1
A
B
PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE
przez system algebraiczny rozumiemy:
(X,
), X – zbiór niepusty,
: X
n
X (n
Z
+
) – dane odwzorowanie, zwane n-argumentowym
działaniem w X. (n=0 – wyróżniamy element x X; n = 1 – działanie jedno arg.; n = 2 – działanie
binarne).
(X,
),
działanie binarne – grupoid
Def. Grupoid nazywamy półgrupą, jeżeli
jest działaniem łącznym, tzn.
z
y
x
z
y
x
z
y
x
,
,
,
,
,
,
X
Uwaga: (
* - notacja muliplikatywna,
+ - notacja addytywna).
Def. Działanie binarne
o własności:
x
y
y
x
z
y
x
,
,
,
,
X
nazywamy przemiennym. (Np.
(N,
)
(x,y) = x
y
nie jest przemienne)
Def. (X,
) – grupoid: element e o własności
x
x
e
e
x
x
,
,
nazywamy elementem
jednostkowym działania
.
Lemat: Element jednostkowy, jeżeli istnieje, to jest jedyny.
J:
e
e
e
x
x
x
e
e
x
e
e
x
x
x
e
e
x
e
)
podst.
(
,
,
)
podst.
(
,
,
element jednostkowy: lewy (e
l
) e
l
x = x, prawy (e
p
) x e
p
= x. Jeśli istnieje e
p
i e
l
, to e
p
= e
l
= e.
notacja: addytywna e
1; multiplikatywna e
0.
Def. Półgrupę (X,
) z jednością o własności:
odwrotny
element
,
,
x
e
x
x
x
x
x
x
X
X
nazywamy grupą.
Lemat: Element x’ jest jedyny.
Bezpośrednia definicja grupy
Grupa to system algebraiczny (X,
) z jedynym działaniem binarnym
, przy czym spełnione są żądania:
G1. Działanie
jest łączne:
z
y
x
z
y
x
z
xy
yz
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
,
,
,
,
X
G2.
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
e
x
e
0
0
1
1
,
,
G3.
przeciwyny
element
0
odwrotny
element
1
,
,
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
x
x
x
Lemat: Półgrupa (X,
) jest grupa wtedy i tylko wtedy, gdy: 1)
x
x
e
x
)
,
(
2)
e
x
x
x
x
)
,
(
Fakt: Jeżeli (G,
) jest grupą, to dla każdego a, b
G równanie:
(a, x) = b |
(x, a) = b ma jedno
rozwiązanie
J:
(a, x) = b. Przypuśćmy, że rozwiązanie x istnieje to a a
-1
(a
-1
,
(a, x) =
(
(a
-1
, a), x) =
(e, x) = x, prawa strona równania:
(a
-1
, b), stąd: x =
(a
-1
, b). x =
(a
-1
, b) spełnia równanie:
(a, x) =
b:
(a,
(a
-1
, b)) =
(
(a, a
-1
), b) =
(e, b) = b
Uwaga:
= G
0
G – nazywamy podgrupą, jeżeli G
0
jest podzbiorem zamkniętym ze względu na
działanie grup.
Pierścień: To system algebraiczny z wyróżnionym układem dwóch działań binarnych (R, +,
) przy
czym: 1) (R, +) jest grupą przemienną (
gr. Abelowa); 2) (R,
) jest półgrupą (
łączne); 3)
rozdzielność działania
względem działania +, tzn.
zx
yx
x
z
y
xz
xy
z
y
x
z
y
x
)
(
)
(
,
,
.
Jeśli działanie
przemienne – pierścień przemienny. Jeśli działanie
ma element jednostkowy –
pierścień z jednością.
Ciało: (K, +,
)
(K, +,
, 0, 1), przy czym: 1) (K, +,
) jest pierścieniem z jednością; 2) (K \ {0} , +, 1)
jest grupą
Przestrzeń liniowa:
Def. Strukturą liniową zbioru X (X =
) nad ciałem K nazywamy układ dwóch odwzorowań: 1) XxX
(x, y) x + y
X – wynik dodawania w X; 2) KxX
(
, x)
x
X – mnożenie elementów przez
skalary ciała.
PL1. (X, +) – jest grupą abelową (przemienną)
PL2. (
+
) x =
x +
x |
(x + y) =
x +
y |
(
x) = (
) x | 1x = x
Def. Parę uporządkowaną (X,
), gdy
jest strukturą liniową w X nad K, nazywamy przestrzenią
liniową nad ciałem K.
Def. Jeżeli X
0
jest niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej X, to pary (X
0
,
) nazywamy
podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej X.
Lemat (elementarne własności przestrzeni liniowej):
1)
x 0x = x0 = 0 | 0x
1
+(x
1
+ x
2
) = (0x
1
+ 1x
1
) + x
2
= (0 + 1)x
1
+ x
2
= 1x
1
+ x
2
= x
1
+ x
2
| podobnie x
1
0
+ (x
1
+ x
2
) = x
1
+ x
2
x + 0 = x
2)
x = 0
= 0 lub x = 0
3) –
(x + y) = -
x -
y |
(x - y) =
x -
y
Układy elementarne w przestrzeni liniowej
Układy skończone: X – przestrzeń liniowa nad K, x
1
, ... , x
n
X.
Def. Każdy element postaci x =
1
x
1
+ ... +
n
x
n
i
K nazywamy kombinacją liniową (o
współczynnikach
1
, ...,
n
) rozpiętą na układzie skończonym.
Def. Układ skończony nazywamy:
1) liniowo niezależnym, jeżeli
1
x
1
+ ... +
n
x
n
= 0
1
= ... =
n
= 0.
2) liniowo zależnym, gdy nie jest niezależnym, więc istnieją niezerowe współczynniki
1
, ...,
n
, że
1
x
1
+ ... +
n
x
n
= 0
Tw. Układ {e
|
A} jest liniowo niezależny, jeżeli każdy jego podukład skończony jest liniowo
niezależny.
Def. Jeżeli E = {e
|
A} jest układem elementów przestrzeni liniowych X nad K, to zbiór span E jest
zbiorem wszystkich kombinacji liniowych rozpiętych na układzie E.
e
x
E
x span
. span E
jest podprzestrzenią X (powłoka liniowa rozpięta na zbiorze E).
Tw. (podstawowe) X przestrzeń liniowa nad K. Jeżeli B
0
jest zbiorem liniowo niezależnym w X, to
istnieje maksymalny zbiór liniowo niezależny B
B
0
Def. Bazą przestrzeni liniowej X nazywamy każdy maksymalny podzbiór liniowo niezależny B.
Wn. Każda przestrzeń liniowa X nad K ma bazę.
Wn. Jeżeli przestrzeń liniowa X ma bazę
B
e
to
x
X zachodzi jednoznaczna reprezentacja
x
E
e
Komentarz: Zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, jeżeli istnieje bijekcja f:A
B. Piszemy wtedy A~B
mówiąc, że zbiory A i B są równoliczne.
Postulat: Jeżeli A jest zbiorem, to odpowiada jemu (?) przedmiot card A
XA nazywamy liczbą
kardynalną zb. A. Przy tym: dwa zb. A, B mają tą samą liczbę kardynalną wyłącznie wtedy, gdy są
równoliczne, a więc card A= card B
A~B Np. A={1,...,n} B={1,...,m}, A~B
m=n
Tw. W przestrzeni liniowej dowolne dwie bazy są równoliczne [B
1
,B
2
- bazy w X, to card B
1
= card B
2
]
Def. Wymiarem przestrzeni liniowej X nad ciałem K nazywamy moc bazy tej przestrzeni: dim X = card
B | B - baza w X (
card
k
B) Np. dim R
n
=n ; dim
Q
R=
Tw. Przestrzeń liniowa X nad K jest skończenie wymierna jeżeli dim X = n (n
Z
+
) - przestrzeń n-
wymiarowa
MACIERZE
S - zb. niepusty, m.,n
1. Macierzą typu m
n nad S nazywamy układem m
n elementowy zbiór
uporządkowany w m - wierszach, n - kolumnach
A
a
a
a
a
a
a
a
a
S
in
m n
n
m
m
mn
ik
11
12
1
1
2
...
...
...
Np.
1
,...,
1
1
0
...
...
0
...
1
diag
I
- macierz jednostkowa
a
a
diag a
a
nn
nn
11
11
0
0
...
... ...
,...,
- macierz
diagonalna
2
A
B
DZIALANIA:
Jeżeli A,B są macierzami tego samego typu (nad K,R), to *
A B
A
A
B
a
b
a
a
b
i
ik
ik
ik
ik
Zbiór
Mat
m
k
(K) w macierzy typu m
n nad K jest przestrzenią linową w sensie działania *
Mnożenie macierzy:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a
b
c
ij
m l
jk
l n
ik
m n
Na ogół mnożenie macierzy nie
jest przemienne !
Właściwości
1
łączność (AB)C=A(BC)
2
rozdzielność A(B+C)=AB+AC
3
(
A)=(
)A ; (
+
)A=
A+
A
Jeżeli
Mat
K
a
a
m n
t
ki
n m
ik
m n
A
A
A
macierz transponowana
Jeżeli A
t
= A macierz symetryczna ; A
t
= - A macierz skośnie symetryczna
Jeżeli
K
Mat
a
a
m
ki
ik
t
C
C A
A
,
;
macierz sprzężona (Hemite’a do A) A
*
=A - macierz
samosprzężona
Hemite’a
Jeżeli A
*
A=I, to A nazywamy macierzą unitarną
Własności:
A B
A
B
t
t
t
;
A
A
t
t
;
A B
A
B
;
A
A
;
AB
B A
t
t
t
;
AB
B A
Def. Algebra X nad ciałem K, to sup.(?) algebra (X,
,
), gdzie 1
(X,
) - przestrzeń liniowa nad ciałem
K; 2
(X,+,
) - pierścień; 3
x(
y)=
xy;
Jeżeli
x y
xy
yx
,
przemienne. Jeżeli
e
x
ex
xe x | e - element jednostkowy
dim
K
m n
Mat
K
m n
a
a E
a E
ik m n
mn
nm
11 11
...
E
p i q k
ik
pq
pq
,
,
,
,...
1
0
Odwzorowanie liniowe f: X
Y ; X,Y p. liniowe nad K 1
f x
x
f x
f x
1
2
1
2
addytywne ; 2
f
x
f x
jednorodne; nazywamy liniowym
L X Y
,
zbiór wszystkich odwzorowań linowych f z X do Y jest p. liniową
f
g x
f x
g x
f x
f x
f g L X Y
,
,
Y
X L X X
L X
,
,
f: X
Y jest linowe, f - forma liniowa na X
L(X,K)
X
*
- przestrzeń dualna (sprzężona dla X)
Def. Jeżeli
f
L X Y
,
, to
ker f
x
X A x
0 - kernel f ;
imf
f x
Y x
X
- obraz f
Ćw. ker f jest podprzestrzenią X , im f jest podprzestrzenią Y
Uwaga Jeżeli
,
liczba kardynalne, to przez sumę
+
rozumiemy moc sumy zbiorów rozłącznych
mocy
,
odpowiednio
zb A mocy
A B
card A B
. ,
,
zb B mocy B
. ,
Fakt Jeżeli
f
L X Y
,
to
X
f
im
f
dim
dim
ker
dim
(wymiar jądra + wymiar obrazu = wymiar
dziedziny)
Równania liniowe
y
x
f
Y
X
L
f
)
(
,
równanie liniowe
jednorodne y
niejednorodne y
,
,
0
0
Równania (*) jest niejednorodne
y imf
f x
x
f
0
ker
Lemat. Jeżeli
f
L X Y
,
, to:
1
każde równanie jednorodne
f x
0 ma postać: x
f
ker
B
e
0
- baza jądra
x
e
2
Jeżeli
f
im
y
, to każde rozwiązanie równania
f x
y
x
x
x
S
0
, gdy
x
f
0
ker
x
s
-
dowolne rozwiązanie szczególne równania
f x
y
y
f x
y
s
s
S
inf
Niech x będzie jakimkolwiek rozwiązaniem r.
f x
y
f x x
f x
f s
s
0 x x
f
s
ker
Lemat (Tw. o interpolacji odwzorowań liniowych) X,Y p. liniowe nad K,
B
e
A
- baza X, każde
odwzorowanie
f B
Y
:
ma jednoznaczne przedłużenie liniowe f X
Y f
f
B
~
~~
:
Tw. (o izomorfizmie) Jeżeli X,Y - p. liniowe nad K, to równoważne są warunki: 1
X
Y (X izomorficzne
z Y) 2
dim X = dim Y Np.
k
k
n m
n
m
WYZNACZNIKI
A
A
A
a
a
a
a
a
Mat K
ik
n m
n
m
nm
n
1
2
11
1
1
,..,
...
...
...
...
Def. Odwzorowanie
det: Mat K
K
n
o własnościach:
Def 1 detA jest f. liniową (swoich kolumn)
det
,...,
~
,...,
det
,...,
,...,
det ...,
~
,...
