1. Wykazać   słuszność   postulatu   Einsteina   o   niezmienności   światła   w   próżni   w   różnych 

układach odniesienia.

S – nieruchomy układ odniesienia
S' – układ poruszający się

Zakładamy, że punkt materialny porusza się w  S'  z pewną prędkością  v

x'

=v, układ  S'  ma względem  

układu S prędkość u.
Z jaką prędkością porusza się punkt materialny względem S?

x '=v

x '

⋅

t '

 przesunięcie w kierunku osi 0X

→

x=

x 'u⋅t '



1−

u

2

c

2

, 

x=

v

x '

⋅

t ' u⋅t '



1−

u

2

c

2

czas zmierzony w układzie S (nieporuszającym się):

t=

t 'u⋅

v

x'

⋅

t '

c

2





1−

u

2

c

2

, 

v

x

=

x

t

=

v

x'

⋅

t 'u⋅t '



1−

u

2

c

2

⋅



1−

u

2

c

2

t 'u⋅

v

x

⋅

t '

c

2

=

t '⋅ v

x '



u

t ' 1

u⋅v

x

'

c

2



=

uv

x'

1

uv

x '

c

2

Załóżmy, że v

x'

=c, zatem:

v

x

=

uc

1

u⋅c

c

2

=

uc

1

u

c

=

c⋅

cu
cu

=

c

l

ub odwrotnie :

 

v

x '

=

c−u

1−

u⋅c

c

2

=

c−u

1−

u

c

=

c⋅

c−u
c−u

=

c

Z tych dwóch równań wynika, że prędkość światła jest niezależna w każdym układzie odniesienia.

2. Udowodnić Twierdzenie Steinera.

Twierdzenie Steinera  – moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi obrotu jest  
równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek 
masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu pomiędzy tymi dwoma osiami.

I =I

0



m⋅d

2

,

 gdzie I

0

 – moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy

m – masa bryły
d – odległość pomiędzy osiami

 

- gdzie 

∫

r⋅dm

określa odległość od środka masy, zatem=0

 

- iloczyn d

2

 i całkowitej masy bryły

- moment bezwładności I

0

zatem 

I =I

0



m⋅d

2

Δm

i

r

i

r

i'

d

d



2

⋅

∑

i=1

n



m

i

I =

∑

i=1

n



m

i



r



i '



2

=

∑

i =1

n



m

i



d





r



i



2

2 d



⋅

∑

i=1

n



m

i

r



i

I =

∑

i=1

n



m

i

⋅

r



i

2



∑

i=1

n



m

i

2 d



⋅

r



i



∑

i =1

n



m

i

d



2

I =

∑

i=1

n



m

i



r



i

⋅

r



i



2 d



⋅

r



i



d



⋅

d



=

∑

i=1

n



m

i



r



i

2



2 d



⋅

r



i



d



2



r



i '

=

d





r



i

∑

i=1

n



m

i

⋅

r



i

2

3. Wykazać, w której przemianie gazu doskonałego średnia prędkość cząstek gazu nie ulega 

zmianie.

Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej molekuł gazu. Jeżeli zmianie nie ulegnie prędkość 
cząsteczek, a masa gazu zostanie taka sama, to znaczy, że nie zmienia się E

k

 układu   

→

PRZEMIANA 

IZOTERMICZNA.

KINEMATYCZNO-MOLEKULARNA INTERPRETACJA TEMPERATURY

p=

1
3

⋅⋅

v

—

2

=

1
3

N
V

⋅

m⋅v

—

2

, ponieważ 

=

N⋅m

V

średnia energia kinetyczna molekuł -

 

E

—

k

=

m⋅v

—

2

2

, 

2 E

—

k

=

m⋅v

—

2

p=

2
3

N
V

⋅

E

—

k

, 

p⋅V =

2
3

N⋅E

—

k

(

pV =nRT =

N

N

A

RT =NkT

)

NkT =

2

3

N⋅E

—

k

kT =

2
3

⋅

E

—

k

T =

2
3

⋅

E

—

k

k

 im wyższa temperatura, tym wyższa energia wewnętrzna układu

→

4. Czy gaz doskonały wykonuje pracę rozprężając się adiabatycznie? Odpowiedź uzasadnij.

Przemiana adiabatyczna – proces termodynamiczny, podczas którego ciepło nie zostaje wymienione z 
otoczeniem (całość energii jest dostarczana [sprężanie] lub odbierana [rozprężanie] jako praca).

pV



=

const

, 

=

C

p

C

v

=



1



, 



- zależy od stopni swobody

C

p

 – ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

C

v

 – ciepło molowe przy stałej objętości

p

1

V

1



=

p

2

V

2



5. Jaka jest przyczyna zjawiska dyfuzji i czy jest ono odwracalne?

Dyfuzja   wywołana   jest   przez   chaotyczne   ruchy   i   zderzenia   cząsteczek   lub   atomów   substancji  
dyfundujących ze sobą (np. 2 gazów) lub substancji z otaczającym ją ośrodkiem.
Dyfuzja prowadzi do wyrównania stężeń, jednak jeżeli do tego dojdzie, nie spowoduje to zatrzymania 
dyfuzji – będzie ona jednak niezauważalna (stężenia będą już wyrównane).
Dyfuzja jest procesem nieodwracalnym.

