Interpolacja Lagrange’a
Wyznaczyć wielomian interpolacyjny mając dane węzły
(−2, −3), (−1, 3), (1, 3), (2, 3)
W przypadku ogólnym mając dane n + 1 punktów węzłowych (x
i
, f
i
) i = 0, . . . , n
szukany wielomian interpolacyjny jest postaci
w(x) =
n
X
i=0
f
i
L
i
(x)
gdzie L
i
(x) =
n
Y
j=0, j6=i
x − x
j
x
i
− x
j
W naszym przypadku mamy
x
0
= −2, x
1
= −1, x
2
= 1, x
3
= 2
f
0
= −3, f
1
= 3, f
2
= 3, f
3
= 3
Obliczymy najpierw wielomiany L
i
, i = 0, 1, 2, 3
L
0
(x) =
(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
)
(x
0
− x
1
)(x
0
− x
2
)(x
0
− x
3
)
=
(x + 1)(x − 1)(x − 2)
−12
= −
1
12
(x
3
−2x
2
−x+1)
L
1
(x) =
(x − x
0
)(x − x
2
)(x − x
3
)
(x
1
− x
0
)(x
1
− x
2
)(x
1
− x
3
)
=
(x + 2)(x − 1)(x − 2)
6
=
1
6
(x
3
− x
2
− 4x + 4)
L
2
(x) =
(x − x
0
)(x − x
1
)(x − x
3
)
(x
2
− x
0
)(x
2
− x
1
)(x
2
− x
3
)
=
(x + 2)(x + 1)(x − 2)
−6
= −
1
6
(x
3
−x
2
−4x−4)
L
3
(x) =
(x − x
0
)(x − x
1
)(x − x
2
)
(x
3
− x
0
)(x
3
− x
1
)(x
3
− x
2
)
=
(x + 2)(x + 1)(x − 1)
12
=
1
12
(x
3
+ 2x
2
− x − 2)
Zatem szukany wielomian ma postać
w(x) =
1
2
x
3
− x
2
−
1
2
x + 4
Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane węzły
(−1, −4), (0, −1), (1, 0), (2, 5)
Skorzystamy z metody wykorzystującej tzw. ilorazy różnicowe.
Ilorazem różnicowym rzędu zerowego opartym na węźle (x
i
, f
i
) nazywamy liczbę f
i
Ilorazem różnicowym rzędu k opartym na węzłach (x
i
0
, f
i
0
), . . . , (x
i
k
, f
i
k
) nazywamy
liczbę
f
i
0
i
1
...i
k
=
f
i
1
i
2
...i
k
− f
i
0
i
1
...i
k−1
x
i
k
− x
i
0
Wówczas w ogólnym przypadku mając zadane węzły (x
i
, f
i
), i = 0, . . . , n wielomian
interpolacyjny w(x) ma postać Newtona
w(x) = f
0
+ f
01
(x − x
0
) + f
012
(x − x
0
)(x − x
1
) + . . . + f
01...n
(x − x
0
) . . . (x − x
n−1
)
W naszym przypadku mamy n = 3 oraz
x
0
= −1, x
1
= 0, x
2
= 1, x
3
= 2
f
0
= −4, f
1
= −1, f
2
= 0, f
3
= 5
Obliczmy najpierw współczynniki f
01
, f
12
, f
23
, f
012
, f
123
, f
0123
f
01
=
f
1
− f
0
x
1
− x
0
= 3
f
12
=
f
2
− f
1
x
2
− x
1
= 1
f
23
=
f
3
− f
2
x
3
− x
2
= 5
f
012
=
f
12
− f
01
x
2
− x
0
= −1
f
123
=
f
23
− f
12
x
3
− x
1
= 2
f
0123
=
f
123
− f
012
x
3
− x
0
= 1
Wobec tego szukany wielomian interpolacyjny w(x) ma postać
w(x) = −4 + 3(x + 1) − x(x + 1) + x(x + 1)(x − 1) = x
3
− x
2
+ x − 1
Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane węzły:
(0, 1), (1, 2), (2, 4)
Ponieważ punkty x
0
, x
1
, x
2
są równoodległe użyjemy metody wykorzystującej ten
fakt.
Mając dane węzły (x
i
, f
i
), i = 0, . . . , n istnieje takie h ∈ R, że x
i
= x
0
+ ih dla
i = 1, . . . , n. Przedstawiając x = x
0
+ th dla pewnego t ∈ R otrzymujemy wielomian
interpolacyjny w postaci Newtona
w(x) = w(x
0
+ th) =
n
X
k=0
∆
k
f (x
0
)
k!
· p
k
(t)
gdzie ∆
k
f (x
0
) jest funkcją (zwaną różnicą progresywną) określoną wzorami
∆
0
f (x
0
) = f (x
0
)
∆
k+1
= ∆
k
f (x
0
+ h) − ∆
k
f (x
0
)
natomiast p
k
(t), są wielomianami zdefiniowanymi w następujący sposób
p
0
(t) = 1
p
k
(t) = t(t − 1) . . . (t − (k − 1)) =
k−1
Y
j=0
(t − j)
W naszym zadaniu mamy x
0
= 0, h = 1, n + 2. Obliczymy najpierw kolejne różnice
progresywne
∆
0
f (x
0
) = f (x
0
) = 1
∆
1
f (x
0
) = ∆
0
f (x
0
+ h) − ∆
0
f (x
0
) = f (x
1
) − f (x
0
) = 1
∆
2
f (x
0
) = ∆
1
f (x
0
+ h) − ∆
1
f (x
0
) = ∆
0
f (x
0
+ 2h) − ∆
0
f (x
0
+ h) − 1 = 1
Zatem szukany wielomian ma postać
w(x
0
+ th) = 1 + t +
1
2
t(t − 1) =
1
2
t
2
+
1
2
t + 1
x = x
0
+ th
⇒
t =
x − x
0
h
= x
Ostatecznie zatem
w(x) =
1
2
x
2
+
1
2
x + 1
Znaleźć wielomian interpolacyjny mając dane punkty węzłowe
(0, 1), (1, 1), (2, 5), (3, 21)
Mamy x
0
= 0, h = 1, n = 3 oraz
∆
0
f (x
0
) = f (x
0
) = 1
∆
1
f (x
0
) = ∆
0
f (x
0
+ h) − ∆
0
f (x
0
) = f (x
1
) − f (x
0
) = 0
∆
2
f (x
0
) = ∆
1
f (x
0
+ h) − ∆
1
f (x
0
) = ∆
0
f (x
0
+ 2h) − ∆
0
f (x
0
+ h) = 4
∆
3
f (x
0
) = ∆
2
f (x
0
+ h) − ∆
2
f (x
0
) = ∆
1
f (x
0
+ 2h) − ∆
1
f (x
0
+ h) − 4 =
= ∆
0
f (x
0
+ 3h) − 2∆
0
f (x
0
+ 2h) + ∆
0
f (x
0
+ h) − 4 = 8
Zatem wilomian interpolacyjny ma postać
w(x
0
+ th) =
4
3
t
3
− 2t
2
+
2
3
t + 1
⇒
w(x) =
4
3
x
3
− 2x
2
+
2
3
x + 1
GRZEGORZ GIERLASIŃSKI