A
A
A
A
A
A
A
A
k
k
n
k
n
k
1
1
det
,...,
,...,
det
,...,
,...,
A
A
A
A
A
A
k
n
k
n
1
1
Def 2 ... A są identyczne to A=0
Def 3
det
1 1 e nazywamy wyznacznikiem na A
Def 4 Jeżeli macierz A ma kolumny zerowe, to detA=0
Def 5 Jeżeli B powstaje z A przez przestawienie dwóch kolumn, to det A = - det B
Def 6 Jeżeli
jest permutacją zb (1,...,n) to
det
,...,
sgn
det
A
A
A
n
1
Def 7 Jeżeli dwie kolumny macierzy A są identyczne lub proporcjonalne, to detA=0
Def 8 Wyznaczniki macierzy nie zmieniają się, gdy do ustalonej kolumny dodać inną kolumnę
pomnożoną przez skalar
3
A
B
Def 9 Funkcja det( ) o własnościach D1-3 jest jedyną i ma postać
det
sgn
,...,
A
a
a
n
S
n
1
Def 10 (Cauchy)
det
det det
AB
A
B
Def 11 Wyznaczniki macierzy danej i transponowanej jest ten sam
det
det
A
A
t
Def
m n
l k
m n
min ,
k - kolumna
minor macierzy A: m=n Dopełnienie algebraiczne elementów
a
ik
A
M
ik
ii k
ik
1
gdzie
M
ik
to
minor macierzy A, dopełnienie algebraiczne
a
ik
Def 12 (Tw. Laplace’a)
1
0
1
1
a A
a A
l i
l i
i
l
in
...
det ,
,
ln
A
2
0
1
1
a A
a A
l
k
l
k
k
l
nk
al
...
det ,
,
A
Macierzowa reprezentacja odwzorowań liniowych w przestrzeniach skończenie wymiernych
X – przestrzeń liniowa K, dim X=n | baza X,
e
e
e
n
1
,...,
X x
x e
y
x
x
K
i i
i
n
q
n
n
1
,..,
K
y
x
x
x
x
n
q
n
n
,...,
...
1
Niech
X e
,
- p. linowa n-wymiarowa , o bazie
e
e
e
n
1
,...,
;
Y f
,
- p. linowa m.-wymiarowa, o
bazie
f
f
f
n
1
,...,
Mat
K
m n
- p.. liniowa wszystkich macierzy typu m
n
L X Y
,
- zb. wszystkich odwzorowań liniowych z X do Y
Tw. Przestrzenie
L X Y
,
oraz
Mat
K
m n
są izomorficzne w szczególności: algebry
L X oraz
Mat K
n
są izomorficzne
J:
A L X Y x
X
,
x
x e
j j
j
n
1
A x
A
x e
x A e
x
a f
a x f
j j
j
n
j
j
j
n
j
j
n
ij i
i
m
ij j
i
i
m
1
1
1
1
1
a
ij
- jednoznacznie
określony element ciała K
f
a x
a x
a
a
a
a
x
x
x x
x
x
j
j
j
n
mj
j
j
n
n
m
mn
n
n
1
1
1
11
1
1
1
1
...
...
...
...
:
A
notacja kolumnowa
A
T
A -jednoznaczne odwzorowanie
X x
x
x
y
Ax
y
y
x Y
n
n
1
1
A
sprawdzamy, że T(.) jest odwzorowaniem liniowym z X do Y. Jest ono bijekcją. Zatem T jest
izomorfizmem p. lin.
T A
T A
T A A
T A T A
1
1
2
2
1 2
1
2
1
2
A
A
A A
X
Y
A
A
T
A
A
1
1
macierz odwrotna
Zbiór wszystkich odwzorowań A X
X
:
, nieosobliwych, jest grupą pod względem składania
odwzorowań AB I
B
A
1
Jeżeli A,B macierze mają własności AB I
B A
1
BA I
B A
1
AB
B A
A
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
AB
B A
A
A
Def. Macierz A
d
– dostawiona do A: A
d
=[a
ik
]
t
(macierz transponowana do macierzy dopełnień
algebraicznych elementów a
ik
)
Stwierdzamy, że
AA
d
=
n n
n
n
n n
n
n
A
A
A
A
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1 1
1
1
1 1
A
A
A
det
...
0
...
det
...
0
...
det
= det A*I
Skąd:
A(1/detA*A
d
)=I -> A
-1
=(1/detA)A
d
Def. X,Y – przestrzenie liniowe nad K, n,m wymiarowe, odpowiednio |
e
f
L(X,Y)
A
A
Mat
m
n
(K)
Rząd przekształcenia liniowego A: r(A)=def= dim im A (liczba liniowo niezależnych el. obrazu), r(A)=
r(A): T(A)=A
Własności:
(1) Jeżeli A jest nieosobliwe to r(A)=n (Y=X)
(2) r(A)= liczba lin niezależnych kolumn (wierszy), najwyższy stopień minora różny od zera
Def. Przekształcenia elementarne macierzy:
I rodzaju: (na wierszach). mnożenie wybranego wiersza przez
0, przestawienie dwóch wierszy, do
ustalonego wiersza dodanie liniowej kombinacji pozostałych
II rodzaju (na kolumnach) (to samo)
Lemat. Każde przekształcenie elementarne: 1) I-rodz A
A’= PA, gdzie P jest macierzą nieosobliwą ; 2)
II rodz A
A’ = AQ, gdzie Q jest macierzą nieosobliwą
Zastosowanie przekształceń elementarnych:
1 wyższego rzędu macierzy
2 obliczanie determinantów
Tw. (Kronecker – Capelli) Rozważmy układ m równań o n niewiadomych
(*)=
m
n
mn
m
n
b
x
x
x
a
b
x
x
x
a
...
...
1
1
1
1
1
1
1
w którym a
ik
K (C,R,...), b=
n
b
b
...
1
dany wektor w K
m
x=
n
x
x
...
1
- kolumna
niewiadomych (K
m
)
m
n prostokątny ukł liniowy,
m=n kwadratowy ,,, , ,,
b
0 układ niejednorodny
b=0 ukł jednorodny
4
A
B
(*)
Ax=b : A=[a
ik
]
m
n
b=
n
b
b
...
1
x=
n
x
x
...
1
A
1
x
1
+ . .. . + A
n
x
n
=b , A
j
- to j-ta kolumna macierzy A
Tw. (Kronecker – Capelli) Układ (*) jest niesprzeczny
jeżeli r(A)=r(A
b
), gdzie A
b
to macierz
utworzona z macierzy A przez dołączenie kolumny wyrazów wolnych. ( r() – rząd macierzy)
Dowód: Układ (*) jest niesprzeczny
istnieją el x
1
... x
n
w K, że ich kombinacja liniowa z el bazy daje
element b
r(A)=r(A
b
)
Wn
(1) Układ jednorodny jest niesprzeczny Ax=0
(2) Jednorodny układ kwadratowy równań lin Ax=0 (m=n) jest niesprzeczny. Liczba k liniowo
niezależnych rozwiązań: K=n-r | r=r(A) | A=A | Ax=0
Ax=0 | dim ker A (=k) + dim im A
(r=r(A)) = n | k+r=n | k =n-r
(3) Układ jednorodnyAx=0 (m=n) ma rozwiązanie niezerowe
n>r
det A=0 (tzn A – macierz
osobliwa)
Jeżeli r=r(A)=n to k=0 układ ma jedyne rozwiązanie zerowe
Uwaga: f:L(X,Y) | f(x)=y – niesprzeczny
y
im f , którego każde rozwiązanie x: x=x
0
+x
s
|
x
0
ker f , x
s
-dowolnie dobrane rozwiązania równań jednorodnych (f(x
s
)=n)
Jeżeli ker f ma bazę B
0
, to ker f
x =
x
e
W danym ukł (*) Ax=y | Ax=y | x
0
,Ax
0
=0 | x
s
=
1
e
1
+ ... +
k
e
k
Np.: x
1
+ 2x
2
+ ... nx
n
=1 | X=K
n
| x=
1
e
1
+ ... +
n
e
n
| f:K
n
K | f(x)= x
1
+ 2x
2
+ ... + nx
n
| A=
[1,2, ... , n]
x=
n
x
x
...
1
| (Ax=1)
x
1
= 1 – (2x
2
+ ... + nx
n
), x
2
, ... , x
n
K
r(A)=1 | r(A
b
) =1
x=
n
x
x
...
1
=
n
n
x
x
n x
x
...
)
...
2
(
1
2
2
=
0
0
0
1
+x
2
0
0
0
2
+ ... + x
n
n
0
0
0
k+1=n | k=n-1
Tw. (Cramer) Jeżeli maciezrz A
Mat
n
(K) jest nieosobliwe, to układ kwadratowy równań liniowych (*)
Ax=b, tzn
n
n
n n
n
n
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
...
...
.......
...
1
1
1
1
1
1
1 1
ma jedyne rozwiązanie postaci x=
/
...
/
1
n
, gdzie
= det A ,
1
- to
determinant macierzy utworzonej z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych
Dowod: A
A | Ax= b | A-nieosobliwe |
A
-1
|
A
-1
| Ax=b | (A
-1
A)x=A
-1
b
x=A
-1
b
x=A
-
1
b | A
-1
=(1/
)[A
ik
] | x=(1/
)[A
ki
]b=
n
n n
n
n
b
b
A
A
A
A
...
...
...
...
...
...
1
1
1
1
1 1
=
n
....
1
1
=
/
...
/
1
n
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE
K- ciało algebraiczne nie zamknięte (tzn. każdy wielomian stopnia >0 nad K ma przynajmniej jedno zero,
C (o.k.),Z
p
(nie),R(nie – x
2
+1=0), A=[a
ik
]
Mat
n
(K) – dana macierz
Def. Jeżeli istnieje wektor niezerowy
(w K
n
), że przy pewnym
K będzie: Ax=
x (Ax=
x), to
mówimy, że x jest wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej
. A
(x,
)
Tw. Każda macierz A=[a
ik
]
m
n
nad ciałem alg. zamkniętym ma wartości własne oraz wektor własny.
Dowód:
,x – to wartość własna i wektor własny macierzy A
jest x
0 oraz
K | Gdy spełnione
jest równanie Ax=
x
(A-
I)x=0
jest ukł. kwadratowych równań jednorodnych
det (A-
I)=
n n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
2 2
2 1
1
1 2
1 1
= p
n
(
) wielomian stopnia n-tego nad K
p
n
(
)=(-1)
n
n
+p
1
n-1
+ ... + p
n-1
+p
n
Ale K jest algebrą zamknięta (n
1), zatem istnieje
K, że równanie
(*) ma rozwiązanie niezerwe w K
n
Def. Wielomian p
n
(
)
det (A-
I) nad (jest?) wielomianem charakterystycznym.
Wn.
(1)
-warość własna A | którekolwiek rozwiązanie p
n
(
)=0
1
, ... ,
n
1
, ... ,
n
(krotności
1
, ...
,
k
1 |
1
+ ... +
k
= n)
(2)
-wartośc własna A, to odpowiada jej k=n-r (r=r(A-
I)) liniowo niezal. Wektorów własnych.
X- n wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem K: Zapis (X,e) znaczy: w X wyraz e, n-wym bazą e: e
1
, ...
e
n
(Uwaga: baza to zawsze zbiór niepusty)
X bazy e: e
1
, ... e
n
lub bazy e’: e’
1
, ... e’
n
jednakowe odwzorowanie macierzy P=[p
ik
]
Mat
n
(K), że
n
n n
n
n
n
n
e
p
e
p
e
e
p
e
p
e
...
'
....
...
...
...
'
1
1
1
1
1 1
1
tzn.
n
e
e
'
...
'
1
=P
-t
n
e
e
...
1
, krótko: e’= P
t
e
zwana macierzą przejścia (w X) z bazy e do bazy e’
Własności:
(1) Macierz przejścia P transformuje bazę e na bazę e’ poprzez swoje kolumny
(2) Macierz przejścia P jest nieosobliwa: det P
0
(3) Jeżeli P jest macierzą przejścia z bazy e do bazy f oraz Q jest m. przej. z f do b. G, to PQ jest m.
Przej. z b. e do b. g
P
(X,e) (X,f)
PQ Q
(X,g)
f=P
t
e, g=Q
t
f
g= Q
t
(P
t
e) = (Q
t
P
t
)e=(QP)
t
e
(4) Jeżeli P macierz przejścia z bazy e do bazy f, to P
-1
jest macierzą przejścia z b. f do b. e
P
(X,e) (X,f)
I Q
(X,e)
P*Q=I
Q=P
-1
(*) P
t
e=e’ | e=
n
e
e
...
1
| e’=
'
...
'
1
n
e
e
Wyznaczenie macierzy przejścia redukuje się do rozwiązania równania macierzowego (*) e
t
P = (e’)
t
X- n wymiarowa przestrzeń z dwiema bazami e, e’
X
x | x =
n
k
k
k
e
x
1
=
n
k
k
k
e
x
1
'
'
=
n
k
n
i
i
ik
k
e
p
x
1
1
'
=
n
k
n
i
i
k
ik
e
x
p
1
1
'
=
i
n
i
n
k
k
ik
e
x
p
1
1
'
'
...
'
...
'
...
'
1
1
1
1
1 1
1
n
n n
n
n
n
n
x
p
x
p
x
x
p
x
p
x
, tzn.
n
x
x
...
1
=P
'
...
'
1
n
x
x
| x= Px’ | x’=P
-1
x
5
A
B
Zależność macierzy przestrzeni lin przy zmianie bazy. Rozważmy diagram przemienny:
(Y,f)
A
A
(X,e)
(X,e’)
(Y,f’)
P
Q
A
B
(X,e)
A
A
(X,e)
(X,e’)
(X,e’)
P
P
A
B
w którym
X,Y – przestrzenie liniowe skończenie wymiarowe n, m
A: X
Y, dane przekształcenie lin o macierzy A
- automorfizm (X,e’) na (X,e) o macierzy P (przejścia z e do e’)
- automorfizm (X,f’) na (X,f) o macierzy Q (przejściaz f do d’)
B macierz operatora A w bazie e’,f’
Mamy, że
Dla diagramu (1) | Ax=
B, tj. A=
-1
A
Dla diagramów (2) | A
=
B, tj. B=
-1
A
(1) B=Q
-1
AP
(2) B=P
-1
AP
Def. W Mat
n
(K): Macierz A jest podobna do macierzy B jeżeli istnieje macierz nieosobliwa S: B=S
-1
AS
A więc podobieństwo macierzy oznacza, że są określone na tej samej przestrzeni liniowej, lecz różnych
bazach.
