! " $#
Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas
! " $#
Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas
%"&('*),+.- &0/"1324'*56+
798
,
:<;
8>=?8A@CBED*F<G"H
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU?S
∗
Na podstawie wartości kilku początkowych wyrazów podanych ciągów znaleźć ich wzory
ogólne:
JPV
(x
n
) = (1, 2, 6, 24, 120, . . .);
WXV
(y
n
) =
1,
1
2
, 3,
1
4
, 5,
1
6
, . . .
;
Y
V
(z
n
) = (1, 3, 7, 15, 31, 63, . . .);
LZV
(t
n
) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . .).
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU\[
Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów:
JPV
x
n
= n
n
, x
2n
;
WXV
y
n
=
1
2n
+
1
2n + 1
+
1
2n + 2
+ . . . +
1
3n
, y
n
+1
;
Y
V
z
n
= (2n + 1)!, z
n
+3
;
LCV
t
n
= n
2
+ 1
3
, t
2n−1
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU\]
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
JPV
x
n
= n
4
− n
2
;
WXV
y
n
= (−1)
n
n!;
Y
V
z
n
=
n
√
2
n
+ 1;
LCV
t
n
=
(−2)
n
1 + (−2)
n
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU_^
Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
JPV
x
n
=
1
n
2
− 6n + 10
;
WXV
y
n
=
4
n
2
n
+ 3
n
;
Y
V
z
n
= tg
100π
2n + 1
;
LCV
t
n
=
n!
10
n
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU_`
Korzystając z definicji granicy ciągu uzasadnić podane równości:
JPV
lim
n→∞
2n + 1
n
2
= 0;
WNV
lim
n→∞
n
4
− 1
= ∞;
Y
V
lim
n→∞
2
n
− 3
n
2
n
+ 3
n
= −1;
LZV
lim
n→∞
√
n − n
= −∞.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU\a
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć podane granice:
JPV
lim
n→∞
4
p
n
4
+ 16 − n
;
WXV
lim
n→∞
n
2
+ 1 n! + 1
(2n + 1)(n + 1)!
;
Y
V
lim
n→∞
n
20
+ 2
3
(n
3
+ 1)
20
;
LCV
lim
n→∞
3
√
8
n
+1
+ 3
2
n
+ 1
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU\b
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:
JPV
lim
n→∞
n
√
n2
n
+ 1;
WXV
lim
n→∞
E(nπ)
n
;
Y
V
lim
n→∞
2
n
sin n
3
n
+ 1
;
LZV
lim
n→∞
1
4
√
n
4
+ 1
+
1
4
√
n
4
+ 2
+ . . . +
1
4
√
n
4
+ n
.
∗
Numeracja zadań z książki „Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania”.
1
%"&('*),+dce1Zfg!+
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU\h
Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność
podanych ciągów:
JPV
x
n
=
1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · . . . · 2n
;
WNV
y
n
=
n
2
5
n
;
Y
V
z
n
=
1
1 · 2
1
+
1
2 · 2
2
+ . . . +
1
n · 2
n
;
LZV
t
1
= 2, t
n
+1
=
√
6 + t
n
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU\i
Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane
granice:
JPV
lim
n→∞
5n + 2
5n + 1
15n
;
WNV
lim
n→∞
n
2
n
2
+ 1
n
2
;
Y
V
lim
n→∞
3n + 2
5n + 2
n
·
5n + 3
3n + 1
n
;
LZV
lim
n→∞
3n
3n + 1
n
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU?Sj
Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć granice:
JPV
lim
n→∞
n
√
n
n
+ 5;
WXV
lim
n→∞
(3
n
cos n − 4
n
);
Y
V
lim
n→∞
1
E
√
1
+
1
E
√
2
+. . .+
1
E (
√
n)
!
;
LCV
lim
n→∞
1
3
+
1
n
n
5−
1
n
n
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU?SPS
Korzystając z tabelki działań z symbolem ∞ obliczyć podane granice:
JPV
lim
n→∞
n
4
− 3n
3
− 2n
2
− 1
;
WXV
lim
n→∞
1 − (n + 1)!
n! + 2
;
Y
V
lim
n→∞
√
3 − cos
π
n
n
;
LCV
lim
n→∞
arctg n
arcctg n
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU?SM[
Znaleźć zbiory punktów skupienia (właściwych i niewłaściwych) podanych ciągów:
JPV
a
n
=
(−1)
n
n
n + 1
;
WXV
b
n
= sin
2
nπ
4
;
Y
V
c
n
= [1 + (−1)
n
] · 2
n
;
LCV
d
n
=
1 +
cos nπ
n
n
.
◦
IKJMLNJPOPQ
RTSNU?SM]
Znaleźć granice dolne i górne podanych ciągów:
JPV
a
n
= (−1)
n
n
2
+ 1 ;
WXV
b
n
= tg
(2n + 1)π
4
;
Y
V
c
n
=
(−2)
n
+1
2
n
+ 1
;
LCV
d
n
= (1 + cos nπ) n!.