6. Wykazać, że siły elektrostatyczne są siłami zachowawczymi.

Siły zachowawcze to takie siły, dla których praca po dowolnej drodze między dowolnymi punktami A i B 
nie zależy od przebytej drogi (krzywej toru, po którym porusza się ciało) i wyraża się przez zmianę  
energii potencjalnej ciała w trakcie ruchu od A do B. (Zależą od położenia A i B, nie od przebiegu drogi, 
toru czy też prędkości przemieszczania się ciał).
Siły elektrostatyczne są siłami zachowawczymi, bo zgodnie z Prawem Coulomba nie zależą od drogi  
pokonanej przez ładunki, ale jedynie od przesunięcia (odległości pomiędzy ładunkami).

F =

q⋅Q

r

2

7. Dlaczego linie sił pola elektrostatycznego nigdy się nie przecinają?

Pole elektryczne w każdym punkcie przestrzeni jest jednoznacznie określone przez wektor natężenia pola 
E. Wektor ten może mieć tylko jeden zwrot i kierunek w danym punkcie. Gdyby linie pola się przecinały, 
to w punkcie przecięcia wektor E (który jest styczny do linii pola) miałby dwa kierunki i zwrot co jest 
niemożliwe. 

8. W oparciu o Prawo Gaussa wyprowadzić wzór na pojemność kondensatora cylindrycznego o 

promieniach R

1

 i R

2

 oraz wysokości H.



0

⋅

r

⋅

∮

E⋅dS =

∑

q

, 



0

⋅

r

⋅

E⋅

∮

dS =Q

, 



0



r

⋅

E 2  r H =Q

E=

Q



0

⋅

r

⋅

2  r H

, 

E=−

dV

dr

, 

Q



0

⋅

r

⋅

2  r H

=−

dV

dr

V – różnica potencjałów pomiędzy okładkami kondensatora

C=

Q
V

, zatem: 

9. Definicja strumienia pola magnetycznego.

Strumień pola jest wielkością skalarną opisującą pole wektorowe i jego źródłowość.
Strumień   indukcji   magnetycznej   jest   strumieniem   pola   dla   indukcji   magnetycznej.   Dla   powierzchni  
płaskiej i jednorodnego pola magnetycznego wzór na strumień ma postać:

=

B



∘ S



=

B⋅S⋅cos 

, gdzie 



- kąt pomiędzy wektorami 

B



i 

S



Dla dowolnej powierzchni:

=

∮

B



∘ S



=

∮

B⋅dS⋅cos 

Strumień   indukcji   pola   magnetycznego   przyjmuje   wartość   maksymalną,   gdy   jest   prostopadły   do  
powierzchni, a najmniejszy (=0), gdy jest do niej równoległy.
Strumień pola przechodzący przez powierzchnię zamkniętą jest równy 0 (ilość strumieni „wchodzących” 
równa się ilości strumieni „wychodzących”, ponadto nie istnieją źródła pola magnetycznego w postaci  
pojedynczych biegunów magnetycznych).

10. W oparciu o zasadę Fermata wyprowadzić wzór na prawo odbicia.

ZASADA FERMATA – promień świetlny poruszający się z punktu P do punktu Q podąża zawsze drogą, 
na której przebycie potrzeba lokalnie ekstremalnego czasu (minimalnego lub maksymalnego).

droga punktu światła: 

l=



A

2



x

2





b

2



d −x 

2

t=

L
c

dL

dx

=

2x

2



a

2



x

2



2 d −x ⋅−1

2



b

2



d −x 

2

Liczymy ekstremum: 

x



a

2



x

2

=

d −x



b

2



d −x 

2

x

d-x

a

b

V =−

Q

2  

0



r

H

⋅

∫

R

1

R

2

1
r

dr =−

Q

2 

0



r

H

⋅[

ln r ]

R

1

R

2

=−

Q

2  

0



r

H

⋅

ln

R

2

R

2

C=

2 ⋅

0



r

codt H

ln

R

2

R

1

∫

dV =−

∫

Q

2 

0



r

Hr

dr

sin 

1

=

sin 

2

, 



1,



2

- kąty ostre, zatem: 



1

=

2

 

(II PRAWO ODBICIA)

I PRAWO ODBICIA – Promień padający, odbity i normalna prostopadła do płaszczyzny odbicia lezą w 
jednej płaszczyźnie
II PRAWO ODBICIA – kąt padania jest równy kątowi odbicia

11. Wartość wypadkowej siły zewnętrznej działającej na układ o zmiennej masie jest równy 

zero. Wykazać, co jest źródłem przyspieszenia ciała.