Drobiazgi
(a) Rel. ~podobieństwa macierzy jest równoważnością w Mat
n
(K): A~A | S=
| A~B =>B~A: | B=B
-
1
AS
A=SAS
-1
=(S
-1
)
-1
B(S
-1
) | A~B & B ~C | B=S
-1
AS | C=
-1
B
=
-1
(S
-1
AS)
=(ST)
-1
AS
(b) Jeżeli A~B, to p
A
(
)=p
B
(
)
-macierze podobne mają równe wielomiany charakterystyczne
Dowód: B=S
-1
AS | p
B
(
)=det (B-
)=det(S
-1
AS-
)=det S
-1
(A-
)S=p
A
(
)detS
-1
=p
A
(
)
Def. ślad macierzy: tr A = a
11
+...+a
nn
Fakt:
(1) tr AB = trBA | jeżeli A~B, to trA=trB | (B=S
-1
AS, trB=tr S
-1
AS=tr A)
(2) Jeżeli K jest ciałem algebraicznym, zamkniętym to: tr A=
n
+...+
n
(3) Jeżeli K jest algebraicznym zamkniętym, to detA =
1
....
n
A
Mat
n
(
)
(A)=zbieżność wszystkich wartości własnych macierzy A (widmo)
i
a
A
A
A
*
=A =>
(A)
R |
Uwaga: U
*
U = I |
(A)
S
Fakt. 1 Widmo macierzy Hermite’a jest zawarte w R’ A
*
=A =>
(A)
R
Tw. jeżeli A jest macierzą rzeczywistą w A
*
=A ,to A
*
=A=>
((A)
R)
Dowód: Ax=
x (
-wartości własne x
0 – wektor własny)
)
...
(
)
...
(
)
...
(
)
(
)
...
(
)
(
/
|
||
(Ax )*
2
2
1
2
2
1
2
2
1
*
*
2
2
2
2
1
*
*
*
*
*
*
*
*
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
A
A
A
A
M – unitarne U
*
U=I (
UU
*
=I U
*
=U
-1
)
co s
sin
sin
co s
,
2
U
r
u
np:
Fakt 2. widmo macierzy unitarnej jest zawarte w S: U
*
U=I =>
(A)
S
Dowód:
,x – wart. , wektor własny macierzy U
1
0
1
0
)
1
(
)
(
0
...
.....
,...,
|
|
2
2
2
*
*
2
*
*
*
*
2
2
1
1
1
*
*
*
*
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
U
U
U
U
Fakt 3 (Gershgorin, 1931) Jeżeli A=[a
in
]
Mat
n
(
), to
(A)
i
n
=1
D
i
gdzie: D
i
={
=C: |
- a
ii
| =<
n
}, (koło Gershgorin)
i
k
a
n
k
ik
i
1
.
....
....
...
...
...
....
...
....
....
....
...
...
....
1 1
n n
ii
a
a
a
D:|
-a
ii
| =<
| suma modułów wiersza bez elementów przekątnej
n
i=1
D
n
TW. Caley-Hamilton A
Mat
n
(K), f
P
n
[
] – wielomian nad ciałe K. f(x)=a
0
+a
1
+ ....+ a
n
n
DEF wielomian od macieży f(A)=a
0
I+a
1
A+.....
TW (Caley -Hamilton) Wielomian charakterystyczny p
n
(
)=p(
)=det(A-
) macieży A, zerują tą
macierz. p(A)=0
Dowód: p(
)=p
o
+p
1
+.....+p
n
n
| ( p
n
=detA p
n
=(-1)
n
) | (p
n
I+p
1
A+....+p
n
xA
n
=0) | B
Mat
n
(K),
to : (*) BB
D
=(detB)I | Równość typu (*) to
- macierzy | B=A-
I
(**) (A-
I)(A-
I)
0
=det(A-
I)I
p(
)I
Istnieją jednoznacznie określone macierze. C
0
,C
1
,.....,C
n-1
W Mat
n
(K) że: (A-
I)
D
=C
0
+C
1
+......+C
n-1
n-1
wykonanie działania w (**) daje:
6
A
B
(A-
I )(A-
I )
D
=(A-
I)(C
0
+C
1
+ ......+C
n-1
n-1
)=AC
0
+AC
0
+AC
1
+...+AC
n-1
- (C
0
+C
1
2
+...+C
n-
1
n
)=AC
0
+(AC
1
-C
0
)
+(AC
2
-C
1
)
2
+.....+(AC
n-1
– C
n-2
)
n-1
– C
n-1
n
=(p
0
I+p
1
I+....+p
n
I
n
)
k
Wobec dowolności
w k: (możemy skrócić k równości przez IA,...,A
k
)
I | AC
0
=p
0
I
A | AC
1
–C=p
1
I
... | ......
... | ......
A
n-1
| AC
n-1
-C
n-2
=p
n-1
I
A
n
| -C
n-1
=p
n
I
AC
0
+(A
2
C
1
-AC
0
)
+(A
3
C
2
-AC
1
)
2
+...+(A
n
C
n-1
-A
n
C
n-1
)
n-1
-A
n
C
n-1
n
=p(A)
0=p(A)
Wnioski:
(1)
A
n
jest kombinacją liniową macierzy I,A,...A
n-1
| A
k
,k>=n
(2)
Jeżeli A jest nieosobliwe, to A
-1
jest kombinacją liniową rozpiętą na macierzach I,A,...,A
n-1
p
0
A
-1
+(p
1
I+...+p
n
A
n-1
)=0
A
-1
= -(1/p
0
) (p
1
I+...+p
n
A
n-1
)
DEF: wielomian
=
(
), unormowany (tzn współczynnik przy największej potędze jest 1) i możliwie
najmniejszego stopnia, że
(A)=
Wstępne informacje o przestrzeni Banacha i Hilberta
X – przestrzeń liniowa nad ciałem K=P lub R
Odwzorowanie: X
x
||x||
R f()
|| || własności:
N1 ||x||=0 x-0 (własność jednoznaczności)
N2 ||
x||=|
| ||x||
N3 ||x+y||=<||x|| +||y|| (nierówność trójkąta)
nazywamy NORMĄ w przestrzeni liniowej X
Lemat: Jeżeli (X,|| ||) jest przestrzenią unormowaną to (d(x,y)=||x-y|| jest metryką w X
np: X=R , ||x||=|x| | X=C , ||x||=|z| | X=R
n
, ||x||=(
1
n
x
i
2
)
1/2
| X=C
b
, ||x||=(
i=1
n
|x
i
|
2
)
1/2
W C
n
norma Minkowskiego: C
n
x=(x
1
.....,x
n
) | ||x||
p
=(
i=1
n
|x
i
|
p
)
1/p
, 1<p<
DEF: || || oraz || ||
0
są równoważne [ || ||~|| ||
0
]
np: || ||
p
są równoważne (tzn zbieżność po współrzędnej)
Lemat: W X, || ||~|| ||
0
,
>0
x
X
||x||
0
=<||x||=<
||x||
Q – przestrzeń metryczna zwarta C(Q) – zbiór wszystkich funkcji ciągłych rzeczywistych na Q |
||x||=sup|x(t)| t
Q
DEF: X – przestrzeń liniowa nad K(=C,R); Odwzorowanie: X
X
(x,y)
(x|y)
C
S1 (x+y|z)=(x|y)
C
S2 (
x | y)=
(x|y)
S3
)
|
(
)
|
(
x
y
y
x
S4
x
(x|x)>=0 oraz (x|x)=0 x=0
Iloczyn skalarny w X
(X, || ||)
(xy)
||x
n
-x
m
||
0 =>
x
x
n
x (Przestrzeń Banacha ) m,n
l
1
x=(
n
),
1
|
n
|<
| ||x||=
1
|
n
|
l
2
x=(
n
),
1
|
n
|
2
<
| ||x||=(
1
|
n
|
2
)
1/2
z def
S1-4 => (x|y+z)=(x|y)+(x|z) |
)
|
(
)
|
(
)
|
(
)
|
(
y
x
y
x
x
y
y
x
A więc
S:
1. odwzorowanie liniowe (dla R)
2. półtora liniowe (dla C)
np: 1) R
n
, (x|y)=
1
n
x
i
y
i
2) C
n
,
n
i
i
i
y
x
y
x
)
|
(
C<-l,l>, x=x(t) <-l,l>
C, ciągła
0
|
)
(
|
)
|
(
)
(
)
(
)
|
(
2
d t
t
x
y
x
d t
t
y
t
x
y
x
l
l
l
l
Lemat (nierówność CBS) w przestrzeni z
S(iloczyn skalarny)
Nierówność Schwartza : |(x|y)|<(x|y)
1/2
(y|y)
1/2
x,y
X
Dowód: x,y
X,
C (x+
y|x+
y)>=0
X
y
x
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
,
,
0
)
|
(
)
|
(
)
|
(
)
|
(
| (x=0 lub y=0) | x,y
0
Obliczymy
= - (x|y)/(y|y), podstaw (x+
y|x+
y)=.........=(x|x)- (x|y)
2
/(y|y)>=0 |(x|y)
2
=<(x|x)(y|y)
R
n
(x|y)=
1
n
x
i
y
i
| |
1
n
x
i
y
i
|=<(
1
n
x
2
)
1/2
(
1
n
y
2
)
1/2
C
n
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
x
y
x
y
x
y
x
1
1
2
/
1
2
2
/
1
2
1
1
)
)
|
|
(
)
|
|
(
|
|
|
)
|
(
C <-l,l>
2
/
1
2
2
/
1
2
)
|
)
(
|
(
)
|
)
(
|
(
)
(
)
(
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
y
t
x
l
l
l
l
l
l
Lemat: Przestrzeń z
S jest przestrzenią unormowaną ||x||=(x|)
1/2
Dowód: 1) ||x||=0 (
(x)=0 x=0 ) 2) ||
x||=(
x|
x)
1/2
=|
| ||x|| 3)
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
|
2
|
Re
2
|
|
|
|
|
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
y
x
x
x
y
x
y
x
y
x
N
CBS
Stąd x y
x
y
Def. Przestrzeń liniową X z
S
nad K(C, R) nazywamy przestrzenią UNITARNĄ (pre Hilberta). Jeżeli
jest zupełna nazywamy ją przestrzenią
Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną.
FAKT W przestrzeni unitarnej mamy: *
x y
x
y
x y
,
0
x, y są liniowo zależne
ORTOGONALNOŚĆ
DEF. X - przestrzeń liniowa z
S
,
x y
,
0 . Jeżeli
x y
|
0 to piszemy x
y mówiąc, że element x i y
są ortogonalne. (Uwaga
x
x|0
0 )
Układ* x
x
n
1
,..., ,... nazywamy
1) ortogonalnym, jeżeli x
k
x
l
x
k
x
k
l
l
0
2) ortonormalnym, gdy jest ortogonalny i unormowany (tj.
x
k
k
1,
)
Np. a) w R
n
x y
x y
i i
n
|
1
baza standardowa
i
jest układem ortogonalnym b) w
C
l l
x y
x t y t dt
l
l
, ,
|
układ trygonometryczny
n
i
k
c
t
t
e
k
,
Z jest ortogonalny
7
A
B
(Układ
1
2
,
n
jest ortonormalny)
Lemat Układ ortogonalny jest liniowo niezależny
1 1
1 1
1
2
0
0
0
0
0
0
1 2
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x
i
n
n n
i
n n
i
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
...
| |
..
|
,
|
...
|
...
( | )
,
, ,...,
Proces ortogonalizacji (E.Shmidt)
W przestrzeni unitarnej X elementy
x
x
n
1
,..., ,... są liniowo niezależne. W X istnieje układ ortogonalny
e
e
n
1
,..., ,... o własności *
span x
x
span e
e
n
n
1
1
,.., ,..
..., ,...
,
Konstrukcja:
e
f
f
x
1
1
1
1
,
|
e
f
f
x
a e
2
2
2
2
21 1
,
z żądaniem
f
2
e
1
stąd
a
f e
e
21
2
1
1
2
|
|
e
f
f
x
a e
a e
3
3
3
3
32 2
31 1
,
z żądaniem
f
3
e e
1
2
,
a
x e
e
32
3
2
2
2
|
a
x e
e
31
3
1
1
2
|
...
e
f
f
x
a
e
a e
n
n
n
n
n n
n
n
,
...
,
,
1
1
1 1
a
x e
e
a
x e
e
n n
n
n
n
n
n
,
|
,...,
|
1
1
1
2
1
1
1
2
Tak skonstruowany układ jest ortogonalny.
Układ:
e
e
e
e
n
n
1
1
,...,
,... jest przyporządkowanym układem ortonormalnym
Lemat Każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem
K R C
jest przestrzenią Banacha (tzn.
można tak zdefiniować normę, że będzie ona przestrzenią Banacha)
X - przestrzeń liniowa nad ciałem
K R C
,
,...,
x
x
n
1
- n - wymiarowa baza
X x
x e
x
x
x
i i
izomorf
n
n
.
~
,...,
1
1
K
n
x
x
x
i
n
2
1
1
2
~
jest to norma w X |
X
izom
.