%"&('*),+k)l1m5>/onp&0+
q r
:*s
8A@CHutwv
syx
@{z{8
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU?S
Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić podane równości:
2
JPV
lim
x→3
(x − 2)
5
= 1;
WXV
lim
x→∞
1 − 2x
3
x
3
+ 1
= −2;
Y
V
lim
x→2
−
p4 − x
2
= 0;
LCV
lim
x→1
+
1
(x − 1)
7
= ∞.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU\[
JPV
W ostrosłupie trójkątnym prawidłowym krawędź podstawy ma długość b, a kąt nachy-
lenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę x, gdzie 0 < x <
π
2
. Niech r(x) oznacza
promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. Obliczyć granice lim
x→0
+
r(x), lim
x→
π
2
−
r(x). Czy
można podać te granice nie wyznaczając funkcji r?
WNV
Cząstka pewnego układu drgającego porusza się po osi Ox. Położenie tej cząstki w
chwili t > 0 jest opisane wzorem x(t) = 5 − 4
−3t
cos(2t + 1). Znaleźć jej graniczne
położenie, gdy t −→ ∞. Co oznacza otrzymany wynik?
Y
V
Równanie ax
4
− 2x − 8 = 0 ma dla parametru a > 0 dwa pierwiastki rzeczywiste x
1
(a),
x
2
(a). Obliczyć granice lim
a→0
+
x
1
(a), lim
a→0
+
x
2
(a), lim
a→∞
x
1
(a), lim
a→∞
x
2
(a).
Wskazówka. Narysować wykresy funkcji y = ax
4
oraz y = 2x + 8. Następnie zbadać położenie punktów
wspólnych obu wykresów, gdy a → 0
+
oraz, gdy a → ∞.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU\]
Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:
JPV
lim
x→3
x
2
x − 3
;
WXV
lim
x→2
E x
2
;
Y
V
lim
x→∞
e
x
cos x;
LZV
lim
x→π
2
1
sin x
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU_^
Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice:
JPV
lim
x→0
[x sgn x];
WXV
lim
x→0
2
1
x
3
;
Y
V
lim
x→
π
2
E (3 sin x);
LCV
lim
x→2
x
2
− 4
|x − 2|
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU_`
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice:
JPV
lim
x→1
x
3
− 1
x
4
− 1
;
WNV
lim
x→∞
2
x
+ 1
3
x
+ 2
;
Y
V
lim
x→64
3
√
x − 4
√
x − 8
;
LZV
lim
x→
π
2
−
tg
2
x + 1
tg
2
x + 5
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU\a
Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości:
JPV
lim
x→0
x
3
arctg
1
x
= 0;
WNV
lim
x→∞
E x
√
8
E x
√
2
= 2;
Y
V
lim
x→−∞
2
−x
+ sin x
2
−x
+ cos x
= 1;
LZV
lim
x→2
E(x) sin(xπ) = 0.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU\b
Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości:
JPV
lim
x→∞
E x
2
+ 1
E(x)
= ∞;
WXV
lim
x→0
2 + sin
1
x
x
2
= ∞;
Y
V
lim
x→0
−
3 − cos
1
x
ctg x = −∞.
3
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU\h
Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice:
JPV
lim
x→0
sin
2
3x
x
2
;
WXV
lim
x→−∞
ln (1 + 2
x
)
3
x
;
Y
V
lim
x→0
+
2
x
− 1
4
√
x
− 1
;
LCV
lim
x→0
[1 + tg(2x)]
ctg x
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU\i
Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:
JPV
u(x) =
x
3
+ x
2
x
2
− 4
;
WXV
v(x) =
x − 3
√
x
2
− 9
;
Y
V
w(x) =
sin x
x − π
;
LCV
z(x) =
cos(πx)
2
x
− 8
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R [EU?Sj
Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
JPV
lim
x→−∞
u(x) = ∞, lim
x→0
−
u(x) = 1, u(2) = 0, lim
x→∞
u(x) = −1;
WNV
lim
x→∞
v(x) = e, lim
x→2
v(x) = 0, funkcja v jest parzysta;
Y
V
prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji z w −∞, prosta y = x − 1 asymptotą
ukośną w ∞, a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;
Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
%"&('*),+dn|5>2}+13)K+
798
,
:<;P~
=F
@twv
syx
@{z{8
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU?S
Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na
:
JPV
u(x) =
x
3
x
2
+ 2
;
WXV
v(x) = sin
2
x;
Y
V
w(x) =
p|x − 5|;
LCV
z(x) = 2
−x
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU\[
Określić zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:
JPV
u(x) = x
3
− x
E(x);
WXV
v(x) =
1
dla x = 0 lub π,
π sin x
x(x − π)
dla x 6= 0 i π;
Y
V
w(x) =
x cos
1
x
dla x < 0,
0
dla x = 0,
√
x sin
1
√
x
dla x > 0;
LZV
z(x) =
√
1 − cos 2x
x
dla x 6= 0,
2
dla x = 0;
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU\]
Dobrać parametry a, b ∈
tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
4
JPV
u(x) =
sin x
dla |x|
π
2
,
ax + b dla |x| <
π
2
,
WXV
v(x) =
2
dla x ¬ 0,
a
x
+ b dla 0 < x < 1,
3
dla x 1,
x
1
= −
π
2
, x
2
=
π
2
;
x
1
= −1, x
2
= 1;
Y
V
w(x) =
x
2
+ax+b dla |x| < 2,
x
√
x
2
− 4 dla |x| 2;
LCV
z(x) =
a sin x + b cos x dla |x| >
π
4
,
1 + tg x
dla |x| ¬
π
4
;
x
1
= −2, x
2
= 2;
x
1
= −
π
4
, x
2
=
π
4
;
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU_^
Uzasadnić ciągłość podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
JPV
u(x) = e
x
cos x,
;
WXV
v(x) =
1
√
16 − x
4
, (−2, 2);
Y
V
w(x) = arctg
√
x, [0, ∞);
LCV
z(x) =
√
sin x,
[
k∈
[2kπ, (2k + 1)π] .
