Fale spr
ó
yste 1
FALE SPRòYSTE (MECHANICZNE)
Fala
Przenoszenie si zaburzenia w oÑrodku, proces
rozchodzenia si drga½ w oÑrodku.
Fale spróyste
Fale rozchodzce si w oÑrodkach spróystych.
Powstaj w wyniku chwilowego wychylenia
(zaburzenia) jakiegoÑ elementu oÑrodka z po»oóenia
równowagi, co nastpnie powoduje jego drgania.
Zaburzenie to wymusza drgania ssiednich
elementów oÑrodka.
Fale mechaniczne przenosz energi - w postaci energii potencjalnej (energia
odkszta»cenia oÑrodka) i energii kinetycznej (energia ruchu materii).
Klasyfikacja fal (moóliwa na wiele sposobów)
a) ze wzgldu na kierunek ruchu czstek oÑrodka
- poprzeczne -
kierunek odkszta»cenia jest prostopad»y do kierunku
rozchodzenia si fali,
- pod»uóne -
kierunek odkszta»cenia jest równoleg»y do kierunku
rozchodzenia si fali,
b) ze wzgldu na rodzaj zaburzenia
- impuls falowy - powstaje, gdy ïród»em fali jest jednorazowe
zaburzenie,
- fala harmoniczna - jest wytwarzana przez ïród»o wykonujce
drgania harmoniczne; w fali harmonicznej
wszystkie punkty oÑrodka wykonuj drgania
harmoniczne z róónymi fazami.
c) ze wzgldu na kszta»t czo»a fali (powierzchni jednakowej fazy)
- p»askie,
- koliste,
- kuliste.
Fale spr
ó
yste 2
Podstawowa w»asnoÑ rozchodzenia si zaburzenia falowego
Za»óómy, óe dla
,
s -
w y c h y l e n i e c z s t k i z p o » o ó e n i a
równowagi,
- pewna funkcja czasu
Dla
zaburzenie jest opóïnione o
i odpowiada zaburzeniu w
punkcie
w chwili wczeÑniejszej o
, czyli
Równanie fali - wyraóenie przedstawiajce wychylenie drgajcej czstki
w funkcji jej wspó»rzdnych x, y, z i czasu t
Ogólna posta równania fali w jednym wymiarze
W przypadku fali harmonicznej
Faza fali
- prdkoÑ fazowa - prdkoÑ poruszania si sta»ej fazy
Fale spr
ó
yste 3
Równanie fali p»askiej
Fala p»aska -
moóe by opisana tylko jedn sk»adow wektora prdkoÑci,
np.
i jedn wspó»rzdn przestrzenn, np. x
D»ugoÑ fali - najmniejsza odleg»oÑ punktów oÑrodka, dla których
nastpstwo ruchów jest identyczne
JeÑli
, to
Y
Y
Y
Fale spr
ó
yste 4
Wektor falowy
Jest to wektor okreÑlony wyraóeniem
, gdzie
jest wektorem jednostkowym zgodnym z
kierunkiem rozchodzenia si fali.
Y
k - modu» wektora falowego (liczba falowa)
Równanie fali p»askiej rozchodzcej si w dowolnym kierunku
Równanie fali p»askiej rozchodzcej si w kierunku zgodnym z kierunkiem
wektora falowego moóna zapisa jako
Jeóeli
opisuje po»oóenie na pewnej
p»aszczyïnie P odleg»ej o
od pocztku
uk»adu wspó»rzdnych, to wtedy
, czyli
na tej p»aszczyïnie dla danego t otrzymujemy
sta» faz
.
Równanie
jest wic równaniem fali p»askiej.
Fale spr
ó
yste 5
Równanie falowe
Weïmy równanie dowolnego zaburzenia o charakterze periodycznym, lub
nawet nieperiodycznym (np. pojedynczy impuls)
,
Y
,
równanie falowe (jednowymiarowe), równanie
róóniczkowe ruchu falowego.
W kartezja½skim uk»adzie wspó»rzdnych w trzech wymiarach
Operator Laplace’a (laplasjan)
równanie falowe w przestrzeni trójwymiarowej
Jest to równanie róóniczkowe liniowe. Dopuszcza ono moóliwoÑ
superpozycji: jeÑli
s rozwizaniami tego równania, to równieó
jest rozwizaniem równania falowego.