K
n
- przestrzeń zupełna (Banacha)
Jeśli X ,
,
0
jest jakąś normą w X, to
0
~
| *
x
x e
x e
M x
M
e
i i
n
i
i
CBS
n
i
n
0
1
0
0
1
0
2
1
1
2
|
S - sfera jednostkowa w
K
n
:
~
x
1 - jest to zbiór zwarty (jako domknięty i ograniczony). Każda norma
jest funkcją ciągłą (
x
y
x y
)
Stosujemy twierdzenie Weierstrassa:
sup
sup
'
|
|
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
S
x
x
x
x
x
x
x
x S
x S
p
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
Wniosek W n-wymiarowej przestrzeni unitarnej, istnieje baza ortogonalna (ortonormalna) |
x
x
n
1
,...,
-
liniowo niezeleżne
PS
n
ortogona
y
f
f
1
,...,
ln
- baza ortogonalna
Komentarz: | Przestrzeń Euklidesa: | n-wymiarową przestrzenią Euklidesową nazywamy n-
wymiarową przestrzeń unitarną (rzeczywistą K=R, zespoloną K=C)
V - rzeczywista przestrzeń Euklidesa (
| ,
) | Nierówność CBS:
x y
x y
x y
x y
x y
|
,
|
0
1
1 .
Każdą liczbę
0,
o własności:
cos
|
x y
x y
nazywamy kątem między wektorami
S:
(w przestrzeni Euklidesa)
x y
x y
|
cos
Ciąg odwzorowań liniowych w przestrzeni Banacha: X, Y - przestrzeń unormowana nad
K R C
|
A x
x
addytywne
jednorodne
odwzorowanie liniowe
o
o
:
1
2
Równanie liniowe: Ax
y
| niesprzeczne
y Im A | x
x
x
x
x
s
s
0
0
|
ker A
- przesunięcie
(wektor)
FAKT Równoważne są warunki: (I) A jest ciągłe w pkt. x
0
0
| (II) A jest ciągłe (w ogóle) |
(III)
M
x X
Ax
M x
0
Just.: (I)
(II) x
n
n
0,
, to
x X
| x
x
x n
n
,
|
A x x
Ax Ax
Ax A
Ax
Ax
n
n
n
0
0
(II)
(III) Przypuśćmy, że (III) nie zachodzi:
M
x
M
M
n X
x
x
n
n
n
n
n
n
n
M
n
n
Ax
M x
M
n n
A
n x
A
x
n x
x
x
x
n x
0
0
1 2 3
1
1
0
,
, , ...
,
|
8
A
B
n
x
Ax
n
n
n
0
0 - sprzeczność
Ex. Każde odwzorowanie liniowe:
A:R
R
C
C
n
m
n
m
jest ciągłe
R
R
n
m
:
: '
e
e
Ax
a x
a x
a x
a x
n n
m
mn n
11 1
1
1 1
..
...
...
U (III) A jest ograniczone w każdej kuli
x
r
Ax
Mr
spełnia warunek Lipschitza
x x
X
Ax
Ax
A x
x
M x
x
1
2
1
2
1
2
1
2
,
,
DEF Jeżeli
A X
Y
:
jest ciągiem odwzorowań liniowych, to liczbę
A
M
Ax
M x
x X
inf
|
0
nazywamy normą ciągłego operatora liniowego A.
FAKT Dla ciągłego odwzorowania liniowego
A X
Y
:
mamy
A
Ax
A
Ax
x
x
x
sup
sup
1
0
A
x
Ax
x
M
0 |
(III) | x
Ax
A
1
FAKT Przestrzeń liniowa
B X Y
,
wszystkich ciągłych odwzorowań liniowych A, B z X do Y (X, Y -
przestrzeń unormowana) jest przestrzenią unormowaną w sensie równości
( )
P
A
A
A
A
A
0
0
A B
A
B
Dotyczy w szczególności przestrzeni
B X
B X X
,
X
B X K
*
,
-przestrzeń dualna
B X jest algebrą w sensie mnożenia - składanie odwzorowań
AB B X
, to
AB B X
. Ponadto
AB
A B
AB jest ciągiem odwzorowań liniowych w X
AB
AB x
A Bx
A Bx
A B
x
x
x
sup
sup
sup
1
1
1
Także
I idx
, to
I
1
A
A A
AA
1
2
,
,... , to A
A
n
n
B K K
Mat
K
n
m
K
m n
,
( )
R C
A - odwzorowanie liniowe ciągłe
A
A
A
Ax
Ax
Ax
x
sup
|
1
Przestrzenie unormowane:
B K K
Mat
n
m
m n
,
,
są liniowo izometryczne
Mat
K
A
a
K
A
a
m n
in
ik
k
m
i
n
R C
2
1
1
1
2
FAKT Jeżeli X, Y - p. unormowana, a
Y B
, to
B X Y
,
- jest przestrzenią unormowaną
S
N
n m N
n
m
x
n
m
n
m
n
m
A
A
A
A x
A
A
x
x
n m N
A x A x
x
0
0
2
,
,
A B X Y
,
FAKT Jeżeli
X
B A B x
,
A
q
to I
A
1,
ma ciągłe odwzorowanie[
I
A
B X
1
]
I
A
A
k
k
0
Szereg
A
k
k
0
jest zbieżny w
B X
A
A
A
A
q
q
n
m
n
n
n
m
n m
..
..
..
,
0
A
A
A
n
k
1
0
..
|
zbieżne
sprawdzamy, że
I
A B
I
A
I
A
A
I
A I
A
A
n
n
n
n
lim
...
lim
...
1
1
Wnioski Niech
X
g
będzie grupą wszystkich odwzorowań liniowych
X
B
A
, które są odwracalne,
X - przestrzeń B
Jeżeli
X
g
A
oraz B w
B X ma dostatecznie małą formę to
X
g
B
A
[tzn.
X
g
jest podzbiorem otwartym w
B X ]
X
g
B
A
I
A
B
A
1
X
g
jeżeli
1
1
q
B
A
1
A
q
B
K
Mat
A
n
K - algebra zamknięta
x
Ax
x
|
,
Jeśli ciało jest algebrą zamkniętą, to macierz posiada wektory i wartości własne A
Mat
n
(K) , K- ciało
algebr. zamknięte
x,
Ax=
x
Jeśli ciało jest algebraicznie zamknięte, to macierz posiada wektory i wartości własne.
9
A
B
Wektory i wartości własne odwzorowania
A
B(X) dimX=n
Def. Wartości oraz wektor własny przekształcenia liniowego A: W X obieramy bazę e=(e
1
,.....,e
n
)
! A w Mat
n
(K), że Ax=Ax
x,
(
0) wektor i wartość własna przekształcenia liniowego A:
Ax=
x
Ax=
x
Jeżeli przechodzimy z bazy e do f i P jest macierzą przejścia [f =Pe], to A
B=P
-1
AP
zatem macierze podobne mają to samo widmo [
(A)=
(B), x=Px’ ].
Wektory i wartości własne mogą ulec zmianie przy zmianie bazy.
Fakt: Jeżeli V to n-wymiarowa przestrzeń Euklidesa, to każda forma liniowa f na V [f: V
K] ma postać:
f(x)=(x
y)
x
X gdzie y
V jest jednoznacznie określonym elementem
ponadto odwzorowanie V
*
f
y
V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy k=C
Wn: V ma bazę:
n
i
i
i
n
i
i
i
y
x
e
f
x
e
x
f
x
f
1
1
)
(
Fakt: Jeżeli odwzorowanie A
B(X) jest liniowe to
y
V odwzorowanie V
x
(Ax
y)
K jest formą
liniową nad V
Zatem
y
V istnieje jedyny element z=A
*
y w V, że (Ax
y)= (x
A
*
y)
Odwzorowanie A
*
: V
X jest liniowe
Spr: x,y
1
,y
2
V
,
K, to
(Ax
y
1
+
y
2
)=(x
A
*
(
y
1
+
y
2
))=
*
(Ax
y
1
)+
*
(Ax
y
2
)=
*
(x
A
*
y
1
)+
*
(x
A
*
y
2
)=(x
A
*
y
1
+
A
*
y
2
)
DEF: Jeżeli A
B(V) to operator liniowy A
*
: V
V określony żądaniem :
(Ax
y)= (x
A
*
y)
x,y
K nazywamy operatorem sprzężonym do A
szczególnie: A=A
*
- operator samosprzężony (Ax
y)= (x
Ay)
Komentarz:
I
*
=I
(A+B)
*
=A
*
+B
*
(
A
*
)=
*
A
*
(A
*
)
*
=A
(AB)
*
=B
*
A
*
(A
-1
)
*
=(A
*
)
-1
, gdy A nieosobliwa
A
*
=A
(A)
R - widmo macierzy Hermiitte’a jest rzeczywiste
U- unitarna
(A)
S – widmo macierzy unitarnej leży na obrębie koła jednostkowego
Informacje o diagonalizacji macierzy
F1 Macierz A
Mat
n
(K) K- ciało algebraicznie zamknięte. Wdanej bazie e=(e
1
,...,e
2
) jest macierzą
diagonizowalną
gdy e jest bazą złożoną z wektorów własnychmacierzy
F2 Układ wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym operatora liniowego A:
V
V jest liniowo niezależny
Gdy wartości własne operatora A są jednokrotne, to wektory własne tworzą bazę V
F3 Wektory własne operatora samosprzężonego na przestrzeni n-wym Euklidesa V nad ciałem K (R lub
C) odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne
D. Niech
1
,
2
(
1
2
) – wartości własne operatora A, Ax
1
=
1
x
1
Ax
2
=
2
x
2
*
=
R
(Ax
1
x
2
)=(x
1
Ax
2
)= (
2
x
1
x
2
)= (x
1
x
2
)=
(x
1
x
2
)
(Ax
1
x
2
)= (
x
1
x
2
)=
(x
1
x
2
)
(
1
-
2
)(x
1
x
2
)=0
(x
1
x
2
)=0
x
1
,x
2
są ortogonalne
A
Mat
n
(K), K – alg.zamkn.
x,
| Ax =
x
Jeśli ciało jest alg. zamknięte, to macierz posiada wektory własne i wartości własne.
Wektor i wartość ODWZOROWANIA:
A
B(x), dimX = n
Def. Wartość własna oraz wektor własny przekształcenia liniowego A:
W X obieramy bazę e=(e
1
, ... , e
n
)
! A w Mat
n
(K), że Ax=Ax
, x (
0) przekształcenia liniowego A:
Ax =
x
Ax =
x
Jeżeli przechodzimy z bazy e
f i P – macierz przejścia [f=Pe], to A
B=P
-1
AP.
A
B
A=P
-1
BP (P – nieosobliwa)
Zatem (macierze podobne mają to samo widmo)
1
(B) =
(A)
2
x=Px’
Wektory i wartości własne mogą ulec zmianie przy zmianie bazy.
FAKT
Jeżeli V – przestrzeń Euklidesa(n), to każda forma liniowa f na V [f:V
lin
K] ma postać
f(x) = (x|y),
x
X
,
gdzie y
V – jest jednoznacznie określonym elementem.
Ponadto odwzorowanie
V
*
f
y
V jest liniowe gdy K=R i jest antyliniowe gdy K=C (stałą
wył. się ze sprzężeniem).
Wsk. V ma bazę
n
i
i
lin
n
i
i
i
y
x
e
f
x
e
x
f
x
f
1
1
)
|
(
)
(
)
(
)
(
FAKT
Jeżeli A
B(V), to
y
V
odwzorowanie
V
x
(Ax|y)
K
Jest formą liniową nad V.
Zatem
y
V
istnieje jedyny element z=A
*
y w V, że
(Ax|y)=(x|A
*
y)
Odwzorowanie A
*
:V
V jest liniowe.
Spr.
x,y
1
,y
2
V,
,
K to
(Ax|
y
1
+
y
2
)=(x|A
*
(
y
1
+
y
2
))
=
(Ax|y
1
)+
(Ax|y
2
)
=
(x|A
*
y
1
)+
(x|A
*
y
2
)
=(x|
A
*
y
1
|+
A
*
y
2
)
czyli A
*
jest liniowe, tu
B(V).
DEF. Jeżeli A
B(V) to operator liniowy A
*
:V
V
określony żądaniem (Ax | y)=(x | A
*
y),
x,y
K
nazywamy OPERATOREM SPRZĘŻONYM do A.
Szczególnie A=A
*
, to mówimy że A jest op.samosprzężonym
(Ax | y) = (x | Ay );
Komentarz:
I
*
=I, (A+B)
*
=A
*
+ B
*
, (
A)
*
=
A
*
(A
*
)
*
=A, (AB)
*
=B
*
A
*
(A
-1
)
*
= (A
*
)
-1
, jeżeli A jest nieosobliwa
ćw. Jeżeli A
B(V), e=(e
1
,... e
n
) baza V, to
(
| )
, (
| )
*
*
Ax y
x Ay
A x y
x A y
t
t
,
gdy A[(Ae
i
| e
j
)]
A
*
=A =>
(A)
R widmo macierzy Hermitte’a jest rzeczywiste
U - unitarna =>
(U)
S widmo macierzy unitarnej leży na
obrzeżu koła jednostkowego.
INFORMACJE O DIAGONALIZACJI MACIERZY
(F1) Macierz A
Mat
n
(K), K-ciało alg.,zamknięte, jest w danej
bazie e=(e
1
,... e
n
) diagonalna e jest bazą złożoną z wektorów
własnych macierzy.
x
x e
x
x Ae
i i
i
n
i
i
i
n
, A
10
A
B
x
e
x
x
e
e
i
i
n
i
n n
n
i
1 1
1
0
0
0
0
0
0
...
...
(F2) Układ wektorów własnych odpowiada różnym wart.
własnym. Op. lin. A:V
V jest liniowo niezależny
Gdy wartości własne operatora A są jednokrotne to
wektory własne tworzą bazę V.