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU_`
Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:
JPV
u(x) =
x
2
−1
√
x−1
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
3
dla x = 1,
WXV
v(x) =
e
1
x
+ 2
e
1
x
+ 1
dla x 6= 0,
e
dla x = 0,
x
0
= 1;
x
0
= 0;
Y
V
w(x) =
|x| + x
x
2
dla x 6= 0,
0
dla x = 0,
LCV
z(x) =
(1 − x)
1
x
dla x < 0,
e
dla x = 0,
(1 + x)
1
x
dla x > 0,
x
0
= 1;
x
0
= 0;
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU\a
Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą na
przedziale domkniętym uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania:
JPV
wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą ob-
jętość;
WNV
wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma
najwiekszy obwód;
Y
V
wśród prostokątów opisanych na danej elipsie istnieje ten, który ma najmniejsze i naj-
większe pole;
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU\b
Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedzia-
łach:
JPV
x
3
+ 6x − 2 = 0, (0, 1);
WXV
x sin x = 7,
2π,
5π
2
;
Y
V
3
x
+ 5
x
= 9, (1, 2);
LZV
x
2
+ ln x = 0,
1
e
, 1
.
5
◦
IKJMLNJPOPQ
R ]EU\h
Korzystając z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich przez funkcję cią-
głą uzasadnić następujące stwierdzenia:
JPV
na każdym szlaku turystycznym wiodącym z Karpacza (800 m nad poziomej morza)
na Śnieżkę (1602 m nad poziomem morza) jest miejsce, które wznosi się 1000 m nad
poziomem morza;
WNV
w każdym wielokącie wypukłym istnieje sieczna, która jednocześnie połowi obwód i pole
tego wielokąta;
Y
V
na dowolnej figurze wypukłej na płaszczyźnie można opisać kwadrat;
%"&('*),+.- &
,
+o)K+
F@<Fl
s
Htv
sx
@z{8
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?S
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:
JPV
u(x) = 2x − |x|, x
0
= 0;
WXV
v(x) = |x| sin x, x
0
= 0;
Y
V
w(x) =
(
x
2
dla x ¬ 2,
2
x
dla x > 2,
LCV
z(x) =
sin x dla x ¬
π
2
,
1
dla x >
π
2
,
x
0
= 2;
x
0
=
π
2
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\[
Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji:
JPV
u(x) =
1
x + 1
, gdzie x 6= −1;
WNV
v(x) =
√
x, gdzie x > 0;
Y
V
w(x) = tg x, gdzie x 6=
π
2
+ kπ dla k ∈
;
LZV
z(x) = sh x, gdzie x ∈
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\]
Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
JPV
f (x) = arcsin
x
2
, (1, f (1));
WNV
f (x) = ln x
2
+ e , (0, f(0));
Y
V
f (x) = e
tg x
,
π
4
, f
π
4
;
LCV
f (x) =
√
2
x
+ 1, (3, f(3)) .
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U_^
Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy podanych funkcji:
i) f(x) = x
2
, g(x) =
3
√
x, x > 0;
ii) f(x) = 4 − x, g(x) = 4 −
x
2
2
, x > 0;
iii) f(x) =
1
x
, g(x) =
√
x, x > 0;
iv) f(x) = tg x, g(x) = ctg x, 0 < x <
π
2
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U_`
Na wykresie funkcji y = e
x
znaleźć punkt, który jest położony najbliżej prostej y = ex −4;
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\a
JPV
Wskazówka minutowa zegara na ratuszu ma długość 3 m, a godzinowa 2 m. Obliczyć
prędkość, z jaką oddalają się od siebie końce wskazówek zegara o godzinie 6:00;
6
WNV
Basen ma kształt odwróconego ostrosłupa ściętego prawidłowego. Dno basenu jest kwa-
dratem o boku 4 m, a jego górna powierzchnia kwadratem o boku 16 m. Głębokość
basenu wynosi 2 m. Do basenu wlewa się woda z prędkością 1 m
3
/min. Z jaką prędko-
ścią będzie się podnosił poziom wody w basenie w chwili, gdy będzie on napełniony do
połowy głębokości?