Z zasady zachowania pędu:
p

pocz.

=p

konc.

p

pocz

=

m

1

⋅

V

, 

gdzie m

1

 – masa początkowa układu, V – prędkość początkowa układu

p

konc.

=

m

1



dm

1

⋅

V dV −dm

1

⋅

u , 

gdzie dm

1

=m

konc

–m

pocz 

(masa „ubytku”), u –prędkość „ubytku”

Zauważmy, że 

V dV =V

wzgl



u

, 

gdzie V

wzgl 

– prędkość głównego ciała względem ubytku

Z tego wynika 

u=−V

wzgl



V dV

Wracając do wzorów na pęd otrzymujemy równanie:

m

1

⋅

V = m

1



dm

1



V dV −dm

1

⋅

u

Po wstawieniu otrzymanego wyżej u, to równanie upraszcza się do:

−

dm

1

⋅

V

wzgl

=

m

1

⋅

dV

/:dt

−

dm

1

dt

⋅

V

wzgl

=

m

1

⋅

dV

dt

gdzie 

dm

1

dt

=−

R

-szybkość „ubytku”, zmiany masy

dV

dt

=

a

 - przyspieszenie

Otrzymujemy równanie:

R⋅V

wzgl

=

m

1

⋅

a

, gdzie 

R⋅V

wzgl

=

T

- siła ciągu

a=

T

m

1

- stąd ciało otrzymuje przyspieszenie

12. Wykazać, że energia kinetyczna bryły sztywnej poruszającej się po okręgu nie zależy od osi 

obrotu.

Rozważmy bryłę sztywną poruszającą się z prędkością kątową 



wokół stałej osi.

i-ty element bryły ma prędkość 

v

i

=

r

i

⋅

, zatem jego energia kinetyczna wynosi: 

E

ki

=

m

i

v

I

2

2

E

ki

=

∑

i=1

n

m

i

v

i

2

2

=

∑

i=1

n

m

i

r

i

2



2

(ponieważ 

v

i

=

r

i

⋅

) 

zatem 

E

ki

=



2

2

∑

i =1

n

m

i

r

i

2

, gdzie 

∑

i=1

n

m

i

r

i

2

- moment bezwładności bryły sztywnej

E

ki

=

I⋅

2

2

- energia kinetyczna bryły sztywnej nie zależy od osi obrotu, a od prędkości kątowej i 

momentu bezwładności danej bryły

13. Kinetyczna i energetyczna interpretacja stopni swobody.

a) UJĘCIE KINETYCZNE – liczba stopni swobody – liczba niezależnych współrzędnych potrzebnych do 
określenia położenia drugiego ciała w przestrzeni
[i] – liczba stopni swobody.

 punkt materialny: na osi:i=1, na płaszczyźnie: i=2, w przestrzeni: i=3

→

 układ punktów materialnych: 

→

•

dwie cząstki sztywno ze sobą związane: i = 2*3 współrzędne – 1 równanie łączące= 5

•

trzy cząstki: i = 3*3 – 3 = 6

[6 – maksymalna liczba stopni swobody dla bryły sztywnej]

b) UJĘCIE ENERGETYCZNE
E

k

=E

k.post. 

+E

k.obrot.

E

k.post.

=

mv

2

2

=

m

2

⋅

v

x

2



v

y

2



v

z

2

=

mv

x

2

2



mv

y

2

2



mv

z

2

2

E

k.obrot.

=

I 

2

2

=

I

x



x

2

2



I

y



y

2

2



I

z



z

2

2

Liczba stopni swobody jest to ilość niezależnych sposobów gromadzenia energii kinetycznej.

E

k

=

mv

x

2

2



mv

y

2

2



mv

z

2

2



I

x



x

2

2



I

y



y

2

2



I

z



z

2

2

 cząstka porusza się względem osi 0X:  E

→

k.obrot.

=0, v

y

=0, v

z

=0, 

E

k

=

mv

x

2

2

, i=1

 cząstka porusza się po płaszczyźnie: Ek.obrot.=0, vz=0, 

→

E

k

=

mv

x

2

2



mv

y

2

2

, i=2

 2 połączone cząstki: i=5

→

 3 połączone cząstki: i=6

→

14. Mikroskopowa interpretacja ciśnienia.

m – masa gazu
N – liczba molekuł
m' – masa jednej molekuły

p=

F

S

=

F
l

2

F



=

∑

m'⋅a



a



x

=



v



x



t

, 



v

x

=

2v

x

, ponieważ 

∣

v



x

∣

=

∣

v



x

'

∣

-odbicie doskonale sprężyste



t=

2l
v

x

F =

∑

m'⋅

v

x

2

l

, 

a

x

=



v

x

t

=

2v

x

2l
v

x

=

v

x

2

l

F =

m'

l

⋅

∑

v

x

2

v

—

2

=

∑

v

x

2

N

=

v

1

2



v

2

2



...v

n

2

N

, gdzie 

∑

v

x

2

=

N⋅v

x

2

oraz 

F =

m'

l

⋅

∑

v

x

2

 

