Potencjał elektryczny 

1a. Elektryczna energia potencjalna 

Siła elektrostatyczna jest siłą zachowawczą. 
 
Układowi możemy przypisać 

elektryczną 

energię potencjalną E

p

. 

 
Elektryczną energię potencjalną uważa się za 
rodzaj energii mechanicznej.  
Jeśli w układzie izolowanym działają tylko siły 
zachowawcze, to energia mechaniczna układu 
jest zachowana. 

1b. Elektryczna energia potencjalna 

Jeśli siła elektrostatyczna działa  w jakimś układzie cząstek między dwiema lub 
większą liczbą cząstek naładowanych, to możemy przypisać układowi 
elektryczną energię potencjalną E

p

.

 

 
Jeśli układ zmienia swoją konfigurację ze stanu początkowego do innego stanu 
końcowego, to siła elektrostatyczna wykonuje pracę W nad cząstkami. 
Odpowiadająca temu procesowi zmiana 



E

p 

energii potencjalnej spełnia 

zależność:

 

 
 
Tak, jak dla innych sił zachowawczych, praca wykonana przez siły 
elektrostatyczne jest niezależna od toru cząstek. 
 
Zwykle jako konfigurację odniesienia układu cząstek naładowanych wybieramy 
taką, w której cząstki są nieskończenie od siebie oddalone. Przyjmujemy też, że 
energia potencjalna odniesienia jest równa zeru. Wówczas: 
 



E

p

= E

p końc

 – E

p pocz

= – W 

E

p

= – W



 

2a. 

Potencjał elektryczny: 

Energia potencjalna na jednostkowy ładunek w wybranym punkcie pola elektrycznego nosi 
nazwę potencjału elektrycznego V (lub po prostu potencjału) w tym punkcie. Stąd: 

 

 
 
Różnica potencjałów elektrycznych 



V między dwoma punktami początkowym i końcowym 

w polu elektrycznym jest równa różnicy energii potencjalnej na jednostkowy ładunek między 
tymi dwoma punktami: 
 
 

W – praca wykonana przez siłę elektrostatyczną, przy przesunięciu jednostkowego ładunku z jednego 
punktu do drugiego. 

 
Jeśli przyjmiemy E

p pocz

 =0 w nieskończoności jako naszą energię potencjalną odniesienia, to 

potencjał elektryczny V musi tam być też równy zero. Wówczas, potencjał elektryczny V w 
dowolnym punkcie pola elektrycznego definiujemy wzorem: 
 

 
 

W

∞

 - praca wykonana przez pole elektryczne nad cząstką naładowaną, gdy cząstka przesuwa się z 

nieskończoności do punktu końcowego. 

 
Jednostką potencjału w układzie SI jest dżul na kulomb (wolt – V):  
 

(potencjał elektryczny jest skalarem) 

(definicja różnicy potencjałów) 

(definicja potencjału) 

1 wolt = 1 dżul na kulomb 

2b. Potencjał elektryczny: jednostki 

Jednostka wolt pozwala przyjąć inną jednostkę natężenia pola 
elektrycznego E: 
 
 
 
 
Możemy teraz zdefiniować jednostkę energii, która jest wygodna 
do pomiarów energii w obszarze atomowym i subatomowym: 
Jeden elektronowolt (eV) jest energią równą pracy, potrzebnej do 
przesunięcia pojedynczego ładunku elementarnego e (np. elektronu 
czy protonu) między punktami o różnicy potencjałów równej 
jednemu woltowi. Wartość tej pracy wynosi q



V, czyli:  

2c. 

Potencjał elektryczny: praca wykonana przez siłę zewnętrzną 

Jeśli cząstka o ładunku q jest przesuwana z punktu początkowego do punktu 
końcowego w polu elektrycznym, działając na nią siłą, zastosowana siłą wykonuje 
pracę W

p 

nad ładunkiem, a pole elektryczne wykonuje nad nim pracę W. Zmiana 

energii kinetycznej cząstki wynosi: 
 
 
Jeśli cząstka spoczywa przed wprawieniem w ruch i po jej zatrzymaniu, wówczas 
E

k końc 

i E

k pocz 

są równe zeru: 

 
 
Wiążąc pracę wykonaną przez przyłożoną siłę ze zmianą energii potencjalnej 
cząstki podczas ruchu, otrzymujemy:  
 
 
Możemy również powiązać W

p

 z różnicą potencjałów elektrycznych 



V między 

początkowym i końcowym położeniem cząstki: 



E

k

= E

k końc

-E

k pocz

= W

p

+W 

W

p

= - W 



E

p

= E

p końc

-E

p pocz

= W

p

 

W

p

= q



V 

3a. Powierzchnie ekwipotencjalne: 

Sąsiadujące ze sobą punkty, które mają taki sam potencjał elektryczny, tworzą 
powierzchnię ekwipotencjalną (wyobrażoną albo rzeczywistą powierzchnią fizyczną).  
Jeśli cząstka porusza się między dwoma punktami (początkowym i końcowym) po tej 
samej powierzchni ekwipotencjalnej, to pole elektryczne nie wykonuje żadnej pracy W. 