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\b
Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we
wskazanych punktach:
JPV
u(x) =
x
2
− x
, x
0
= 1;
WXV
v(x) = sgn (x) · sin x, x
0
= 0;
Y
V
w(x) =
ctg
3
x
, x
0
=
π
2
;
LZV
z(x) =
tg x dla −
π
2
< x ¬ 0,
sin x dla 0 < x <
π
2
,
x
0
= 1.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\h
Znaleźć parametry a, b, c, dla których podane funkcje mają pochodne na
:
JPV
v(x) =
ae
x
+be
−x
dla x < 0,
ch 2x
dla 0 0;
WXV
u(x) =
x+1
dla x ¬ 0,
a sin x+b cos x dla x > 0.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\i
Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x
0
= 0:
JPV
u(x) = 3 −
5
√
x;
WXV
v(x) = tg
3
√
x;
Y
V
w(x) =
p| sin x|.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?Sj
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji:
JPV
y =
x
3
+
1
x
2
e
x
;
WNV
y =
sin x
x
4
+ 4
;
Y
V
y =
3
parcsin (x
2
);
LZV
y = x
tg x
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?SPS
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć:
JPV
f
−1
0
(y) dla:
i) f(x) = 3
−x
, gdzie x ∈
;
ii) f(x) = cos x, gdzie 0 < x < π;
iii) f(x) = th x, gdzie x ∈
; iv) f(x) = ln x, gdzie x > 0;
WNV
i) f
−1
0
(e + 1), gdzie f(x) = x + ln x;
ii) g
−1
0
(1), gdzie g(x) = cos x − 3x;
iii) h
−1
0
(3), gdzie h(x) =
3
√
x +
5
√
x +
7
√
x;
iv) k
−1
0
(4), gdzie k(x) = x
3
+ 3
x
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?SM[
Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe, obliczyć pochodne funkcji:
JPV
y = f (x) cos g(x);
WXV
y = e
f
(x)
g
(x)
;
Y
V
y = arctg [f (x)g(x)];
LZV
y = ln
f (x)
g
(x)
+ 1
.
7
%"&('*),+'*5
'K)K+
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?SM]
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
JPV
3
√
7.999;
WNV
e
0.04
;
Y
V
ln
2001
2000
;
LCV
arccos 0.499.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?S^
JPV
Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 200 m. Kąt przy
wierzchołku tego trójkata, zmierzony z dokładnością 0.01 rad wynosi
π
3
. Z jaką w przy-
bliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego terenu?
WNV
Objętość kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością 1 cm
3
, wynosi 36π cm
3
. Z jaką w
przybliżeniu dokładnością można obliczyć średnicę tej kuli?
Y
V
Do sztolni puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością
0.1 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli
czas spadania kamienia wyniósł 4.1 s? Przyjąć g = 9.8 m/s
2
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?S`
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oraz z różniczki funkcji znaleźć
przybliżone rozwiązania podanych równań:
JPV
x
2003
+ 2003x = 2005;
WNV
3
x
−
1
2
x
= 8.70;
Y
V
sin x + arctg x = 0.008;
LCV
x + ln x = 3.71.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?SMa
Obliczyć f
0
, f
00
, f
000
podanych funkcji:
JPV
f (x) = x
3
−
2
x
;
WNV
f (x) = x sin x;
Y
V
f (x) =
e
x
x
;
LZV
f (x) = arctg x.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?SMb
Zbadać, czy istnieje f
(n)
(x
0
) dla podanych funkcji i punktów:
JPV
f (x) = x
3
|x|, x
0
= 0, n = 3;
WXV
f (x) =
(e
x
− 1)
2
dla x ¬ 0,
x
2
dla x 0,
x
0
= 0, n = 2;
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?SMh
Funkcja f ma pochodne do drugiego rzędu włącznie. Obliczyć y
0
, y
00
dla podanych funkcji:
JPV
y = e
f
(x)
;
WNV
y = f (tg x);
Y
V
y = xf (3x);
LZV
y = f f x
2
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U?SMi
Znaleźć wzory ogólne na pochodną n−tego rzędu podanych funkcji:
JPV
u(x) =
1
√
x
;
WXV
v(x) = sin
2
x;
Y
V
w(x) = xe
x
;
LCV
z(x) = ln(1 + 2x).
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\[mj
Punkt materialny porusza się po krzywej y = 2
x
w ten sposób, że jego rzut na oś Ox ma
stałą prędkość v
x
= 3. Z jaką prędkością (w kierunku osi Oy) porusza sie ten punkt w
chwili, gdy jest na wysokości 4?
8
◦
IKJMLNJPOPQ
R"^U\[CS
JPV
Złożona drabina strażacka ma długość 10 m i jest pozioma. Przy rozkładaniu drabiny
podnosi się ona z prędkością kątową ω =
π
12
rad/min i jednocześnie wysuwa z prędkością
w = 5 m/min. Z jaką prędkością będzie się poruszał strażak w koszu na końcu drabiny
po 3 minutach wznoszenia?
WNV
Położenie cząstki w chwili t opisuje wektor wodzący
~
r
= e
t
cos t, e
t
sin t, e
t
. Znaleźć
przyspieszenie cząstki w chwili, gdy wektor prędkości miał długość
√
3.
%"&('*),+'&*
ce+
G8?H,r*BXH
s
8
:
Ftv
sx
@z
:
@BKFl@<Fl
s
8
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U?S
Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [−1, 1].