Fale spr
ó
yste 6
PrdkoÑ fal spróystych w ciele sta»ym
odkszta»cenie
napróenie
Za»oóenie:
Fale pod»uóne 6 n a p r ó e n i e j e s t
normalne do czo»a fali.
Prawo Hooke’a
E - modu» Younga
,
wsp. spróystoÑci warstwy
Równanie ruchu warstwy o gruboÑci
- si»a dzia»ajca na mas
- gstoÑ oÑrodka nieodkszta»conego
Fale spr
ó
yste 7
Dla ma»ych ogólnie moóna napisa
Std
Równanie ruchu
6
równanie ruchu czstek oÑrodka jest wic
równaniem falowym, w którym
.
prdkoÑ fazowa fal pod»uónych w ciele sta»ym
Moóna pokaza, óe dla fal poprzecznych
-
modu»
sztywnoÑci (modu» spróystoÑci
poprzecznej)
Fale spr
ó
yste 8
GstoÑ energii fali
gstoÑ energii kinetycznej
gstoÑ energii potencjalnej
GstoÑ energii kinetycznej fali pod»uónej
prdkoÑ ruchu czstek oÑrodka
Dla p»askiej fali harmonicznej o równaniu
GstoÑ energii potencjalnej fali pod»uónej
Fale spr
ó
yste 9
Std dla p»askiej fali harmonicznej o równaniu
Dla fali p»askiej
, a zatem gstoÑ energii ca»kowitej
Ðrednia gstoÑ energii ruchu falowego
Dla p»askiej fali harmonicznej
Fale spr
ó
yste 10
Wektor gstoÑci strumienia energii fali (wektor Poyntinga-Umowa)
Jest to wektor o kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia si fali i o
d»ugoÑci równej iloÑci energii ca»kowitej przenoszonej przez fal przez
jednostkow powierzchni prostopad» do kierunku rozchodzenia si fali w
jednostce czasu.
Dla p»askiej fali harmonicznej
6
6
Strumie½ energii fali
Fale spr
ó
yste 11
Natóenie fali
Jest to Ñrednia iloÑ energii ca»kowitej przenoszonej przez fal przez
jednostkow powierzchni prostopad» do kierunku rozchodzenia si fali w
jednostce czasu.
Dla fali biegncej o jednej czstoÑci
Fala stojca a fala biegnca
Fala stojca powstaje w wyniku na»oóenia si dwóch cigów falowych o
jednakowych czstoÑciach, jednakowych amplitudach, ale biegncych w
przeciwnych kierunkach.
,
Fale spr
ó
yste 12
Równanie fali emitowanej przez ïród»o punktowe
Jest to fala kolista (cylindryczna) lub fala kulista
r
odleg»oÑ od ïród»a,
moc ïród»a,
boczna powierzchnia walca (fala kolista) albo powierzchnia
kuli (fala kulista), o promieniu r, w centrum których
znajduje si ïród»o.
Y
Dla fali kolistej (cylindrycznej w warstwie o ma»ej gruboÑci h)
Y
,
Dla fali kulistej
Y
,
Fale spr
ó
yste 13
Dyspersja fal
OÑrodek jest dyspersyjny, jeóeli w tym oÑrodku
Wspó»czynnik dyspersji
dyspersja normalna
brak dyspersji
dyspersja anomalna
Konsekwencje dyspersji fal
Paczka falowa (grupa fal)
na»oóenie si fal niewiele róónicych si
czstoÑci midzy sob.
Fale spr
ó
yste 14
Paczka falowa porusza si z prdkoÑci inn nió prdkoÑ fazowa. Weïmy
pod uwag superpozycj dwóch fal biegncych w tym samym kierunku osi
x
Fala wypadkowa
Na podstawie metody wskazów
Fale spr
ó
yste 15
Amplituda w paczce falowej przyjmuje sta» wartoÑ dla pewnych wartoÑci
x
g
(t), dla których
PrdkoÑ grupowa
Zakres czstoÑci w paczce falowej jest ma»y, czyli
,
Zwizek prdkoÑci grupowej i fazowej
,
,
d - dyspersja oÑrodka
Document Outline