Niech e
1,
...,e
k
, 1
k
n - wektory własne odp. Kolejnym
wart.własnym
1
…
k
, e
1
{e
1
}
e
1
…e
k
są lin. niezależne
indukcja(1
l
k
n)
1)
1
e
1
+…
l
e
l
=0 =>
1=…=
l
=0
2)
1
e
1
+…
l
e
l
+
l+1
e
1+1
=0
1)
, 2)-1)
=:
l+1
e
l+1
=0 =>
l+1
= 0
(F3) Wektory własne wektora samosprzężonego na przest
n wymiarowej Euklidesa V nad ciałem K (R lub C) odp.
różnym wartościom własnym są ortogonalne.
D-d. Niech
1
(
x
1
),
2
(
x
2
) (
1
2
)-wart.wł. operatora A
Ax
1
=
1
x
1
, Ax
2
=
2
x
2
(Ax
1
|x
2
)=(x
1
|Ax
2
), bo A=A
*
=(x
1
|
1
x
2
) =
(x
1
x
2
),
=
*
R
(Ax
1
|x
2
) = (
x
1
|x
2
) =
1
(x
1
|x
2
) => (
1*
2
)(x
1
|x
2
)=>(x
1
|x
2
)=>0
x
1
ort x
2
TW. O RZUCIE ORTOGONALNYM
Jeżeli w przest. Euklidesa V, X
0
jest
podprzestrzenią właściwą (nie jest ident z X
i nie jest zerowa), to V=X
0
X,
gdzie
x
0
X
mamy x
X
0
(x
x
0
,
x
0
X
0
)
(F4) Jeżeli A jest operatorem samosprzeżonym na
n-wymiarowej przest. Euklidesa V, to przest. V ma bazę
ortogonalną (i też ortonormalną) złożoną z wekt.własnych A.
D-d,szkic.
1
-wart. e
1
-wekt.wł.op.A, ||e
1
||-1, x
1
={e
1
}
V=X
1
X
n-1
, e
1
X
n-1
. Małą podprzestrzeń
2
,e
2
X
n-1
,
tak wybrać e
2
aby e
1
e
2
. Rozważam podprzest. na e
1
,e
2
,
istnieje podp. ortog. do p.
3
,e
3
X
n-2,
TWIERDZENIE - macierz samosprzężona jest diagonali-
zowalna. Dokładniej: gdy A
Mat
n
(C) ma własność A
*
=A,
to istnieje macierz unitarna S, że S
*
AS=diag(
1
,…,
n
),
gdzie
1
,…,
n
- wart. własne mat.A, przy czym każda wartość
wyst. tyle razy ile wynosi jej krotność jako pierwiastek
równania charakterystyczngo.
Obieramy przestrzeń Eulidesa V=C
n
z
S (x|y)=
x y
i i
n
1
rozumiejąc xe x
i
y
i
- współrzędne elemntu x,y, odp. w bazie
standardowej (ortogonalnej)
Niech A będzie operatorem samo-
sprzężonym na C
n
, który w bazie
ma zadaną macierz (samosprz)A.
Układ wektorów własnych operato-
ra A (a więc A) tworzy bazę ortonor-
malną przestrzeni C
n
:
e
e
e
n
1
... Niech elementy e
1
,...,e
n
bazy
e mają w bazie standardowej
współrzędne:
Niech P - macierz przejścia z
do e. Wtedy P
t
=e
P=e
t
=
n
n
n
nn
...
...
1
1
Wiemy że (e
i
|e
j
)=
1
0
,
,
i
j
i
j
PP
*
=
n
n
n
nn
n
n
n
nn
...
...
...
...
. .
1
1
1
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=I
(UU
*
=Ie
’
U
*
U=I U
*
=U
-1
), więc P=S-macierz unitarna.
Zatem macierz A op A po przejściu z bazy
do e będzie
postaci P
*
AP (P
*
=P
-1
). Z drugiej strony m. A op A w
bazie ortonormalnej e ma postać diagonalną diag(
1…
n
)
Mamy tezę: S
*
AS=diag(
1…
n
).
FORMY LINIOWE, FORMY KWADRATOWE
X-p.l. nad K=R, f: X*X
R, które jest liniowe ze względu
na obie zmienne f=f(x,y): f(x+z,y)=f(x,y)+f(x,y)
f(
x,y)=
f(x,y), f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z), f(x,
y)=
f(x,y)
nazywamy FORMĄ DWULINIOWĄ. Jest ona symetryczna
jeśli
x,y
X f(x,y)=f(y,x). Jeżeli zachodzi równość
f(x,y)=-f(y,x) to formę nazywamy skośnie symetryczną.
Zad. Każdą f.2lin f na X można przedstawić(jednoznacznie)
w postaci sumy 2lin form: symetrycznej i skośnie symetrycz.
f
s
,f
a
,
x,y
X f=f
a
+f
a
(np. f(x,y)=0,5(f(x,y)+f(y,x))+0,5(f(x,y)-f(y,x)) )
Forma dwuliniowa na n-wym przest. Euklidesa V:
x
x e y
y e
i i
j j
n
n
1
1
f(x,y)=f(
x e
y e
i i
j j
i
n
n
,
1
)=
x y f e e
i
i j
n
j
i
j
, ,
( ,
1
)=**
f(e
i
,e
j
)
a
ij
, A=[a
ij
] - macierz formy 2lin w bazie e
W ustalonej bazie forma jest wilomianem wielu zmien.
Przebiegających i,j. **=
a x y
ij i
j
i j
n
, ,
1
Zad. f jest symetryczna(skośnie sym.)A jest sym(skos.sym)
Jeżeli f jest formą 2lin symetr. na V, to f(x,y)=x
t
Ay=(Ax|y)
=(x|Ay)
Zmieniamy bazę, jak zmieni się macierz formy ?
Na V f jest symetr. i ma w bazie e postać f(x,y)=x
t
Ay
e
’
=P
t
e, x=Px
’
, y=Py
’
, f(x,y)=x
t
Ay=(Px
’
)
t
A(Py
’
)=
=x
’t
(P
t
AP)y
’
A
e
-macierz formy w bazie e => P
t
AP-macierz
formy w e
’
FORMY KWADRATOWE
Jeżeli f=f(x,y) jest symetryczną formą dwuliniową na V, to funkcję f: X
R
f(x)=f(x,x) - wartość
formy dwuliniowej na przekątnej nazywamy formą kwadratową na V. Mówimy wtedy, że f(.) jest formą
biegunową (polarną) formy kwadratowej f. f(
x)=
2
f(x)
x
V
i
R
Zachodzi równość:
f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(x,y)+f(y,y)
f(x,y)=0.5(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y))
x,y
V
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
...
. .
n
e
e
e
n
n
n
n
nn
1
1
1
...
...
X
0
x
11
A
B
Forma dwuliniowa symetryczna na przekątnej:
f(x,y)=0.5(f(x,y)-f(x)-f(y))
Zmiana macierzy formy:
V,e,f –forma liniowa na V, A[a
ij
], a
ij
=f(e
i
,e
j
)
1)
n
j
i
j
i
ij
x
x
a
x
f
1
,
)
(
=x
T
Ax
(Ax
n)
(x
An)
2)
V(e
e’)
f(x)=x
T
Ax=(x’)
T
(P
T
AP)x’
xPx’
macierz formy
Def Jeżeli forma kwadratowa f ma postać (w pewnej bazie) f(x)=
1
x
1
2
+...+
n
x
n
2
i
R to mówimy o
tej formie, że ma postać kanoniczną.
Powiedzmy, że
1
,...,
k
>0, zaś
k+1
,...,
n
<0,
niektóre mogą być zerami.
Wtedy:
i
i
i
x
x
1
i=1,...,k
zaś:
i
i
i
x
x
1
i=k+1,...,n
dla pozostałych x
i
=x
i
’.
Wtedy forma daje się zapisać jako
f(x)=x
1
2
+...+ x’
k
2
- x’
k+1
2
-...-x’n
2
Jest to postać normalna formy kwadratowej.
Tw (O redukcji formy kwadratowej do postaci kanonicznej)
Niech f=f(x)=x
T
Ax będzie f. kwadratową na danej bazie e przestrzeni liniowej.
Istnieje przekształcenie ortogonalne
V
V
x=Sx’ (gdzie S jest macierzą unitarną) ,że forma f ma w pewnej bazie e’ postać kanoniczną
f(x)=
1
x’
1
2
+...+
n
x’
n
2
Dow A-a macierz formy na danej bazie e przestrzeni V jest symetryczna
(A
t
=A) Ma więc widmo rzeczywiste.
1
,...,
n
– wartość własna A. Wiadomo, że wektory własne
macierzy A : e’
1
,...,e’
n
tworzą bazę ortogonalną przestrzeni V.
Mamy e’=P
T
e ,x=Px
Zatem f(x)=(Px’)
T
A(Px’)=x
T
Ax=(x’)
T
(P
T
AP)x’
Jednak (Tw. podst) P diagonalizuje A, gdy P
T
AP=diag(
1
,...,
n
)=D
zatem f(x)=(x’)
T
D
x= D
[x’
1
,...,x’
n
]
n
...
0
0
...
...
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
n
x
x
x
. . .
2
1
=
1
x’
1
2
+..+
n
x’
n
2
S=P=
n
e
e
'
...
'
1
Def Formę kwadratową f na V nazywamy
f(x)>0 dodatnio okr
1) określoną , jeżeli
x
0
f(x)<0 ujemnie okr
f(x)>=0 dodatnio półokr
2) półokreśloną, jeżeli
x
0
f(x)<=0 ujemnie półokr
3)
nieokreśloną, jeżeli
x’
0 i x’’
0 ,że f(x’)f(x’’)<0
Wniosek: Forma kwadratowa f na V (=R
4
) jest:
1)
dodatnio określona
1
,...,
n
>0
półokreślona
1
,...,
n
>=0 i
i
0
2)
ujemnie określona
1
,...,
n
<0
półokreślona
1
,...,
n
<=0 i
i
0
3)
nieokreślona
1
,
2
,
1
2
<0
(J)
f(x)=
1
x’
1
2
+..+
n
x’
n
2
>0
i
>0
f(x)=
1
x’
1
2
+..+
n
x’
n
2
<0
i
<0
Tw (Sylwester):
Forma kwadratowa f na R
n
jest:
1)
dodatnio określona
wszystkie minory główne macierzy A są dodatnie
M
1
=a
11
>0, M
2
=
2 2
2 1
1 2
1 1
a
a
a
a
, ..., M
n
=detA>0
dodatnio półokreślona:
M
1
=a
11
>=0, M
2
=
2 2
2 1
1 2
1 1
a
a
a
a
, ..., M
n
=detA>=0
2) ujemnie określona
(-1)
k
M
k
>0 k=1,2,...,n
ujemnie półokreślona
(-1)
k
M
k
>=0
W pozostałych przypadkach forma jest nieokreślona.
Examplum :
R
n
Zbadać odwrotność formy :
f(x)=a
1
+ ... + a
n
x
1
2
+ 2(x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ ... + x
n-1
x
n
)
a
1
1 ... 0
1 ...
I Twierdzenie Sylu
A= . . .
II Metoda widmowa
0 ... 1 a
n
Twierdzenie Gershgorina :
Widmo macierzy A jest zawarte w sumie kół G. i – te koło G to :
D
i
|
- a
1
| <
1
= 1
|
- a
n
| <
n
= 1
2<i<n-1 |
- a
0
|<
i
= 2 | a
i
> 2 na prawo
Stąd widmo w R => forma dodatnio określona
Zamiana formy kwadratowej do postaci kanonicznej.
Metoda Lagrange’a
W unitarnej bazie mamy :
I f(x) a
1
= a
n
<> 0
F(x) = a
1
x
1
2
+ (...) x
1
+ ( reszta bez x
1
) = a
1
( x
1
2
+ 2 a
12
/a
1
x
1
x
2
+ ...) + pozostałość
12
A
B
Do postaci kanonicznej
= a
1
(x
1
+
1
x
2
2
+ ...)
2
+ pozostałość
II
iii
= 0 ,
(n) =
i,j = 1
a
ij
x
i
x
j
= 2
j>i
a
ij
x
i
y
j
a
12
=a<>0
f(x)=a x
1
x
2
+ Px + Qx
2
+ R
P – funkcja liniowa nie zawierająca zmiennych x
1
, x
2
Q - funkcja liniowa nie zawierająca zmiennych x
1
, x
2
R – pozostała część formy kwadratowej nie zawierająca x
1
, x
2
Piszemy :
(x) = a ( x
1
+ Q/a ) ( x
2
+ P/a ) + r – PQ/a = a( x
1
’2
– x
2
’2
) + f | f
1
= R – PQ/a
Def: f – forma kwadratowa na X (dim
R
X = n) to r(f)=r(A)
Definicja jest poprawna, ponieważ
e,A e’ , Ae = P
t
AP
r( Ae’ ) = r( P
t
AP ) = r(A)
Tw. Sylwester o bezwładności formy kwadratowej .
Jeżeli f jest formą kwadratową (w pewnej bazie e), to istnieje baza e’’, że
d (szkic)
Tw. Podstawowe e,e’ ( baza wekt. własn. A z wektorem unormowanym )
Def. Sygnatura formy kwadratowej f.:
sgn f = (p,q)
Niektóre informacje o równaniach liniowych:
(0) f: XX - odwzorowanie liniowe
x
s
jest rozwiązaniem szczególnym | f(x
s
) = y
to każde rozwiązanie równania f(x) = y ma postać:
(1) Ax = y (A A , K
n
K
n
)
Jeżeli r(A) = r(Ay)
x = x
o
+ x
s
x
o
: Ax = 0
x
s
: Ax = y
k + r = n
k = n – r
a) AX + XB = C
A,B,C – macierz dana w Mat
n
(C)
A lub B jest nie nieosobliwe
<=> X + A
-1
XB = A
-1
C
(3) Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu:
I – ustalony przedział na osi R
C
n
(I) – przestrzeń liniowa wszystkich funkcji rzeczywistych UC
n
na K
l
n
C
n
(I) C(I)
l
n
jest odwzorowaniem liniowym z C
n
(I) do C(I)
l
n
– to tworzymy operator równań liniowych n-tego rzędu
Równanie
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu
Np.