→

F =

m'

l

⋅

N⋅v

x

2

Z założeń gazu doskonałego wynika:

v

—

2

=

v

—

2

x



v

—

2

y



v

—

2

z

, 

v

—

2

x

=

v

—

2

y

=

v

—

2

z

, 

v

—

2

x

=

1
3

v

—

2

F =

m'⋅N

l

⋅

1
3

v

—

2

- siła z jaką molekuły działają na poszczególne ciało

p=

F

S

, 

p=

m '⋅N

3l

3

⋅

v

—

2

, gdzie l

3

 = V (objętość)

m'N = m (masa całkowita)

m

V

=

(gęstość)

zatem: 

p=

1
3

⋅

m

V

⋅

v

—

2

=

1
3

⋅⋅

v

—

2

15. Jeden mol powietrza pod ciśnieniem p i objętości V rozpręża się:

a) izobarycznie,
b) izotermicznie
do dwukrotnie większej objętości. Przy której przemianie wykonana została większa praca?

Wykonana praca:

W = p⋅ V

, gdzie p=const. – ciśnienie, 



V

 - 

zmiana objętości

a) PRZEMIANA IZOBARYCZNA

W =

∫

V

1

V

2

p dV = p⋅

∫

V

1

V

2

dV

, 

W = p⋅V

2

−

V

1

=

p⋅ 2V−V = pV

W = p⋅V =

nRT

V

⋅

V =nRT

b) PRZEMIANA IZOTERMICZNA

W =

∫

V

1

V

2

pdV =

∫

V

1

V

2

nRT

V

dV =nRT

∫

V

1

V

2

dV

V

=

nRT⋅ln

V

2

V

1

=

nRT⋅ln

2V

V

=

nRT⋅ln 2

ln 21

, zatem większa praca została wykonana w przypadku przemiany izobarycznej

16. Wyprowadź   zależność   współczynnika   tarcia   wewnętrznego   w   gazach   od   parametrów 

mikroskopowych gazu.

TARCIE WEWNĘTRZNE – tarcie międzycząsteczkowe substancji.
Przykład: dwie stykające się ze sobą warstwy gazu, poruszające się względem siebie z prędkością v.
Każda cząsteczka gazu uczestniczy jednocześnie w dwóch ruchach:

•

chaotycznym ruchu cieplnym ze średnią prędkością u

•

uporządkowanym ruchem warstwy z prędkością v

v ≪u

!!!

W wyniku tego ruchu cząsteczki stale przechodzą z jednej warstwy do drugiej, przekazując swój pęd 
cząsteczkom tej warstwy   szybsza warstwa jest hamowana, wolniejsza przyspiesza

→

współczynnik tarcia wewnętrznego: 

=

u⋅

 

3

, gdzie u – średnia prędkość ruchu cieplnego



- gęstość gazu,



- średnia droga swobodna (średnia droga 

swobodna jest tym mniejsza, im większe ciśnie- 
nie gazu [większa gęstość], więc lepkość nie za-
leży od ciśnienia, tylko od temperatury)

17. Jaką pracę wykonuje siła, z którą pole magnetyczne o indukcji B oddziaływuje na cząstkę o 

ładunku q poruszającą się z prędkością V prostopadłą do wektora indukcji B?

Nie zostaje wykonana żadna praca, ponieważ nie zmienia się energia kinetyczna cząstki.

18. W   oparciu   o   prawo   Biota-Savarta   wyprowadzić   zależność   wartości   indukcji   pola 

magnetycznego   od   odległości   od   nieskończonego   przewodnika,   w   którym   płynie   prąd   o 
natężeniu I.

PRAWO BIOTA-SAVARTA:

dB



=

0

⋅

r

⋅

I dl



x r



4  r

3

dH



=

I dl



x r



4 r

3

, 

B



=

0

⋅

r

⋅

H



dB



=

0

⋅

r

⋅

I dl

4 r

2

⋅

sin 

dH



=

I dl

4 r

2

⋅

sin 

, 

=∢

dl



, r





a

r

=

sin  , 

l

a

=

ctg  ,  r=

a

sin 

l=a⋅ctg 

,  l= f 

 

19.  W oparciu o zasadę prac wirtualnych wyjaśnić zasadę działania podnośnika śrubowego.

Istnieją dwie zasady prac wirtualnych:

  zasada  o  pracy  rzeczywistych obciążeń na  wirtualnych przemieszczeniach

→

: rzeczywiste  

obciążenia   wykonują   pracę   na   wirtualnych   przemieszczeniach   równą   pracy   uogólnionych   sił  
przekrojowych na wirtualnych odkształceniach.