(praca na torach I i II jest równa zeru – każdy z tych 
torów zaczyna się i kończy na tej samej powierzchni 
ekwipotencjalnej; 
praca na torach III i IV ma taką samą wartość – 
początkowe i końcowe potencjały są identyczne dla 
tych dwóch torów; tory te łączą tę samą parę 
powierzchni ekwipotencjalnych) 
 

3b. Powierzchnie ekwipotencjalne: 

4. Obliczanie potencjału na podstawie natężenia pola: 

Dla sytuacji z rys. 25.5: 
 
 
Całkowita praca:  

 
 
 
 
 

Zatem różnica potencjałów V

f

 -V

i

 między dwoma punktami i i f w 

polu elektrycznym jest równa wziętej ze znakiem minus całce 
krzywoliniowej (wzdłuż toru cząstki)  od i do f. Siła 
elektrostatyczna jest zachowawcza, dlatego też dla każdego toru 
otrzymujemy ten sam wynik. 
Jeśli wybierzemy V

i

 =0, wówczas: 

 
 
 
Jest to potencjał V w dowolnym punkcie końcowym f pola 
elektrycznego względem zerowego potencjału w punkcie 
poczatkowym  i. Jeśli punkt początkowy i jest w nieskończoności, 
to V  określa potencjał w dowolnym punkcie końcowym  f  
względem zerowego potencjału w nieskończoności. 

5. Potencjał pola ładunku punktowego: 

Rozważmy punkt P w odległości R od nieruchomej cząstki o dodatnim 
ładunku q. Wyobraźmy sobie, że przesuwamy dodatni ładunek próbny 
q

0

 z punktu P do nieskończoności. Tor nie jest istotny — wybieramy 

prostą przechodząca przez ładunek q i punkt P .

 

 
 
 

Załóżmy, że V

f

 =0 (w ∞) and V

i

 =V (w odległości R). Wówczas 

podstawiając

 

 
 

otrzymujemy 

 
 
 
 

Zamieniając R na r:  

(potencjał pola wytworzonego przez cząstkę 
 o ładunku q w odległości r od cząstki) 

Cząstka dodatnio naładowana wytwarza dodatni potencjał elektryczny. 

 

Cząstka ujemnie naładowana wytwarza ujemny potencjał elektryczny. 

6. Potencjał pola układu ładunków punktowych: 

Wypadkowy potencjał układu ładunków punktowych w jakimś 
punkcie obliczamy, korzystając z zasady superpozycji: 
obliczamy oddzielnie potencjały pochodzące od każdego 
ładunku w danym punkcie (uwzględniamy znak ładunku),  
a następnie sumujemy te potencjały.  
 
Dla n ładunków, 

wypadkowy potencjał

 wynosi: 

Przykład: potencjał elektryczny w punkcie P, znajdującym się w środku kwadratu 

Przykład: potencjał elektryczny nie jest wektorem 

7. Elektryczna energia potencjalna układu ładunków punktowych: 

Elektryczna energia potencjalna układu nieruchomych 
ładunków punktowych, jest równa pracy jaką musi 
wykonać siła zewnętrzna, aby utworzyć ten układ 
przenosząc każdy ładunek z nieskończonej odległości. 

Na rys. przedstawiono dwa ładunki punktowe q

1

 and q

2

, znajdujące 

się w odległości r. Gdy przeniesiemy q

1

 z nieskończoności do 

odpowiadającego mu miejsca, nie wykonamy żadnej pracy, bo na 
ładunek q

1 

 nie działa żadna siła. Jeśli następnie przesuniemy q

2

 z 

nieskończoności do odpowiadającego mu miejsca, to musimy 
wykonać pracę, ponieważ q

1 

oddziałuje siłą elektrostatyczną na 

ładunek q

2

 podczas przesuwania. 

Wykonana praca jest równa q

2

V, gdzie V jest potencjałem wytworzonym przez ładunek q

1

 w punkcie, 

w którym umieszczamy q

2

.  

E

p

 

Przykład: elektryczna energia potencjalna układu trzech punktów