Def. Zagadnienie początkowe ( też zagadnienie Cauchy ) dla równania l
n
x = y polega na
poszukiwaniu rozwiązania x = x(t), które spełnia warunek:
)
(
2
1
)
(
2
1
2
1
2
2
1
'
1
a
Q
P
x
x
x
a
Q
P
x
x
x
a
Q
P
x
x
x
a
Q
x
x
x
2
1
2
2
1
1
q
i
i
p
p
i
i
x
x
x
f
1
2
,
,
1
2
,
,
)
(
f
r
q
p
Z
q
p
liczby
,
,
q
i
i
p
n
i
i
i
x
x
x
f
1
2
,
1
2
,
)
(
i
i
i
e
e
e
e
*
,
,
,
,
,
q
i
i
p
p
i
i
x
x
x
f
x
f
1
2
,
,
1
2
,
,
)
(
)
(
q
p
q
p
f
Uwaga
znamy
'
'
sgn
'
'
:
in f
)
(
k er
k er
0
)
(
0
,
.
0
,
)
(
y
y
x
f
e
x
f
b a za
e
f
x
x
f
y
d
n iejed n o ro
y
jed n o ro d n e
y
x
f
x
f
x
x
x
x
o
s
o
ker
:
0
0
1
)
)
((
)
(
1
,
)
(
)
lub
(
)
2
(
y
A
y
A
y
A
I
x
y
x
A
I
y
Ax
x
q
A
O
x
B
a
R
K
B
X
k
k
k
e
ro zwia za n i
jed n o
istn ieje
to
q
B
A
O
B
A
A
X
B
A
XB
A
AX
C
Ma t
B
A
n
1
:
Jezeli
))
(
(
1
1
1
1
I
na
ciagle
funkcje
to
t
a
a
gdzie
a
t
x
a
t
x
a
t
x
l
i
i
n
n
n
o
n
)
(
)
(
...
)
(
)
(?))(
(
1
)
(
)
)
(
)
(
,
)
(
(
I
C
t
f
f
f
x
x
f
x
l
n
0
,
.
0
,
f
d
niejednoro
f
jednorodne
x
x
dx
x
f
c
dt
t
f
y
I
C
f
x
f
y
0
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
'
13
A
B
Tw 1. ( o istnieniu jednoznaczności )
Jeżeli f , a
i
= a
i
(t) są ciągłe na I, to
zagadnienie początkowe O ma jedyne rozwiązanie:
Tw 2. Jeżeli a
i
= a
i
(t) są ciągłe na I, to dim ker l
n
= n.
Ex. n=2
x''(t) + px'(t) + qx(t) = f(t)
x'' = -px' – qx + f
Q | x
1
, ... , x
n
UB
Operator równania liniowego n-tego rzędu l
n
stałych współczynnikach
a
i
(t) = a
i
= const. i = 1, 2, ...
pozwala skonstruować UB (układ bazowy ).
D. 1) Poszukujemy rozw. równania szczególnego l
n
x = O w postaci
FAKT.
Przypisując w.w. zasadzie ...
Ex.
x'' +
x = O
R
,
sin
co s
sin
co s
-
:
ch arak t.
e
Ró wn an i
2
1
2
1
2
2
2
C
C
t
C
t
C
x
t
t
UB
i
O
e
x
t
Ćw.
x'' + 2x' + 2x = 1
najpierw: x'' + 2x' + 2x = O | x = e
t
równanie jednorodne
stąd :
'' + 2x' + 2x = O
x
o
= e
-t
( C
1
cost + C
2
sint )
Układ normalny równań różniczkowych liniowych
a
in
= a
in
(x) - to funkcje ciągłe na ICR
Równanie (*) | x = x(t) ,
zagadnienie początkowe
0
)
,...,
'
,
(
Zap is
o b ran e
d o wo ln ie
)
,
...
,
(
:
)
(
,
...
,
)
(
'
,
)
(
)
1
(
1
1
)
1
(
t
n
n
n
o
o
n
o
n
o
o
o
x
x
x
f
x
l
są
R
i
I
t
g d zie
t
x
t
x
t
x
n
R
I
t
)
,
(
0
I
t
t
x
x
)
(
)
(
sin
,...,
sin
,
co s
,...,
co s
,
calek
ch
n iezalezn y
lin io wo
u k lad
jemu
o d p o wiad a
to
ch arak t.
ró wn .
iem
p ierwiastk
k ro tn y m
-
k
jest
Jezeli
...
)
(
1
)
)
(
(
)
(
lin io w.
ró wn an ia
o p erato r
)
sin
co s
(
,
1
sin
1
co s
DLA
S TYCZNE
CHARAKTERY
RÓW NANIE
1
1
1
0
n
t
t
k
t
t
t
t
k
t
t
t
O
x
l
n
n
n
n
n
t
t
n
t
t
t
e
O
t
e
t
t
te
e
O
t
e
t
t
te
e
i
O
a
a
a
l
a
O
x
n
e
O
e
l
O
x
l
t
ie
t
e
C
i
e
x
n
1
n
sin
co s
1
4
2
2
2
t
e
t
e
UB
i
O
t
t
y
wielo mian
-
,
R
,
)
sin
)
(
co s
)
(
(
2
1
)
sin
co s
(
2
1
1
2
'
2
'
'
2
1
0
Q
P
t
t
Q
t
t
P
e
x
l
t
C
t
C
e
x
x
x
x
x
x
x
t
n
t
s
s
)
sin
co s
(
)
sin
co s
(
1
,
|
|
sin
co s
sin
,
co s
.
.
'
'
co s
'
'
)
(
ch arak t.
ró wn .
iem
p ierwiastk
jest
-
sto p ień
)
,
(
max
sto p n ia
wielo m.
-
,
g d zie
*
)
sin
)
(
co s
)
(
(
:
p o staci
zesp o lo ną
calk ę
ma
)
I
I
(
ró wn an ie
)
(
ch arak t.
ró wn an ia
iem
p ierwiastk
k ro tn y m
-
k
jest
i
zesp o lo n a
liczb a
Jezeli
a
)
I
I
(
0
2
1
0
2
2
2
2
2
1
2
1
1
t
B
t
A
t
x
x
t
t
A
t
x
k
i
O
t
C
t
C
x
t
t
C
R
O
x
x
i
O
O
t
A
x
x
O
l
i
d g
d g Q
d g P
W
W
t
t
t
W
t
t
W
e
x
O
l
co n st
W
s
n
t
s
n
n
n
n n
n
n
n
f
x
a
x
a
x
f
x
a
x
a
x
...
'
..........
..........
..........
..........
...
'
(*)
1
1 1
1
1
1
1 1
1
f
Ax
x '
(* )
]
[a
A
,
ciag le
fu n k cje
-
in
1
1
n
n
x
x
x
f
f
f
14
A
B
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
a
x
a
x
x
x
x
x
x
x
a
x
a
x
a
x
a
f
x
l
x
l
R
t
x
f
x
x
1
2
1
1
1
3
2
2
1
)
1
(
1
)
(
1
1
2
1
1
)
1
(
1
)
(
0
n
0
0
...
'
'
'
'
...
'
'
..........
'
o zn .
...
|
(* )
u k ad em
z
jest
lin io we
Ró wn an ie
)
,
(t
|
)
(
A
'
1
0
0
...
0
1
0
,
1
1
1
n
n
n
x
x
a
a
x
x
w 1. Przy założeniu jak wyżej, zagadnienie początkowe
Tw 2. Maksymalna liczba rozwiązań liniowo niezależnych układu (*) jest
równa n.
Układ o stałych współczynnikach jednorodnych:
1 ,2 ,...
k
)
(
A
)
(
A
)
(
I
n a
stala
macierz
-
A
|
)
(
A
'
0
0
1
0
0
0
t
t
k
n
n k
ik
k
t
t
d s
s
x
x
x
x
x
x
d s
s
x
x
t
x
t
x
f
x
x
0
k
0
0
0
0
0
0
0
...)
A
!
)
(
...
A
!
1
1
(
)
(
...
A
!
)
(
...
)
(
!
1
A
)
(
,
x
k
t
t
t
t
t
x
x
k
t
t
t
t
x
x
t
x
k
x
x
k
k
k
k
Def.
0
)
(
0
0
)
(
A
0
0
)
(
A
!
)
(
x
e
t
x
k
t
t
e
t
t
A
k
k
k
t
t
Funkcja od macierzy:
0
0
A
)
A
(
(* )
to
),
(
A
Jezeli
:
Def.
R
,
)
(
)
R
(
R
ma
)
(
Niech
k
k
n
k
k
k
a
f
C
Ma t
z
z
a
z
f
O
z
K
z
f
f
FAKT
Jeżeli ||A||<R to szereg (*) jest zbieżny w Mat
n
(C) [tzn. def. jest poprawna !]
J.
Mat
n
(C) jest p??? Banacha
Mamy:
Ciąg sum częściowych szeregu (*) spełnia warunek Cauchy, zatem (*) jest zbieżny.
WNIOSEK:
Np.
)
I
przedziale
calym
na
okreśkreś
tzn.
(
globalne
e
rozwiąozwi
)
(
jedno
dokladnie
ma
A
'
0
t
x
f
x
x
.
R
|
z
|
zbiezny w
jest
szereg
ponieważ
A
A
0
k
k
q
p
k
k
k
q
p
k
k
k
z
a
O
a
a
A
macierzy
dla
A
A
)
(
A
|
,
:
ion
Justificat
zbiezny.
jest
(*)
szereg
to
R)
,
K(
(A)
Jezeli
x
x
O
x
x
x
x
O
0
)
A(
0
0
0
A
1
n
1
0
1
2
0
0
A
0
)
(
)
(
A
'
ZP
R
,
)
(
A
,
A
!
1
||
A
||
|
A
)
1
(
A)
1
(
R
|
A
)!
1
2
(
)
1
(
A
sin
)
(
A
A
!
1
!
A
x
e
t
x
x
t
x
x
x
t
C
Ma t
k
t
e
n
l
k
C
Ma t
k
k
e
t
t
n
k
k
t
n
n
k
k
k
n
k
k
k
15
A
B
TWIERDZENIE SPEKTRALNE DLA MACIERZY
Tw. Donforda
Przestrzeń Banacha
X - p. l. nad ciałem K = C lub R. Funkcję X
x
||x||
R o własnościach
N1.
||x|| = 0
x = 0,
N2.
||
x|| = |
| ||x||,
N3.
||x + y||
||x|| + ||y||
nazywamy normą w X. Parę uporządkowaną (X,||.||) - przestrzenią unormowaną.
Stwierdzamy natychmiast, że:
a)
x
X ||x||
0,
b)
x,y
X | ||x|| - ||y|| |
||x - y||
c) Funkcja X
X
(x,y)
d(x,y) = ||x - y||
R
jest metryką w X (tzw., metryka indukowana normą).
d) Metryka (c) jest niezmiennicza względem przesunięcia:
d(x+z,y+z) = d(x,y),
x,y,z
X.
Równość ||x|| = d(x,0) wskazuje, że normą elementu (jego odległość od x) można interpretować jako
długość wektora x.
Ciąg (x
n
) w (X,||.||) nazywamy zbieżnym do x pisząc
x
n
x, n
lub lim x
n
= x, dla n
jeżeli
0
N
0
n
N
||x
n
- x||
(tzn. ||x
n
- x||
0, n
).
Jeżeli
0
N
0
m,n
N
||x
n
- x
m
||
(tzn. ||x
n
- x
m
||
0, m,n
),
to (x
n
) nazywamy ciągiem Cauchy’ego.
Oczywiste jest, że
granica ciągu zbieżnego jest jedyna,
podciąg (x
nk
) ciągu (x
n
) zbieżnego do x, jest zbieżny do x,
ciąg zbieżny jest ograniczony: x
n
x, n
, to
r
0
n
N x
n
K(0,r),
ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego (LECZ NIE NA ODWRÓT).
Ponadto działania strukturalne
K
X
(
,x)
x
X, X
X
(x,y)
x+y
X
oraz norma ||.|| są ciągłe:
(
n
,x
n
)
(
,x)
n
x
n
x, n
,
(x
n
,y
n
)
(x,y)
x
n
+ y
n
x + y, n
,
x
n
x
||x
n
||
||x||, n
(Por. b)
Przestrzeń unormowana (X,||.||) zupełna w sensie metryki (c), a więc o własności
||x
n
- x
m
||
0, m,n
x
X x
n
x, n
,
nazywamy przestrzenią Banacha.
Niech w p.l. X dane będą normy ||.|| oraz ||.||
0
. Mówimy, że są one równoważne pisząc ||.||
||.||
0
, jeżeli w
(X,||.||) zbieżne są te i tylko te ciągi, które są zbieżne w (X, ||.||
0
)
tzn.
||x||
||.||0
x
n
x, n
x
n
x, n
.
FAKT1. W p.l. X (nad ciałem C lub R) o zadanych normach ||.|| oraz ||.||
0
mamy:
||.||
||.||
0
,
>0
x
X
||x||
0
||x||
||x||
0
.
FAKT2. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa X (nad C lub R) jest przestrzenią Banacha
(tzn. w X istnieje norma ||.||, że (X,||.||)
B). W skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha wszystkie
normy są równoważne.