Narysować wykresy tych funkcji.
JPV
u(x) =
cos
πx
2
;
WXV
v(x) = 1 − |x|;
Y
V
w(x) = arcsin |x|;
LZV
z(x) =
(
x
3
sin
π
x
dla x 6= 0,
0
dla x = 0;
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U\[
Zastosować twierdzenie Lagrange’a do podanych funkcji na wskazanych przedziałach. Wy-
znaczyć odpowiednie punkty:
JPV
u(x) = e
x
, [0, 2];
WNV
v(x) = x
3
+ x, [−1, 1] .
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U\]
Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
JPV
| arctg a − arctg b| ¬ |a − b| dla a, b ∈
;
WXV
ln
a
b
¬ b − a dla 1 ¬ a ¬ b.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U_^
Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji:
JPV
u(x) =
x
4
4 −
x
3
3 −
x
2
;
WNV
v(x) = e
x
(x + 1);
Y
V
w(x) = x − 3
3
√
x;
LZV
z(x) = x ln
2
x.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U_`
Narysować wykresy funkcji f :
−→
, które spełniają wszystkie podane warunki:
JPV
f
0
(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 1) ∪ (4, ∞), f
0
(x) < 0 dla x ∈ (1, 4) ale f
0
(1), f
0
(4) nie istnieją;
WNV
f
0
(x) > 0 dla każdego x < 1, f
0
(x) < 0 dla każdego x > 1, f
0
−
(1) = 1, f
0
+
(1) = −
1
2
,
f (1) = 2;
Na rysunkach zaznaczyć fragmenty wykresów, które spełniają poszczególne warunki.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U\a
Uzasadnić podane tożsamości:
JPV
arctg x + arcctg x =
π
2
dla x ∈
;
WNV
arcsin
2x
1 + x
2
= 2 arctg x dla x ∈ (−1, 1).
9
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U\b
Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:
JPV
lim
x→∞
ln (2
x
+ 1)
x
;
WXV
lim
x→1
ln sin
π
2
x
ln x
;
Y
V
lim
x→0
(cos x)
1
x
;
LCV
lim
x→∞
x arcctg x.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U\h
Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de L’Hospitala?
JPV
lim
x→0
x
3
sin
1
x
sin
2
x
;
WXV
lim
x→−∞
x + cos 3x
x − cos 2x
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U\i
Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f, punktów x
0
oraz n :
JPV
f (x) = x
3
, x
0
= −1, n = 4;
WNV
f (x) =
1
x
2
, x
0
= 1, n = 2;
Y
V
f (x) = sin 2x, x
0
= π, n = 3;
LZV
f (x) = e
−x
, x
0
= 0, n = 5.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U?Sj
Napisać wzór Maclaurina dla podanych funkcji ze wskazaną resztą:
JPV
f (x) = sin
x
3
, R
n
;
WXV
f (x) = ch x, R
n
.
%"&('*),+
'+
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U?SPS
Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:
JPV
ch x ≈ 1 +
x
2
2
, |x| ¬ 0.1;
WNV
tg x ≈ x, |x| ¬
π
12
;
Y
V
ln(1 − x) ≈ −x −
x
2
2 −
x
3
3
, |x| < 0.1;
LZV
1
√
4 + x
≈
1
2 −
x
16
, 0 < x < 0.1.
◦
IKJMLNJPOPQ
R"`U?SM[
Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
JPV
sin 0.1 z dokładnością 10
−5
;
WNV
1
e
z dokładnością 10
−3
.
:
:Ks
8?Htv
syx
@{z8
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU?S
Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych
punktach:
JPV
u(x) =
|x| dla x 6= 0,
1
dla x = 0,
x
0
= 0;
WXV
v(x) = ch x, x
0
= 0;
Y
V
w(x) = |x − 1| + |x + 1|, x
0
= 1;
LCV
z(x) = |sin x|, x
0
= π.
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU\[
Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
JPV
u(x) =
2x
2
− 1
x
4
;
WXV
v(x) = x ln x;
Y
V
w(x) = x −
√
x;
LCV
z(x) =
x
2
− 5x − 6
.
10
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU\]
Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
JPV
u(x) = 2x
3
− 15x
2
+ 36x, [1, 5];
WNV
v(x) = arctg
1 − x
1 + x
, [0, 1];
Y
V
w(x) =
(
2x
2
+
2
x
2
dla x 6= 0,
1
dla x = 0,
, [−2, 2];
LCV
z(x) = 1 −
9 − x
2
, [−5, 1] .
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU_^
Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji:
JPV
u(x) = xe
−x
;
WNV
v(x) = ln 1 + x
2
;
Y
V
w(x) = x −
2
3
x
3
− 4 ln |x|;
LCV
z(x) = sin x +
1
8
sin 2x.
