Matematyka A, kolokwium, 30 listopada 2010, 18:05 – 19:59:59

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem

pisza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej

´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy roz-

rusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia,

kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Obliczy´c pochodne naste

,

puja

,

cych funkcji:

a. (3 pt.) tg ln(2x)

,

b. (4 pt.)

3

q

x+4

x

2

−x+4

c. (3 pt). y = (2 + sin x)

1/x

.

2. (4 pt.) Niech f (x) =

p

(x + a)

2

+ x

2

− 9 −

p

(x − a)

2

+ x

2

− 9 . Znale´z´c taka

,

liczbe

,

a > 0 , ˙ze dla ka˙zdego x > 3 zachodzi r´owno´s´c f

0

(x) = 0 .

(2 pt.) Niech P be

,

dzie punktem le˙za

,

cym na wykresie funkcji y =

√

x

2

− 9 , kt´orego

pierwsza

,

wsp´o lrze

,

dna

,

jest liczba 5 . Znale´z´c r´ownanie prostej τ

P

stycznej do

wykresu funkcji y =

√

x

2

− 9 w punkcie P .

(4 pt.) Niech F

r

= (3

√

2, 0) , F

`

= (−3

√

2, 0) . Dowie´s´c, ˙ze dwusieczna

,

ka

,

ta F

`

P F

r

jest prosta τ

P

.

3. (4 pt.) Niech f (x) = x

3

− x dla x ∈ [−1, 2] (poza przedzia lem [−1, 2] funkcja nie

jest zdefiniowana). Niech A = − 1, f (−1)

, B = 2, f (2)

, X = x, f (x)

.

Wyrazi´c pole tr´ojka

,

ta AXB wzorem, w zale˙zno´sci od x .

(6 pt.) Dla jakiego x ∈ [−1, 2] pole tr´ojka

,

ta AXB jest najwie

,

ksze?

4. (3 pt.) Poda´c definicje

,

pochodnej funkcji f w punkcie p .

(7 pt.) Obliczy´c f (1) oraz pochodna

,

f

0

(1) , je´sli

f (x) = ln x · sin

πx

2

· (1 + ln x)

3

· tg

11 πx

4

· log

10



190 + (2 + x

11

)

4

+ (x

30

+ 8)

3



.

5. (3 pt.) Sformu lowa´c twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej.

(3 pt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli y > x > 1000 , to 0 < ln y − ln x <

y−x

1000

.

(4 pt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli y > x > 1000 , to

1999(y − x) <

1
y

(1 + y

2

)

3/2

−

1

x

(1 + x

2

)

3/2

< 2000(y − x) .

Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´c):

sin(3x

2

)

0

= 6x cos(3x

2

) , ln x = ln x − ln 1 ,

ln(cos x)

0

= − tg x .