  zasada   o   wirtualnych   obciążeniach   na   rzeczywistych   przemieszczeniach

→

:   praca  

zewnętrznych   sił   wirtualnych   na   rzeczywistych   przemieszczeniach   jest   równa   pracy   wirtualnych   sił  
przekrojowych na rzeczywistych odkształceniach.
Upraszczając – zakładamy, że konstrukcja ulegnie przesunięciu, by móc skorzystać z zasady zachowania 
energii.
Generalnie zasadę prac wirtualnych wykorzystuje się w mechanice budowli, można jednak ją wykorzystać 
do wyjaśnienia działania prasy śrubowej/podnośnika śrubowego:

 Załóżmy, że rączka o długości 50cm służy do obracania śruby o skoku gwintu 2,5mm(cztery obroty na 

→
jeden cm). 
Z jaką siłą należy działać, aby podnieść ciężar 1000kg? 
Podczas jednego obrotu koniec rączki przebędzie drogę równą ok. 3,14m. Zatem, aby podnieść tonę na 
2,5cm musimy dokonać 10 (2,5 x 4) obrotów śruby i koniec rączki musi przebyć drogę 31,4m. Jeśli siła, z 
którą działamy na koniec rączki pochodzi – za pośrednictwem bloczków – od zawieszonego ciężarka  i 

α

r

I

A

l

dl

a

l ' =

dl

d 

=

−

a

sin

2



B=

−

0



r

⋅

I

4  a

⋅−

1−1=



0



r

⋅

I

2  a

∫

dB=

−

0



r

⋅

I

4  a

∫

sin  d =

−

0



r

⋅

I

4 a

∫

0



sin  d =

−

0



r

⋅

I

4 a

⋅[

cos]

0



dB=

−

0



r

⋅

Id ⋅sin 

4  r

2

⋅

sin

2



=

−

0



r

⋅

Id 

4 

a

2

sin

2



⋅

sin 

=

−

0



r

I⋅a⋅sin  d 
4  a

2

=

−

0



r

⋅

I d  sin 

4 a

równa jest jego ciężarowi W , to przy podnoszeniu tony o 2,5cm ciężarek opadnie o 31,4m. Obliczamy 
stąd, że W wynosi ok. 0,8kg (Podnieśliśmy 1000kg na wysokość 2,5 cm jednocześnie obniżając ciężar W 

o 31,4m, czyli 3140 cm.   

→

2,5 cm

3140cm

⋅

1000kg

⁓ 0,796 kg

) .

20.  Wyprowadzić wzór na siłę działającą na przewodnik o długości L, w którym płynie prąd o 

natężeniu I umieszczonym w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B.

W przewodniku cały ładunek to:

q=n⋅e

Prąd, jaki popłynie: 

I =

q

t

, czyli 

I =

n⋅e

t

Na każdy elektron działa siła Lorentza: 

F⋅L=e⋅V⋅B

, gdzie V – średnia prędkość elektronu

Na cały przewodnik działa n sil Lorentza, czyli 

F =n⋅FL

Zatem:

F =q⋅V⋅B

 

i 

q=I⋅t

F =I⋅t⋅V⋅B

 

(

t⋅V =l

- długość przewodnika)

F =I⋅l⋅B

21. Czym różni się zachowanie paramagnetyka od zachowania dimagnetyka w zewnętrznym 

polu magnetycznym?

Paramagnetyki   

→



r



1

(wciągnięcie do pola, np. tlen, aluminium)

Dimagnetyki   

→



r



1

(wypchnięcie z pola, np. miedź, ołów)

22. Na   czym   polega   zjawisko   całkowitego   zewnętrznego   odbicia   i   gdzie   jest   ono 

wykorzystywane?

Jest   to   zjawisko   fizyczne   zachodzące   dla   fal,   występujące   na   granicy   ośrodków   o   różnych  
współczynnikach załamania. Polega ono na tym, że światło padające na granicę od strony ośrodka o  
wyższym współczynniku załamania pod kątem większym niż kąt graniczny, nie przechodzi do drugiego 
ośrodka, lecz ulega całkowitemu odbiciu.
Zjawisko to wykorzystywane jest w światłowodach i pryzmatach.

23. Wyprowadzić   wzór   na   częstotliwości   harmoniczne   występujące   w   piszczałce   organowej 

obustronnie otwartej o długości L. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi u.

L=

s

=

1
2

⋅

b

, gdzie 



s

- dla fali stojącej, 



b

- dla fali biegnącej

W piszczałce może być n fal stojących, czyli:

L=n⋅

1
2

⋅

=

V⋅T =V⋅

1

f



, więc 

L=

1
2

⋅

n⋅V⋅

1

f

Z tego wiadomo, że 

f =

n⋅V

2L

24. Ładunek Q  rozmieszczono   na   przewodniku w  kształcie  sześcianu  o  boku a.  Czy  gęstość 

powierzchniowa ładunku będzie taka sama na całej powierzchni sześcianu?

Największa gęstość powierzchniowa będzie na krawędziach sześcianu.

