Wzór skróconego mnożenia

a dziedzina funkcji 

(dla humanów :D)

(nie podawaj dalej :<, nie pokazuj sposobu nikomu innego :<)

Wzór skróconego mnożenia w wyniku będzie przyjmował postać:

x

2

 (znak + lub -) x(liczba) + (inna liczba)

Czyli np.:

x

2

 – 2x + 1

Oczywiście mogą być poukładane inaczej, np.: 16+8x+x

2

. 

Wtedy koniecznie 

układamy je w porządku 

 

 wg wzoru x

 

 

2

   (znak + lub -) x(liczba) + (inna liczba)!

 

 

Czyli w tym przypadku: x

2

+8x+16. Bardzo ważne, aby nie pomylić znaków + i -!

Jak wyciągamy taki wzór? Spróbujmy zrobić to na powyższych przykładach:

x

2

        –  2x    +  1

Czyli nasz wzór w postaci pierwotnej to (x-1)

2

.

x

2

+

8x+16 przyjmie postać (x

+

√16)

2

, czyli (x+4)

2

.

Sprawdźmy, czy wyniki są poprawne:
(x-1)

2

=(x-1)(x-1)=x*x+x*-1-1*x-1*(-1)=x

2

+(-x)+(-x)-(-1)=x  

2

  -2x+1

 

 

(x+4)

2

=(x+4)(x+4)=x*x+x*4+4*x+4*4=x

2

+4x+4x+16=x  

2

  +8x+16

 

 

Metoda się sprawdza :)

x2

(znak + lub -)

x(liczba)

(inna liczba)

bierzemy x z x(liczba) 

bierzemy znak

pierwiastkujemy liczbę

wynik zamykamy w nawias i podnosimy do kwadratu

Wzór skróconego mnożenia a dziedzina:
zrobimy przykład z zadania 7b na s. 100 w podręczniku (wyznaczymy tylko 
dziedzinę).
Wyznaczamy dziedzinę, interesuje więc nas tylko mianownik, który ma postać:
x

2

-4x+4 → uporządkowany wzór skróconego mnożenia, z którego wyciągamy 

pierwotną postać tj. (x-2)

2

. Zauważmy, że w mianowniku nie może zaistnieć jedynie 

0, ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne. Cokolwiek podniesiemy do 
potęgi drugiej, zawsze będzie miało jakąś wartość oprócz 0. Wniosek: cały nawias 
musi się równać 0.
Rozwiązanie jest proste: f(x)=R\{2}, bo tylko 2 jako x da nam nawias równy 0 (2-
2=0).

Inne przykłady z tego zadania mogą wydawać się bardziej intrygujące, ale są równie 
proste.
PRZYKŁAD A: gotowe wzory skróconego mnożenia. Jeśli jakąkolwiek liczbę 
pomnożymy przez 0, wynik będzie równy 0. Wniosek: trzeba odrzucić dwie liczby, 
po jednej dla każdego nawiasu, tak, aby żaden nie był równy 0.
Rozwiązaniem jest: f(x)=R\{-2,1} – z 1 dla pierwszego nawiasu ( (x-1)

2

 ) i -2 dla 

drugiego nawiasu ( (x+2)

2

 ), z tym, że elementy w klamrze porządkujemy.

Pod żadnym pozorem nie mnóżcie dwóch nawiasów! (czyli nie próbujcie odnaleźć x 
poprzez wymnożenie (x-1)(x-1)(x+2)(x+2))
PRZYKŁAD C: to samo: cokolwiek mnożone przez zero da nam zero. Tym razem 
zamiast nawiasu, jak w przykładzie a, mamy po prostu x – czyli x≠0, natomiast 
musimy wyciągnąć wzór skróconego mnożenia, aby wiedzieć, jaka druga liczba nie 
należy do dziedziny. Otrzymujemy (x+3)

2

, czyli tą liczbą nie jest -3. Naszym 

rozwiązaniem jest więc f(x)=R\{-3,0}.
Tak samo: nie wyciągajcie x przez mnożenie go przez nawias! Czyli ni wykonujcie 
działania x*(x

 

 

2

  +6x+9).

 

 

PRZYKŁAD D: teraz zmyłka – pierwszy nawias nie jest wynikiem z wzoru 
skróconego mnożenia! Zauważcie, że (x

2

+4) ≠ (x+4)

2

. Zasada jak przy poprzednich: 

żaden nawias nie może mieć wartości 0, bowiem cokolwiek mnożone przez zero da 
nam 0. Pierwszy nawias nie wyklucza żadnego wyniku, bowiem liczba podniesiona 
do kwadratu da nam liczbę dodatnią. Nawias pierwszy zawsze będzie miał wartość 
różną od zera. Nawet gdy x=0 to (0

2

+4)=4. Nie zawsze tak jest: gdyby w nawiasie 

była liczba ujemna, czyli zamiast +4 było -4, to wtedy x≠2, ponieważ (2

2

-4)=0. Z 

kolei drugi nawias to wzór skróconego mnożenia, gdzie cały nawias przyjmuje 
wartość 0, gdy pod x podstawimy -4. Wobec tych faktów f(x)=R\{-4}.

To zadania na piątkę, ale – jak widzicie – z przedstawionym na poprzedniej stronie sposobem 
są bardzo proste :)
Jeśli macie jakieś pytania, chętnie na nie odpowiem.

\ to poprawny zapis odejmowania w przypadku zbiorów

 (pani pisze -, ale wg mojego 

korepetytora-miszcza, który właściwie najpierw wytłumaczył mi to wszystko, a potem ja 
Wam, a więc mu powinniście dziękować ;), to niepoprawny zapis :( )
Sorry za literówki i składnię ;)
POLECAM SIĘ NA PRZYSZŁOŚĆ :D