Dowód Niech dim X = n (n
N), e = (e
1
, ..., e
n
) - baza w X.
x
X mamy jednoznaczną reprezentację x =
n
1
n
e
n
. Odwzorowanie
X
x
x
= (
1
, ...,
n
)
K
n
jest izomorfizmem. Ponadto
||x|| = (
n
1
|
k
|
2
)
1/2
(= ||x
||
2
w K
n
)
jest normą w X (także w K
n
). Przestrzenie (X,||.||) oraz (K
n
,||.||
2
) są zatem (liniowo) izometryczne. Stąd
(X,||.||) jest (wraz z (K
n
,||.||
2
)) przestrzenią Banacha.
Niech ||.||
0
będzie dowolną normą w X. Nierówność CBS daje
||x||
0
= ||
n
1
n
e
n
||
0
n
1
|
n
| ||e
n
||
0
(CBS)
||x||, gdzie
= (
n
1
||
k
||
0
2
)
1/2
Przestrzeń Banacha (X,||.||) jest izometryczna z (K
n
,||.||
2
), zatem sfera jednostkowa
S = {x
X: ||x||
0
=1} (jako podzbiór domknięty i ograniczony: dim X = n
) jest zbiorem zwartym.
Norma jest funkcją ciągłą, zatem tw. Weierstrassa daje:
= inf ||x|| = ||x’|| dla pewnego x
S (a więc x’
0)
x
S
Stąd
> 0 oraz
||x||,
x
S (tj. ||x||
0
= 1). Jeżeli x
X\{0}, to x/||x||
0
S, czyli
||x||
0
||x||,
x
X, co wraz z (*) daje tezę o równoważności norm.
FAKT3. Dane są p.u. X,Y nad wspólnym ciałem K(=C lub R) oraz odwzorowanie liniowe A: X
Y.
Równoważne są warunki:
(i)
A jest ciągłe w punkcie x = 0,
(ii)
A jest ciągłe,
(iii)
M>0
x
X ||Ax||
M||x||.
(dla prostoty zapisu normą w X,Y oznaczamy tym samym symbolem ||.||).
Dowód. (i)
(ii). Jeżeli x
n
0, n
, x
X, to x + x
n
x, n
, zatem (ii):
A(x+x
n
) = Ax + Ax
n
Ax + A(0) = Ax + 0 = Ax, n
.
(ii)
(iii). Niech A będzie ciągłe. Załóżmy, że (iii) nie zachodzi, czyli
M>0
x
X ||A(x
M
)||
M||x
M
||, x
M
0.
Dowolność liczby M>0 zredukowana do przypadku M = n (n = 1,2,...) daje
n
N
x
n
0 ||Ax
n
|| > n||x
n
||.
Jednak relacje
n
N ||A(x/(n||x||))|| > 1 oraz A(x
n
/(n||x
n
||))
0, n
dają sprzeczność. Wynikanie (iii)
(i) jest oczywiste.
Warunek ciągłości odwzorowania liniowego w postaci (iii) oznacza tyle samo, co stwierdzenie:
A jest odwzorowaniem ograniczonym w każdym podzbiorze ograniczonym (
), w
szczególności
||A(x)||
M, ||x||
1,
lub też
A spełnia warunek Lipschitza:
x
1
,x
2
X ||Ax
1
- Ax
2
|| = ||A(x
1
- x
2
)||
M ||x
1
- x
2
||
Jeżeli A: X
Y jest ciągłym odwzorowaniem liniowym, to liczbę
||A|| = inf {M>0:
x
X ||Ax||
M ||x||}
nazywamy normą ciągłego odwzorowania (operatora) liniowego A.
Oszacowanie (iii) implikuje : ||A||
M.
)
...
(
,...,
1
,
|
...
cja
rep rezen ta
n a
jed n o zn acz
zach o d zi
(3 )
,...
1
...
sp an
)
2
(
,...,
1
,
,
A
(1 )
:
Wlasn o sci
I)
-
A
(
)
...
,
1
(
,...,
A
wlasn e
warto sci
,...,
)
(
Mat
A
Niech
1
b aza
1
1
1
n
i
k
i
k
i
x
k
i
i
i
i
i
n
i
k
i
k
k
x
x
x
k
i
X
x
x
x
x
X
x
i
x
x
X
n
i
x
x
X
x
O
x
C
x
X
n
C
i
k
i
x
x
t
t
f
i
t
f
t
C
Ma t
z
a
z
f
f
i
i
i
k
i
l
i
l
i
l
n
k
k
i
,...,
1
,
E
:
ró wn an iem
y m
n astęastęp
o k reslo n e
macierze
to
E
g d zie
E
*
)
(
1
)
A
(
R
o raz
)
(
A
macierzy
d o wo ln ej
d la
to
)
)
(
(
calk o witą
fu n k cją
jest
Jezeli
1
1
)
(
0
1
16
A
B
FAKT4. Jeżeli A: X
Y jest ciągłym operatorem liniowym, to
(P)
,
sup
1
Ax
A
x
(A)
x
Ax
A
x
sup
0
Dowód wynika z określenia normy ||A||.
Norma ||.|| ciągłego operatora liniowego z X do Y ma własności N1-3:
||A|| = 0
A = 0, ||
A|| = |
| ||A||, ||A+B||
||A|| + ||B||.
Dla przestrzeni unormowanych X,Y niech B(X,Y,) będzie zbiorem wszystkich ciągłych odwzorowań
liniowych z X do Y. W szczególności oznaczamy:
B(X) = B(X,X) - algebra ciągłych operatorów liniowych na X,
X
*
= B(X,K) - przestrzeń dualna do X (czyli przestrzeń wszystkich ciągłych form
liniowych na X).
W sensie zwykłej struktury liniowej oraz normy określonej zgodnie z FAKTEM4 przestrzenie B(X,Y),
B(X), X
*
są unormowane. Ponadto, gdy w B(X) określić mnożenie rozumiane jako składanie
odwzorowań:
(A,B)(x) = A(B(x)),
x
X,
to B(X) staje się algebrą (z jednością e
I = id
x
, komutatywna jedynie, gdy dimX = 1
0).
W algebrze B(X) mamy
||AB||
||A|| ||B||.
Istotnie, AB
B(X) wraz z A i B, a poza tym
.
sup
sup
sup
1
1
1
B
A
Bx
A
Bx
A
x
AB
AB
x
x
x
Oczywiście ||I|| = 1, ||A
n
||
||A||
n
, n = 0, 1, 2, ...
FAKT5. B(X,Y) przy unormowaniu jak w F.4 jest przestrzenią Banacha wraz z Y. B(X) jest przestrzenią
(algebrą) Banacha wraz z X.
X
*
= B(X,K) - przestrzeń dualna do przestrzeni unormowanej X, jest przestrzenią Banacha.
Dowód. Niech (A
n
) będzie ciągiem Cauchy’ego w B(X,Y):
||A
n
- A
m
|| = sup ||(A
n
- A
m
)x|| <
, dla ||x||=1, m,n
N
.
Ciąg (A
n
x) elementów przestrzeni Banacha Y jest również ciągiem Cauchy’ego:
(*)
||A
n
x - A
m
x||
||x||,
x
X, m,n
N
,
zatem istnieje granica
Ax
lim A
n
x, dla n
,
x
X.
Tak określone odwzorowanie X
x
Ax
Y jest liniowe:
A(
x
1
+
x
2
) = lim A
n
(
x
1
+
x
2
) =
Ax
1
+
Ax
2
.
Przejście graniczne m
w (*) daje ||(A
n
- A)x||
||x||, n
N
, skąd A
n
- A
B(X,Y).
Tym samym A = A
n
+ (A - A
n
) jest w B(X,Y). Ponadto
||A - A
n
|| = sup ||(A
n
- A)x||
, dla ||x||=1, n
N
,
więc A jest granicą ciągu (A
n
) w metryce przestrzeni B(X,Y).
Uwaga Zbieżność ciągu (A
n
) do A w przestrzeni B(X,Y) to po prostu zbieżność ciągu (A
n
) do A
jednostajna na każdej kuli K(0,r), r>0.
FAKT6. Niech X będzie przestrzenią Banacha, A
B(X) oraz ||A||
q
1.
Wtedy w B(X) istnieje operator (I-A)
-1
odwrotny do I-A oraz
(I-A)
-1
=
k=0
A
k
.
Dowód. B(X) jest przestrzenią Banacha, przeto równość
||A
n
+ ... + A
m
||
q
n
+ ... +q
m
<
, dla m,n
N
stwierdza zbieżność szeregu
0
A
k
(w przestrzeni B(X)). Ponadto w algebrze B(X) mamy
A
n
0, n
. Jeżeli sumę szeregu
0
A
k
oznaczyć przez B, to
(I - A)B = (I - A)lim(
0
A
k
) = lim (I-A)(I + A + ... + A
n
) = lim (I- A
n+1
) = I, dla n
(na mocy ciągłości mnożenia w algebrze B(X)). W algebrze B(X) równość (I -A)B = I potwierdza, że
elementy I - A oraz B są wzajemnie odwrotne:
B = (I - A)
-1
B(X)
FAKT6’. (Eq) Jeżeli X jest przestrzenią Banacha A
B(X) oraz ||A||
q
1, to
y
X równanie
x - Ax = y
ma w X jedyne rozwiązanie
x = (I-A)
-1
y =
k=0
A
k
.
FAKT7. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a G(X) zbiorem wszystkich odwracalnych B(X).
(i).
G(X) jest grupą
(ii)
G(X) jest podzbiorem otwartym w B(X)
Dowód. Własność (i) jest oczywista. (ii) Należy zauważyć, że każdy punkty A w G(X) (dim X > 0) jest
punktem wewnętrznym. W tym celu obieramy B w B(X) żądając, by norma ||B|| była dostatecznie mała,
np. ||A
-1
B||
q/(||A
-1
||). Faktoryzacja:
A + B = A
-1
(I + A
-1
B) na czynniki odwracalne daje zatem A + B
G(X). (inaczej: G(X) zawiera kulę
K(A,r), 0<r<||A
-1
B|| (
q
1).)
Komentarz Powyższe fakty odnoszą się w szczególności do przestrzeni B(K
n
,K
m
), a także do algebry
B(K
n
), gdzie K = C lub R. A zatem również do przestrzeni macierzy Mat
m
n
(K) oraz algebry macierzy
Mat
n
(K). Wiemy bowiem, że ustalając bazy w K
n
oraz w K
m
można ustalić odwzorowanie
B(K
n
,K
m
)
A
A
Mat
m
n
(K),
które jest izomorfizmem. Jest to również izometria (liniowa), jeżeli przyjąć
||A|| = ||A|| ( = sup ||Ax||) dla ||x||=1
W szczególności w przestrzeni (algebrze) Mat
n
(K) grupa G macierzy nieosobliwych jest zbiorem
otwartym. (Jest to swego rodzaju własność stabilności:
jeżeli A jest nieosobliwa to A+B też, jednak, gdy B ma dostatecznie małą normę.
Przestrzeń Hilberta
X – przestrzeń liniowa na K = C lub R. Odwzorowanie XxX
(x, y) (x | y)
C o własnościach:
ES1. (x + y | z) = (x | y) + (y | z)
ES2. (
x | y) =
( x | y)
ES3. (x | y) = (y | x)
ES4. (x | x) >0
x
X \ {0} (tzn.
x
X (x | x)
i (x | x) = 0 x = 0)
nazywamy iloczynem skalarnym w X.
Ilocznyn skalarny jest więc funkcją liniową względem pierwszej zmiennej, a „półtora liniowa” względem
pozostałej; jest funkcją dwuliniową w przypadku K = R.
Fakt 1. (Nierówność CBS) W przestrzeni liniowej X z iloczynem skalarnym (
|
) mamy oszacowanie
(*):
2
1
2
1
|
|
|
y
y
x
x
y
x
a znak równości zachodzi wyłącznie wtedy, gdy elementy x, y są liniowo
zależne.
Dowód:
C, (x +
y | x +
y)
0, a stąd:
0
|
|
|
|
|
2
y
x
y
y
x
x
. Jeśli y = 0, teza jest
rzeczywista. Jeżeli y
0, to biorąc
= - (x | y) / (y | y), otrzymujemy:
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
2
2
y
y
y
x
x
x
y
y
y
x
y
y
y
x
y
y
y
x
x
x
stąd (*). Znak równości w (*) zachodzi
jedynie wtedy, gdy przy pewnym
, (x +
y | x +
y) = 0. To jednak – zgodnie z ES4. – oznacza, że x +
y = 0, czyli: x, y są liniowo zależne.
Fakt 2. W przestrzeni X z ES odwzorowanie X
x (x | x)
½
R jest normą.
Dowód: Mamy : || x || = 0 (x | x) = 0 x = 0 (ES4.),
2
2
2
|
|
x
x
x
x
x
x
, stąd
N.2, a nierówność:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
|
Re
2
|
Re
2
|
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
daje N3
Def. Przestrzeń liniowa X z iloczynem skalarnym (
|
), wyposażoną w normę indukowaną tym
iloczynem skalarnym: || x || = (x | x)
½
nazywamy przestrzenią unitarną (lub pre-Hilberta) Gdy jest to
przestrzeń zupełna w sensie metryki indukowanej normą: d(x, y) = || x – y || ( = (x - y | x - y)
½
) , to
nazywamy ją przestrzenią Hilberta.
17
A
B
Przykłady przestrzeni Hilberta: a) R
n
,
n
k
k
k
y
x
y
x
1
|
b) C
n
n
k
k
k
y
x
y
x
1
|
c) l
2
1
|
k
k
k
y
x
y
x
. Natomiast przestrzeń liniowa C(-l, l) wszystkich funkcji zespolonych ciągłych i
ograniczonych na odcinku (-l, l) wraz z iloczynem skalarnym:
dt
t
y
t
x
y
x
l
l
)
(
)
(
|
nie jest przestrzenią
Hilberta (brak zupełności).
Tw. Każda przestrzeń Hilberata jest przestrzenią Banacha, lecz nie na odwrót.