 

25. W oparciu o doświadczenie Michelsona – Marleya wyprowadzić wzór na dylatacje czasu.

 gdyby aparatura pozostawała w spoczynku względem 

→
eteru, czasy przejścia wiązek od zwierciadeł do  interfero- 
metru byłyby równe

t

1

 – czas przebiegu od B do C

t

2

 – czas powrotu

c⋅t

1

=

Lu⋅t

1

, 

t

1

=

L

c−u

c⋅t

2

=

L−u⋅t

2

, 

t

2

=

L

uc

czas całkowity: 

t

1



t

2

=

2L⋅c

c

2

−

u

2

t

1



t

2

=

2

L
c

1−

u

2

c

2

*

t

3

 – czas przebiegu światła od B do E



c⋅t

3



2

=

L

2



u⋅t

3



2

L

2

=

c

2

⋅

t

3

2

−

u

2

⋅

t

3

2

=

t

3

2



c

2

−

u

2



t

3

=

L



c

2

−

u

2

t

4

 – czas powrotu   odległość taka sama, więc 

→

t

4 

= t

3

, a czas całkowity wynosi 2t

3

 

2t

3

=

2L



c

2

−

u

2

=

2

L

C



1−

u

2

c

2

*'

Czas (*) jest krótszy niż ten w (*'), mimo że zarówno C, jak i E są w tej samej odległości od B. W  
doświadczeniu nie wykryto jednak różnic czasu.

 

→

skrócenie Lorentza (skrócenie ciał zachodzące jedynie w kierunku ruchu)

L

I

=

L

0

⋅



1−

u

2

c

2

t

1



t

2

=

2

L
c

⋅



1−

u

2

c

2

1−

u

2

c

2

=

2

L
c



1−

u

2

c

2

=

2t

3

Metoda skrócenia jest w porządku, należy jeszcze jednak zmodyfikować czasy w sposób podany w  
równaniach:

x '=

x−ut



1−

u

2

c

2

, 

y ' = y

, 

z '=z

, 

t '=

t−

ux

c

2



1−

u

2

c

2

(jest to konieczne, ponieważ czas t

3

 obliczony dla drogi od B do E i z powrotem jest inny, gdy oblicza go 

człowiek wykonujący doświadczenie w poruszającym się układzie, a inny dla nieruchomego obserwatora)

poruszający się   

→

2

L
c

, nieruchomy   

→

2

L
c



1−

u

2

c

2

,  1 sek. dla obserwatora wewnątrz poruszającego się 

z prędkością u układu to 

1



1−

u

2

c

2

 sek. dla nieruchomego obserwatora.

26. Ile razy ciepło molowe gazu przy stałej objętości jest mniejsze od ciepła molowego gazu 

pod stałym ciśnieniem?

C

v

 – ciepło molowe przy stałej objętości (C

v

=C

p

-R)

C

p

 – ciepło molowe przy stałym ciśnieniu (C

p

=C

v

+R)

C

p

C

v

=

, dla cząsteczek: jednoatomowych: 

=

R⋅

3
5

, dwuatomowych 

=

R⋅

5
7

, 

 trzyatomowych

=

R⋅

3
4

27. Jaka jest przyczyna występowania zjawiska przewodnictwa cieplnego?

Przewodnictwo   cieplne   polega   na   przekazywaniu   energii   kinetycznej   cząsteczek   z   ciał/substancji   o  
wyższej temperaturze do ciał/substancji o niższej temperaturze.
Ciała/subst. o wyższej temperaturze mają cząsteczki o wyższej średniej prędkości. Podczas zetknięcia się 
z ciałem/subst. o niższej temperaturze – a zarazem niższej średniej prędkości cząsteczek – przekazują 
energię kinetyczną. Przez to ciała o wyższej temperaturze początkowej oziębiają się, a ciała o niższej 
temperaturze ulegają ociepleniu.

28. Jakie powierzchnie nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi?

Powierzchnie w polu potencjalnym, w którym wszystkie punkty mają jednakowy potencjał.
Powierzchnie potencjalne określa się dla wszystkich pól potencjalnych (np. pola elektrostatycznego,  
grawitacyjnego). Powierzchnie ekwipotencjalne są w każdym punkcie pola prostopadłe do wektora siły, 
czyli do linii natężenia pola.

29. W   oparciu   o   prawo   Gaussa   wyprowadzić   wzór   na   pojemność   kondensatora   kulistego   o 

promieniu okładek R

1

 i R

2

.

U =−

∫

R

1

R

2

E dr=−

∫

R

1

R

2

Q

4  r

2



0

dr =−

Q

4 r

2



0

∫

R

1

R

2

dr

r

2

=

Q

4  r

2



0



1

R

2

−

1

R

1



C=

Q

U

, 

C=

4 r

2



0



1

R

2

−

1

R

1



30. Warunek powstania siły elektromotorycznej indukcji.

Warunkiem   powstania   SEM   w   obwodzie   elektrycznym   jest   zmiana   w   czasie   strumienia  
magnetycznego przenikającego przez ten obwód.