%"&('*),+dc!5¡&(/92¢&
,
+o)K+
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU_`
Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
JPV
u(x) = x ln x;
WXV
v(x) =
√
x
x − 1
;
Y
V
w(x) = arcsin
1 − x
2
1 + x
2
;
LCV
z(x) = e
2−x
2
x
2
−1
;
RmV
r(x) = 3 −
4
x
−
4
x
2
;
£wV
s(x) = x2
1
x
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU\a
Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy
będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od
punktu najbliższego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200
000 euro, a na lądzie – 100 000 euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić
rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
¤
¤
Platforma
wiertnicza
¤
¤
¥
¦
¥
¦
§
¨
x
16
km
10
km
Rafineria
©
©
©
©
©
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU\b
Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkości (pomijamy opór powietrza). W czasie
spadku kropla paruje w ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjonalnie do upływu
czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała połowa jej masy. Po ilu sekundach energia
kinetyczna kropli będzie największa?
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU\h
Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu,
aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?
11
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª«
«
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
α
¨
r
®
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU\i
Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m
3
i kwadratową podstawę. Koszt
1 m
2
blachy potrzebnej do wykonania jego dna i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych
– 30 zł. Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU?Sj
Jakie powinny być wymiary prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym natural-
nym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?
a
b
rzeka
S
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU?SPS
Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych
na tych częściach była najmniejsza.
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU?SM[
JPV
W parabolę o równaniu y = 16 − x
2
wpisano prostokąt, w sposób przedstawiony na
rysunku. Znaleźć wymiary prostokąta, który ma największe pole.
¥
§
y
x
x
y
O
y
=16−x
2
¥
§
y
x
O
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
®
®
®
B
C
A
y
=x+2
y
=x
2
°
°
°
°
±
±
±
±
²
²
²
²
²
²
WNV
Na paraboli y = x
2
wyznaczyć punkt A tak, aby pole trójkata, którego wierzchołkami
są punkt A oraz punkty B, C przecięcia paraboli z prostą y = x + 2, było największe.
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU?SM]
Wytrzymałość deski o ustalonej długości jest wprost proporcjonalna do jej szerokości oraz
kwadratu grubości. Jakie wymiary powinna mieć deska wycięta z okrągłego pniaka o pro-
mieniu r = 9 cm, aby jej wytrzymałość była największa?
³
´
´
´
´¶µ
§
¨
¥
¦
s
h
r
12
◦
IKJMLNJPOPQ
R aEU?S^
Drogi łączące miasta A i B oraz B i C torzą kąt
π
3
(zobacz rysunek). Samochód osobowy
wyruszył z miasta A do B i poruszał się prędkością v
1
= 80 km/h. Jednocześnie z miasta
B do C wyruszył samochóch ciężarowy i jechał z prędkością v
2
= 50 km/h. Po jakim czasie
samochody te będą najbliżej siebie, jeżeli odległość między miastami A i B wynosi 200
km?
·
·
·
·
·
·
·
·
¸
¸
¸
®
®
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¨
º
A
B
C
v
1
v
2
π
3
d
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
½
7
:~
=
x
8
s
8?HFKB
s:
@CBNF
s
H
%"&('*),+dc!5¡&(/'&
,
+o)K+
◦
IKJMLNJPOPQ
R bEU?S
Obliczyć podane całki nieoznaczone:
JPV
Z
3
3
√
x
2
+
1
x
3
− 2x
√
x
dx;
WXV
Z
1 − x
1 −
3
√
x
dx;
Y
V
Z
x
4
x
2
+ 1
dx;
LCV
Z
cos 2x
cos x − sin x
dx.
◦
IKJMLNJPOPQ
R bEU\[
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:
JPV
Z
ln(x + 1) dx;
WNV
Z
cos ln x dx;
Y
V
Z
x
2
2
x
dx;
LZV
Z
√
x arctg
√
x dx;
R3V
Z
x ch x dx;
£wV
Z
(x − 1)e
x
x
2
dx.
◦
IKJMLNJPOPQ
R bEU\]
Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone:
JPV
Z
cos √x
√
x
dx;
WXV
Z
(x+1) sin x
2
+2x+2 dx;
Y
V
Z
√
1 + 4x
x
dx;
LZV
Z
cos x
√
1 + sin x
dx;
R3V
Z
dx
ch x
dx;
£wV
Z
3x + 2
3x
2
+ 4x + 7
dx.
◦
IKJMLNJPOPQ
R bEU_^
Obliczyć podane całki nieoznaczone:
JPV
Z
(|x| + 1) dx;
WXV
Z
f (x) dx, gdzie f (x) =
x
dla x < 0,
sin x dla x 0;
Y
V
Z
min x, x
2
dx;
LCV
Z
arctg |x| dx.
13
%"&('*),+¿¾/c!/ À$+'K)K+
◦
IKJMLNJPOPQ
R bEU_`
Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:
JPV
Z
(x + 2) dx
x(x − 2)
;
WNV
Z
x
2
dx
x + 1
;
Y
V
Z
dx
(x − 1)x
2
;
LZV
Z
dx
(x
2
+ 1) (x
2
+ 4)
;
RmV
Z
(4x + 1) dx
2x
2
+ x + 1
;
£wV
Z
(3x − 1) dx
x
2
− x + 1
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R bEU\a
Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:
JPV
Z
dx
sin x + tg x
;
WXV
Z
1 + tg x
cos x
dx;
Y
V
Z
dx
1 + 2 cos
2
x
;
LZV
Z
sin
2
x
1 + cos x
dx;
RmV
Z
dx
1 − tg x
;
£wV
Z
sin
5
x
cos
3
x
dx.