Fakt 3. W przestrzeni unitarnej mamy: jeżeli
0
, y
x
y
x
y
x
to elementy x, y są liniowo zależne.
Dowód: Założenie || x + y || = || x || + || y || oraz równość || x + y ||
2
= (x + y | x + y) dają Re (x | y) = || x ||
|| y ||. Pisząc:
y
x
CBS
y
x
y
x
y
x
)
(
|
|
Re
otrzymujemy
y
x
y
x
|
. Wobec F1
elementy x, y są liniowo zależne
Ortogonalność
Dana jest przestrzeń unitarna X. Jeżeli x, y
X \ {0} oraz (x | y) = 0 to mówimy, że elementy x i y są
ortogonalne, pisząc x + y. (Oczywiście
x
X (x | 0) = 0 lecz to nie oznacza ortogonalności x to 0!).
Niezerowy układ elementów x
1
, ..., x
n
, ... o własności x
k
x
l
(tj. ( x
k
| x
l
) = 0), k
l nazywamy układem
ortogonalnym. Układ ortogonalny o własności || x
k
|| 1, k = 1, 2, ... nazywamy układem ortogonalanym.
Jeżeli x
1
, ..., x
n
, ... jest układem ortogonalnym, to
,...
,...
1
1
n
n
x
x
x
x
jest układem ortonormalnym.
Fakt 1. Układ ortogonalny x
1
, x
2
.... jest liniowo nieleżny.
Dowód: Jeżeli dla pewnego n (n
2) elementy x
1
, x
2
, ..., x
n
układu ortogonalnego są liniowo zależne, to
istnieją
1
,
2
, ...,
n
w C, |
1
| + |
2
| + ... + |
n
| > 0, że
1
x
1
+ ...+
n
x
n
= 0. Stąd
i
{1, ..., n}, 0 =
(
1
x
1
+ ... +
n
x
n
| x
i
) =
i
|| x
i
||
2
, czyli
1
= ... =
n
= 0. Sprzeczność.
Układ liniowo niezależny nie musi być ortogonalny to jednak można przyporządkować jemu układ
ortogonalny utworzony z kombinacji liniowych. Bliżej mówi o tym proces ortogonalizacji Schmidta.
Fakt (E. Schidt). W przestrzeni unitarnej X, dany jest układ liniowo niezależny x
1
, ..., x
n
, ... Wtedy, w X
istnieje układ ortogonalny f
1
, ..., f
n
, .., że (*) span {x
1
, ..., x
n
} = span {f
1
, ..., f
n
},
n = 1, 2, ...
Dowód: kładziemy: f
1
= x
1
, f
2
= x
2
– a
21
f
1
żądając, aby f
2
f
1
czyli a
21
= (x
2
| f
1
) / || f
1
||
2
, f
n
= x
n
– a
n,n-
1
f
n-1
- ... – a
n,1
f
1
żądając, aby f
n
f
n-1
, ..., f
1
, czyli a
n,n-1
= (x
n
| f
n-1
) / || f
n-1
||
2
, ... , a
n,1
= (x
n
| f
1
) / || f
1
||
2
. Tak
otrzymany układ f
1
, ..., f
n
jest ortogonlany, a zatem liniowo niezależny. Relacja (*) jest oczywista.
Uwaga Układ e
1
, ..., e
n
, ... , gdzie e
n
= f
n
/ || f
n
|| , n = 1, 2, ... jest ortonormalny
Wniosek: W n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa istnieje baza ortononalna (ortonormalna).
Przestrzeń Euklidesa.
Skończenie wymiarową przestrzeń unitarną V nad ciałem K ( = C lub R), dim X = n, wyposażoną w
normę || . || indukowaną iloczynem skalarnym (
|
), a więc || x || = (x | x)
½
x
V nazywamy n-
wymiarową przestrzenią Euklidesa (- zespoloną lub rzeczywistą).
W przestrzeni Euklidesa zachodzi nierówność CBS:
y
x
y
x
|
tak, że przy założeniu x, y
0,
będzie:
1
|
y
x
y
x
.
W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V przez kąt między wektorami x, y (x, y
0) rozumiemy liczbę
<0,
>, że
y
x
y
x |
cos
. Mamy wtedy (x | y) = || x || || y || cos
,
x, y
V, a ponadto x
y
=
/2 (x , y
0).
Uwaga: Powyższa nierówność jest prawdziwa również, gdy x lub y jest elementem zerowym, bowiem
przez kąt między wektorem niezerowym x, a wektorem zerowym 0 można rozumieć dowolną liczbę
<0,
>.
Fakt 3. W przestrzeni Euklidesa V rozwinięcia elementów według bazy ortonormalnej (e) mają
własności: 1)
n
i
i
e
x
x
1
, gdzie x
i
= (x | e
i
) (współrzędne w bazie ON) 2)
n
i
x
x
1
2
2
(Pitogorean Theorem) 3)
n
i
i
y
x
y
x
1
|
, gdzie x
i
, y
i
to współrzędne w bazie (e) elementu x, y.
Dowód: Własność 1) jest oczywista. Wystarczy zanotować równość
n
i
i
n
i
n
k
k
i
k
i
n
n
k
k
i
i
n
k
k
n
i
i
y
x
e
e
y
x
e
y
e
x
e
y
e
x
y
x
1
1
1
1
1
1
1
|
|
|
|
, ponieważ
i
k
i
k
e
e
k
i
0
1
|
Odwzorowanie
n
i
e
e
x
x
P
x
i
i
i
Pi
,...,
1
,
|
V
V
nazywamy rzutem V na i-tą osi
ortonormalnego układu współrzędnych (e
1
, ..., e
n
).
Fakt 4. Operatory rzutowania P
i
mają własności:
1) P
i
B(V), to jest P
i
jest ciągłym operatorem linowym na V (Ponadto || P
i
|| = 1)
2)
i
k
i
k
P
P
P
i
k
i
0
3)
V
V
B
A
Ae
e
x
Ax
x
P
x
x
n
i
i
n
i
gdy
,
|
1
1
Dowód: Dowodząc 3) wystarczy napisać:
i
k
i
k
e
x
e
e
e
x
e
e
x
P
x
P
P
x
P
P
i
k
i
i
k
i
i
k
i
k
i
,
0
,
|
|
|
|
, reszta jest oczywista.
Uwaga: W rzeczywistej przestrzeni Euklidesa V z wyróżnioną bazą ortonormlną (e), mamy: x
i
= (x | e
i
)
= || x || cos
i
, gdzie
i
to kąt między wektorem x (x
0) a i-tą osią e
i
układu współrzędnych (e). Ponadto
1
cos
cos
1
1
2
n
k
i
i
x
x
, co czytamy: x jest wektorem jednostkowej długości wyłącznie
wtedy, gdy jego współrzędne to cosinusy kierunkowe tego wektora z poszczególnymi osiami
ortonormalnego układu współrzędnych.
DODATKOWE
Def. Niech A
M
n
(K). Jeśli istnieje macierz A’
M
n
(K) taka, że AA’ = A’A = I, gdzie I jest macierzą
jednostkową stopnia n, to macierz A’ nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A.
Tw. (Kronecker-Cappelli) Układ równań linowych ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko
wtedy, gdy rząd macierzy układu równań jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.
Dowód: Niech A = (A
1
, A
2
, ..., A
n
) będzie macierzą układu równań i A
b
= (A
1
, ..., A
n
, B) macierzą
rozszerzoną tego układu. Zachodzą wówczas następujące równoważności:
(
1
, ...,
n
) jest rozwiązaniem układu równań
1
A
1
+ ... +
n
A
n
= B B
L(A
1
, ..., A
n
)
L(A
1
, ..., A
n
) = L(A
1
, ..., A
n
, B) dim L(A
1
, ..., A
n
) = dim L(A
1
, ..., A
n
, B)
rz (A
1
, ..., A
n
) = rz(A
1
, ..., A
n
, B) rz A = rz A
d
( L(..) – zbiór wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych produktów układu ...)
Tw. (Kronecker-Cappelli) i Dowód wg. Henia: strona 4a
Def. Jeżeli istnieje wektor niezerowy
(w K
n
), że przy pewnym
K będzie: Ax=
x (Ax=
x), to
mówimy, że x jest wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej
. A
(x,
)
Tw. Każda macierz A=[a
ik
]
m
n
nad ciałem alg. zamkniętym ma wartości własne oraz wektor własny.
Dowód:
,x – to wartość własna i wektor własny macierzy A
jest x
0 oraz
K | Gdy spełnione
jest równanie Ax=
x
(A-
I)x=0
jest ukł. kwadratowych równań jednorodnych
Def. Rzędem macierzy A = (A
1
, ..., A
n
)
M
m x n
(K) nazywamy rząd układu jej kolumn, rozpatrywanych
jako wektory przestrzeni K
m
.
Tw. (o rzędzie macierzy) Rząd macierzy A
M
m x n
(K) jest równy największemu stopniowi jej nie
znikających minorów.
W równaniach 2 prostych, gdy: rz A = rz A
b
= 2 – przecinają się (ozn.); rz A = 1, rz A
b
= 1 – porywają się
(nieoznaczony), rz A = 1, rz A
b
= 2 – równoległe (sprzeczny).
18
A
B
TW. (KRONECKERA-CAPELLIEGO).
(*)
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n n
m
m
mn n
m
11 1
12 2
1
1
1 1
2 2
...
...
...
A
a
a
a
a
n
m
mn
11
1
1
...
...
...
(**)
x
x
x
n
n
1
1
2
2
,
,...,
C
a
a b
a
a b
n
m
mn m
11
1
1
1
...
...
...
Układ liniowy (*) złożony z m równań o n niewiadomych jest rozwiązywalny wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(C), przy czym R(A) = R(C) = n, to układ (*) na dokładnie jedno rozwiązanie, gdy zaś
R(A) = R(C) = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r parametrów.
DOWÓD
K o n i e c z n o ś ć . Jeśli układ (*) ma rozwiązanie (**) to R(A) = R(C), bo rząd macierzy C nie ulegnie
zmianie w wyniku odjęcia od kolumny wyrazów wolnych sumy i-tej kolumny pomnożonej przez
i
,
a ostatnia kolumna wyrazów wolnych zostanie wyzerowana.
D o w ó d d o s t a t e c z n o ś c i . W przypadku r = n jednoznaczność rozwiązania jest oczywista bo
układ jest albo układem Cramera, albo równań jest więcej niż niewiadomych - równoważne układowi
Cramera. Gdy r < n, to można tak przenumerować zmienne i wybrać r równań spośród równań układu
(*), by otrzymać układ Cramera o r równaniach:
(***)
a x
a x
b
a
x
a x
a x
a x
b
a
x
a x
r r
r
r
n n
r
rr r
r
rr
r
rn n
11 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
...
...
...
...
...
Wtedy pozostałe równania układu (*) jako zależne od równań układu (***) można odrzucić. Układ (***)
jest jednoznacznie rozwiązalny względem zmiennych x
x
r
1
,..,
w zależności od pozostałych zmiennych
x
x
r
n
1
,...,
. Wobec tego układ (*) jest nieoznaczony, a jego rozwiązanie zależy od n - r dowolnych
parametrów (którymi mogą być np. zmienne x
x
r
n
1
,...,
).
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE
(*)
A
E
A
A
a
a
a
a
tr
11
12
21
22
2
0
det
(**)
A
E X
0 lub
a
a
a
a
x
x
11
12
21
22
1
2
0
0
Równanie (*) nazywamy równaniach charakterystycznym macierzy A, jego lewą stronę - wielomianem
charakterystycznym macierzy A, pierwiastki
1
,...,
n
równania (*) - wartościami własnymi macierzy A,
wektory
X
X
1
,..,
n
będące rozwiązaniami równań (**) dla wartości własnych macierzy - wektorami
własnymi macierzy A. Wektor własny odpowiadający wartości
i
znajdujemy rozwiązując jedno
z równań równania (**).
RZĄD MACIERZY
Rzędem macierzy o wymiarze
m n
nazywamy:
1)
liczbę R równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest niezerowa;
2)
liczbę zero, gdy macierz jest zerowa
Rząd macierzy spełnia następującą nierówność
0
R
m n
min ,
Rząd macierzy nieosobliwej stopnia n jest równy n; rząd kwadratowej macierzy osobliwej i niezerowej
jest niższy od jej stopnia.
PRZESTRZEŃ PRZEDHILBERTOWSKA (UNITARNA PRZESTRZEŃ LINIOWA)
Iloczynem pseudoskalarnym na przestrzeni liniowej E nad ciałem R nazywamy odwzorowanie
| :
,
|
E E
R
x y
x y
spełniające dla dowolnego
R i dowolnych x y z
, ,
E następujące
warunki:
1
o
y x
x y
|
|
(symertia) 2
o
x y
x y
|
|
(jednorodność) 3
o
x y z
x z
y z
|
|
|
(rozdzielność względem dodawania) 4
o
x x
|
R
0
Jeżeli ponadto spełniony jest warunek 5
o
x x
x
|
0
0 to odwzorowanie nazywamy iloczynem
skalarnym określonym na przestrzeni liniowej E. Parę
E, |
, tzn. przestrzeń liniową E wyposażoną w
iloczyn skalarny
| , nazywamy przestrzenią liniową unitarną lub przestrzenią przedhilbertowską.
Funkcja dwu zmiennych spełniająca warunki 1
o
- 3
o
jest symetryczną formą dwuliniową; jeżeli także 4
o
-
to dodatnio półokreśloną lub dodatnio określoną; gdy ponadto 5
o
- to jest to symetryczna forma
dwuliniowa dodatnio określona. W unitarnej przestrzeni liniowej zawsze wprowadzamy normę elementu
za pomocą wzoru x
x x
:
|