Wartość SEM zależy od szybkości tych zmian w czasie: 

(Prawo Faradaya)

31. W oparciu o zasadę Fermata wyprowadzić wzór na prawo załamania światła.

(zasada Fermata   pyt. 10)

→

Światło biegnie z punktu A do punktu B, chcemy znaleźć krzywą, po której się porusza.

=−

 



t

Są   2   ośrodki   optyczne   o   współczynnikach   załamania  n

1

  i  n

2

,   prędkość   światła   w   każdym   z   tych  

ośrodków: 

v

1

=

c

n

1

, 

v

2

=

c

n

2

.

x – miejsce, w którym światło przechodzi przez granicę 
ośrodków 

czas potrzebny na przebycie tej drogi:

t  x =



x

2

−

h

1

2

v

1





h

2

2



a

2

−

x

2



2

v

2

a – odległość pomiędzy A i B mierzona w poziomie

dt  x 

dx

=

0

<=> 

x

v

1

⋅



x

2



h

1

2



−

a− x

v

2

⋅



h

2

2



a− x

2

=

0

x

v

1

⋅



x

2



h

1

2

=



a− x

v

2

⋅



h

2

2



a− x

2

v

1

2

=

−

x



h

1

2



x

2

a− x

h

2

2



a−x 

2

, 

v

1

v

2

=

sin 

sin 

, zatem: 

v

1

v

2

=

n

2

n

1

=

sin 
sin 

32. Jakie   zjawisko   nazywamy   rezonansem   i   jaki  warunek   musi   być   spełniony,  aby   wystąpił 

rezonans?

Rezonansem nazywamy zjawisko polegające na przepływie energii pomiędzy dwoma lub większą ilością 
układów drgających. Warunkami koniecznymi wystąpienia rezonansu są:

 jednakowa lub bardzo zbliżona częstotliwość drgań do drgań własnych układu

→

 istnienie mechanicznego połączenia między układami

→

33. Kondensator   naładowano   za   pomocą   baterii,   którą   następnie   odłączono.   Między   okładki 

kondensatora   wsunięto   dielektryk.   Co   się   dzieje   z   ładunkiem,   pojemnością,   różnicą 
potencjałów i energią kondensatora?

 ładunek: 

→

Q=const.

 pojemność: 

→

C

1

=



0

⋅

S

d

, 

C

2

=



0

⋅

r

⋅

S

d

=

r

⋅

C

1

- wzrost pojemności

 różnica potencjałów (napięcie): 

→

U

1

=

Q

C

1

=

Q⋅d


0

⋅

S

, 

U

2

=

Q

C

2

=

Q⋅d



0

⋅

r

⋅

S

=

U

1



r

- spadek napięcia

 energia: 

→

W

1

=

Q⋅U

1

2

, 

W

2

=

Q⋅U

2

2

=

Q⋅U

1

2 

r

 - spadek energii 

 natężenie: 

→

E

1

=

U

1

d

, 

E

2

=

U

2

d

=

U

1

d⋅

r

- spadek natężenia

34. Dwie identyczne kulki znajdujące się w odległości r od siebie   naładowano identycznymi 

ładunkami Q. Czy zmieni się wielkość oddziaływania, jeżeli część ładunku przeniesiemy z 
pierwszej kulki na drugą?

Q – ładunek początkowy, r – odległość między kulkami, q – część przeniesionego ładunku

I.

F

1

=

Q⋅Q

r

2

⋅

k =

Q

2

r

2

⋅

k

II. F

2

=



Q−qQq

r

2

⋅

k=

Q

2

−

q

2

r

2

⋅

k

- zmniejszy się siła Coulomba działająca na kulki (zmiana wartości o kwadrat przeniesionego ładunku q

2

)





x

a-x

h

1

h

2

35. Jaki jest mechanizm powstawania płaskiej fali elektromagnetycznej? Metody polaryzacji.

Powstanie fali elektromagnetycznej – zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje wirowe pole 
elektryczne i na odwrót – zmienne w czasie pole elektryczne indukuje wirowe pole magnetyczne. Ciąg 
tych wzajemnie sprzężonych pól nzw. falą elektromagnetyczną.
Jest to fala poprzeczna, w której składowa elektryczna i magnetyczna są prostopadłe do siebie, a obie są 
prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali.

Fala płaska  – w idealnym jednorodnym dielektryku nie występują swobodne ładunki, a parametry  
elektryczne   nie   zależą   od   współrzędnych   punktu   obserwacji.   W   takim   przypadku   można   znaleźć  
rozwiązanie równania falowego, które zależy wyłącznie od współrzędnej wzdłuż jednego kierunku (0X) i 
jest niezmienna w każdej płaszczyźnie Y0Z, prostopadłej do tego kierunku. W takim przypadku mamy do 
czynienia z płaską falą elektromagnetyczną.