◦
IKJMLNJPOPQ
R bEU\b
Obliczyć podane całki z funkcji niewymiernych:
JPV
Z
dx
(1 + x
2
)
√
1 + x
2
;
WXV
Z
x
3
p1 + x
2
dx;
Y
V
Z
x
2
dx
√
x
2
− 1
;
LCV
Z
√
9 − x
2
x
.
%"&('*),+dc 2ÁfTÀ$+'K)K+
7
:~
=
x
8>FKB
s:
@CBXF
s
H
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU?S
Korzystając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczyć podane całki
oznaczone:
JPV
1
Z
−2
(2x − 1) dx;
WXV
2
Z
0
|x − 1| dx.
Wskazówka. Ad.
ÂÄÃ
przedział całkowania podzielić równomiernie parzystą liczbą punktów.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU\[
Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki:
JPV
2
Z
1
√
x +
1
√
x
dx;
WXV
1
Z
0
x − 1
x + 1
dx;
Y
V
9
Z
0
dx
x
2
+ 9
dx;
LZV
1
2
Z
−
1
2
dx
x
2
− 1
dx;
R3V
e
Z
1
e
ln x dx;
£wV
π
Z
0
sin
2
x cos x dx.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU\]
Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:
JPV
lim
n
→
∞
1
n
√
n
√
1 + n +
√
2 + n + . . . +
√
n + n
=
2
3
2
√
2 − 1
;
WNV
lim
n
→
∞
n
1
n
2
+ n + 1
2
+
1
n
2
+ 2n + 2
2
+ . . . +
1
n
2
+ n
2
+ n
2
=
π
3
√
3
;
14
Y
V
lim
n
→
∞
π
4n
tg
π
4n
+ tg
2π
4n
+ . . . + tg
nπ
4n
= ln
√
2;
LZV
lim
n
→
∞
1
n
ln
(1 + n)(2 + n) · . . . · (n + n)
n
n
= ln 4 − 1.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU_^
Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
JPV
6
Z
1
dx
1 +
√
3x − 2
, 3x − 2 = t
2
;
WXV
3
Z
1
x dx
√
x + 1
, 1 + x = t;
Y
V
e
Z
1
ln x, ln x = t;
LZV
1
4
Z
0
dx
√
x(1 − x)
, x = t
2
;
RmV
1
Z
1
3
3
√
x − x
3
x
4
, x =
1
t
;
£wV
1
2
Z
0
r
1 + x
1 − x
, dx, x = cos t.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU_`
Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone:
JPV
1
Z
0
arcsin x dx;
WNV
e
Z
√
e
ln x
x
2
dx;
Y
V
π
Z
0
x(1 + cos x) dx;
LCV
1
Z
0
x
2
e
2x
dx.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU\a
Obliczyć podane całki oznaczone:
JPV
2
Z
1
e
(x − 1)sgn (ln x) dx;
WNV
3
Z
0
f (x) dx, gdzie f (x) =
1−x
dla 0 ¬ x ¬ 1,
1
dla 1 < x ¬ 2,
(2−x)
2
dla 2 < x ¬ 3;
Y
V
2
Z
−2
||x| − 1| dx;
LZV
4
Z
0
|x − 1| dx
|x − 2| + |x − 3|
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU\b
Oszacować podane całki:
JPV
2
Z
0
x
6
+ 5
x
6
+ 2
dx;
WNV
1
Z
0
dx
√
2 + x + x
2
dx;
Y
V
π
2
Z
0
√
sin x dx;
LCV
1
Z
0
ln 1 + x
9
dx.
%"&('*),+k)l1m5>Å$À$+'K)K+
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU\h
Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
15
JPV
u(x) =
1
x
2
+ 4
,
h
0,
π
2
i
;
WNV
v(x) = sin
3
x, [0, π];
Y
V
w(x) = |ln x| ,
1
e
, e
;
LZV
z(x) = arctg x,
h
0,
√
3
i
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU\i
JPV
Kamień rzucono z wysokości h = 2 m pionowo do góry z szybkością początkową v
0
=
5 m/s. Obliczyć średnią szybkość kamienia w czasie ruchu (od momentu wyrzucenia do
momentu upadku na ziemię). Nie uwzględniać oporu powietrza, przyjąć g = 10 m/ s
2
;
WNV
Zapotrzebowanie na energię elektryczną w Polsce 13 kwietnia 2003 r. przedstawiono na
wykresie. Obliczyć średnie zapotrzebowanie na energię w tym dniu.
¥
§
energia
[M W ]
20
10
5
67
13151719 2224 czas [godz.]
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU?Sj
W Nowy Rok średnia temperatura we Wrocławiu była równa 4
◦
C. Przy czym od północy
do godziny 6 rano temperatura była ujemna, a w godz. od 18 do 24 nie przekraczała 2
◦
C.
