zatem



jest

całką

wektorową

postaci





przewodnik

calym

przewodnik

calym













Współczynnik  = 



we wzorach charakteryzuje magnetyczne właściwości ośrodka, w

którym znajduje się przewodnik i nosi nazwę przenikalności magnetycznej, gdzie 

liczba niemianowana, zwana względną przenikalnością magnetyczną.

Prawo indukcji elekromagnetycznej  Faradaya.
Zjawisko  indukcji  elektromagnetycznej  polega  na  powstawaniu  prądów  elektrycznych
wskutek  zmian  pola  magnetycznego.  Aby  matematycznie  ująć  pojęcie  indukcji  należy
wprowadzić pojęcie strumienia indukcji magnetycznej (strumienia magnetycznego) 

który

wyraża się wzorem







Bds , w przypadku gdy obwód jest płaski , a pole magnetyczne

jednorodne wzór upraszcza się do postaci







cos

, gdzie - kąt między kierunkiem B

a  prostopadła  płaszczyzny  obwodu.  Strumień  ten  w  chwili  zamykania  i  otwierania  obwodu
pierwotnego zmienia się  w czasie , co powoduje  powstawanie siły elektromotorycznej SEM
odpowiedzialnej za przepływ prądu w tym obwodzie . A więc prawo indukcji Faradaya mówi
że:  Indukowana  w  obwodzie  SEM  indukcji  

ind

jest równa co do wartości bezwzględnej a

przeciwna co do znaku prędkości zmiany strumienia magnetycznego 

przenikającego przez

powierzchnię ograniczoną tym obwodem , czyli :

ind









. Indukcja wzajemna. Jeżeli w

jednym obwodzie zmienia się natężenie prądu to zgodnie z prawem indukcji Faradaya w
drugim obwodzie znajdującym się w pobliżu pierwszego jest indukowana SEM. Zjawisko to
jest nazywane indukcją wzajemną . Oznaczamy symbolem 

, strumień magnetyczny

pochodzący od obwodu 1 i przenikający przez obwód 2. Wówczas SEM indukowana w

drugim obwodzie wyniesie

ind









. Strumień 

jest proporcjonalny do indukcji B

, która na mocy prawa Biota-Savarta jest proporcjonalna do natężenia prądu I

. Zatem

strumień 

jest proporcjonalny do I

. Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez

możemy napisać 

= L

1 ,

a wzór przyjmuje wówczas postać :

ind







Samoindukcja(indukcja własna). Występuje w przypadku pojedynczego obwodu . Strumień
magnetyczny wytwarzany przez prąd płynący w obwodzie przenika ten obwód, zatem każda
zmiana natężenia prądu wywoła w nim powstanie SEM indukcji. Strumień magnetyczny 
wytwarzany przez obwód i przenikający go proporcjonalny do natężenia prądu I płynącego w
tym obwodzie  = LI , gdzie L nosi nazwę współczynnika indukcji własnej lub

współczynnika samoindukcji. Indukowana SEM wynosi

ind











Uogólnienie prawa Ampera
Liczne doświadczenia wykazały, że powyższe prawo jest również słuszne gdy mamy do
czynienia nie tylko z prądem przewodzenia I płynącym przez przewodnik (który jest

związany z ruchem przepływu ładunków elektrycznych np. elektronów), ale stosuje się
również w przypadku prądu uogólnionego I

Prąd uogólniony I

jest sumą prądu

przewodzenia I i prądu przesunięcia I

związanego ze zmianą w czasie natężenia pola

elektrycznego (np. zmianą natężenia pola E w przestrzeni międzyelektrodowej kondensatora
podczas jego ładowania lub rozładowywania). I

= I + I

Aby  przekonać  się,  czy  między  okładkami  kondensatora  płynie  prąd,  wystarczy  stwierdzić,
czy istnieje tam pole magnetyczne. Liczne doświadczenia wykazały, że rzeczywiście między
okładkami  kondensatora  powstaje  pole  magnetyczne  (linie  sił  tego  pola  są  okręgami,
podobnie jak linie pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem), przy czym pole to jest
wytwarzane  przez  kondensator  tylko  wtedy,  gdy  się  on  rozładowuje  lub  ładuje,  tzn.  gdy
zmienia się w czasie natężenie pola elektrycznego E kondensatora.
Wyrazimy  obecnie  natężenie  prądu  przesunięcia  jako  funkcję  szybkości  zmiany  natężenia
pola elektrycznego. Ładunek kondensatora zgodnie z wzorem wynosi: Q = ES. Różniczkując

ten wzór względem czasu, otrzymujemy:





Oznaczając :



oraz wiedząc,

że dES = d

D,S,

możemy zapisać





Jak widzimy z wzoru powyżej prąd

przesunięcia jest to po prostu szybkość zmian strumienia indukcji magnetycznej.
Korzystając z prądu uogólnionego , prawo Ampera możemy ostatecznie zapisać w postaci:













Równania  Maxwella    przedstawia    się  bądź  w    postaci    całkowej,    bądź  w  postaci
różniczkowej. Równaniem całkowymi Maxwella  są (już przez nas uprzednio wprowadzone)
następujące: •   uogólnione prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya,
•   uogólnione prawo przepływu prądów Ampera ,•   prawo Gaussa dla pola elektrycznego  i
•   prawo Gaussa dla pola  magnetycznego . W tabeli zestawiono wszystkie cztery równania
Maxwella  wraz  z  objaśnieniami,  jakich  zjawisk  one  dotyczą.  W  celu  uzyskaniu  pełnego
układu równań Maxwella należy do czterech ww. równań dołączyć jeszcze dwa podstawowe

związki między dwoma wektorami elektrycznymi i magnetycznymi:











Równania Maxwella stanowią fundamentalną podstawę teorii zjawisk
elektromagnetycznych, podobnie jak zasady dynamiki Newtona są podstawą mechaniki.

Lp.

Równanie

Nazwa

Fakty doświadczalne













uogólnione prawo indukcji
Faradaya

zmienne

pole

magnetyczne

wytwarza

wirowe

pole

elektryczne,

które

może

wywołać prąd elektryczny













uogólnione prawo przepływu
prądów Ampere 'a

prąd elektryczny lub zmienne
pole

elektryczne

wytwarza

wirowe pole magnetyczne











prawo Gaussa dla pola
elektrycznego

ładunek

wytwarza

pole

elektryczne o indukcji odwrotnie
proporcjonalnej do kwadratu
odległości











prawo Gaussa dla pola
magnetycznego

nie istnieje w przyrodzie ładunek
magnetyczny,

linie

indukcji

sąkrzywymi zamkniętymi