Polaryzacja fali – zjawisko polaryzacji dotyczy wyłącznie fal poprzecznych i polega na uporządkowaniu 
drgań ośrodka (fala spolaryzowana oscyluje tylko w wybranym kierunku).
Polaryzacja fali elektromagnetycznej – związana z wektorem pola elektrycznego.
Metody polaryzacji:

 załamanie

→

 odbicie

→

 rozpraszanie

→

 selektywne pochłanianie

→

36. Zbiornik wypełniony jest mieszaniną wodoru i azotu o temperaturze T. Cząsteczki którego 

gazu mają większą energię kinetyczną?

Oba gazy mają taką samą energię kinetyczną – energia kinetyczna gazu zależy od ilości stopni swobody (

E

k

=

i

2

⋅

kT

), a cząsteczki wodoru i azotu występują w postaci N

2

 i H

2

 (5 stopni swobody).

37. Wyprowadzenie wzoru E=mc

2

.

mechanika Newtonowska →

p



=

m⋅v



, 

E

k

=

p

2

2m

=

mv

2

2

, 

F =

d p



dt

masa ciała zmienia się wraz z jego prędkością: 

m=

m

0



1−

v

2

c

2

ruch ciała o zmiennej masie: 

p



=

m⋅v



=

m

0



1−

v

2

c

2

⋅

v



F



=

d p



dt

=

dm

dt



d v



dt

⋅

m

wykonana praca 

W =E

k

=

∫

Fdx=

∫



dm

dt

⋅

v

dv

dt

⋅

mdx=

∫



dm

dt

⋅

v dx 

∫



dv

dt

⋅

m dx

W =

∫

v⋅

dx

dt

⋅

dm

∫

m⋅dv⋅

dx

dt

=

∫

v

2

dm

∫

mv dv

przekształcenia masy:

m=

m

0



1−

v

2

c

2

→

m

2

=

m

0

2

1−

v

2

c

2

 

→

m

2

−

m

2

⋅

v

2

c

2

=

m

0

2

 

→

m

2

−

m

0

2

m

2

=

v

2

c

2

 

→

v

2

=

c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

f

1



v =v

2

, 

f

2



m=c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

f

1

=

f

2

df

1



v

dv

=

2v

 

→

df

1



v =2v dv

df

2



m

dm

=

c

2

2 m⋅m

2

−

2 mm

2

−

m

0

2



m

4

=

c

2

2 m

0

2

m

3

=

m

0

2

c

2

m

2

⋅−

2

m



→

df

2



m=

2 c

2

m

0

2

m

3

dm

skoro 

v

2

=

c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

, to 

df

1



v =df

2



m

 

→

c

2

m

0

2

m

3

dm=v dv

 

E=

∫

c

2

dm=c

2

∫

dm

 

→

E=mc

2

38. Wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności:

a) pręta jednorodnego
b) obręczy
c) walca jednorodnego

a) Pręt jednorodny 
m – masa pręta, l – długość pręta 

I =

∫

r

2

dm=

¿

  

b) Obręcz
R – promień obręczy, m – masa obręczy

I =

∫

R

2

dm=R

2

∫

dm=R

2

⋅

m

c) Walec jednorodny

m – masa, R – promień podstawy, h – wysokość, 

=

m



R

2

h

- gęstość walca

pochodna objętości   

→

dV =2 r h dr

I =∈r

2

dV =

∫

r

2

2  r h dr =2   h

∫

0

R

r

3

dr =2 

m



R

2

h

h⋅[

1
4

r

4

]

0

R

=

2m

R

2

⋅

1
4

R

4

=

1
2

mR

2

39. Więzy. Siły reakcji więzów.

Więzami nazywamy czynniki ograniczające ruch ciała, natomiast siłami reakcji więzów siły, z jakimi więzy 
oddziaływują na ciała.
Więzy gładkie – umownie oznaczają gładką powierzchnię, po której rozważane ciało może się poruszać 
bez   tarcia.   Powierzchnia   odpowiadająca   nie   wywiera   na   ciało   siły   w   kierunku   ruchu   ciała.   Działa 
prostopadle do powierzchni, po której porusza się ciało.

E=

∫

m⋅

m

0

2

c

2

m

3

dm

∫

c

2

m

2

−

m

0

2

m

2

dm=

∫

m

0

2

c

2

m

2

dm

∫

c

2

−

m

0

2

c

2

m

2

dm=

∫

m

0

2

c

2

m

2

dm

∫

c

2

dm−

∫

m

0

2

c

2

m

2

dm

dm=

m⋅dr

l

 m – l
dm – dr

I =

∫

r

2

m

l

dr=

m

l

∫

1
2

l

− 1

2

l

r

2

dr =

m

l

[

1
3

r

3

]

− 1

2

l

1
2

l

=

m

l

[

1
3

⋅

1
2

l

3

−

1
3

⋅−

1

2

l

3

]=

m

3l



l

3

8



l

3

8

=

1

12

ml

2