Uzasadnić, że w pewnej chwili temperatura była równa 7
◦
C.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU?SPS
Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uza-
sadnić podane równości:
JPV
1
Z
−1
x
5
− 3x
3
+ x
x
4
+ 2x
2
+ 1
dx = 0;
WNV
π
Z
−π
x sin x
1 + cos x
2
dx = 2
π
Z
0
x sin x
1 + cos x
2
dx;
Y
V
1
e
Z
−
1
e
ln
1 + sin x
1 − sin x
dx = 0;
LZV
n
Z
0
(x − E(x)) dx = n
1
Z
0
(x − E(x)) dx, gdzie n ∈
Æ
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R hEU?SM[
Dla podanych funkcji f całkowalnych na przedziale [a, b], znaleźć funkcje górnej granicy
całkowania
F (x) =
x
Z
c
f (t) dt, gdzie c ∈ [a, b].
Naszkicować wykresy funkcji f i F.
JPV
f (x) = sgn x − x
2
, [a, b] = [−1, 2], c = 0;
WNV
f (x) = min
1, x
2
[a, b] = [−2, 3], c = −2.
%"&('*),+dn|5>)K/"1ZÀ$+'K)K+
Ç
:<ÄÈ
F
FG
:Ks
8
:
@
:Ä~
=H
x
FKB
s:
@CBNF
s
@<
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU?S
Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
16
JPV
√
x +
√
y = 1, x = 0, y = 0;
WNV
4y = x
2
, y =
8
x
2
+ 4
;
Y
V
y = x
3
, y = 2x;
LZV
y = x
2
, y =
1
2
x
2
, y = 3x;
RmV
y = πx
2
, x = πy
2
;
£V
y = x + sin x, y = x, (0 ¬ x ¬ 2π).
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU\[
Obliczyć długości podanych krzywych:
JPV
y = ln
e
x
+ 1
e
x
− 1
, gdzie 2 ¬ x ¬ 3;
WXV
y = x
2
, gdzie 0 ¬ x ¬ 1.
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU\]
JPV
Wyprowadzić wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego o wysokości H i podstawie
kwadratowej o boku a.
WNV
Walec o promieniu podstawy R ścięto ukośnie płaszczyzną (rysunek). Mniejsza wyso-
kość walca wynosi h, a większa H. Obliczyć objętość tego walca.
É
É
É
É
É
§
¨
¥
¦
§
¨
h
H
R
Y
V
Obliczyć objętość stożka ściętego o wysokości H i promieniach podstaw r, R, gdzie
r < R.
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU_^
Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:
JPV
T : 0 ¬x¬2, 0 ¬ y ¬ 2x − x
2
, Ox;
WXV
T : 0 ¬x¬
√
5, 0 ¬ y ¬
2
√
x
2
+ 4
, Oy;
Y
V
T : 0 ¬x¬
π
4
, 0 ¬ y ¬ tg x, Ox;
LCV
T : 0 ¬x¬1, x
2
¬ y ¬
√
x, Oy.
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU_`
Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu wokół osi Ox figur T przedstawionych na
rysunkach poniżej:
§
¥
Ê
§
¨
Ë
Ë
Ë
Ì
r
y
h
x
O
T
JPV
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Í
¥
§
Ê
¯
¯
¥
¦
¯
¯
¯
¯
¯
Í
¯
¯
¯
¯
¯Î
§
¨
parabola
y
O
z
x
h
a
b
T
WCÏ3V
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU\a
Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wska-
zanych osi:
17
JPV
f (x) = cos x, 0 ¬ x ¬
π
2
, Ox;
WXV
f (x) =
√
4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;
Y
V
f (x) = ln x, 1 ¬ x ¬
√
3, Oy;
LCV
f (x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy.
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU\b
Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wokół osi Ox krzywych Γ przedstawionych
na rysunkach poniżej:
§
¥
§
¨
O
Γ
h
x
y
·
·
·
·
Ð
r
JPV
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Í
¥
§
y
O
z
x
WCÏ3V
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Ò
r
¯
¯
¯
¯
¯
Í
¯
¯
¯
¯
¯Î
h
Γ
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU\h
JPV
Przy rozciąganiu sprężyny siła rozciągania jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny
(współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby
sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L;
WNV
Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2 m, a długość L = 6 m.
Obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbior-
nik. Otwór do opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa
wody γ = 1000 kg/m
3
.
◦
IKJMLNJPOPQ
R iEU\i
JPV
Punkt materialny zaczął poruszać się prostoliniowo z szybkością początkową v
0
=
10 m/s i przyspieszeniem a
0
= 2 m/s
2
. Po czasie t
1
= 10 s punkt ten zaczął poru-
szać się z opóźnieniem a
1
= −1 m/s
2
. Znaleźć położenie punktu po czasie t
2
= 20 s od
chwili rozpoczęcia ruchu;
WNV
Dwie cząstki elementarne A i B położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do
siebie z szybkościami odpowiednio v
A
(t) = 10t + t
3
, v
B
(t) = 6t, gdzie t 0. Po jakim
czasie nastąpi zderzenie tych cząstek?
◦
IKJMLNJPOPQ
RXÏ iZU?Sj
Do dwóch jednakowych naczyń w kształcie walca włożono dwie bryły. Do naczyń wlewa
się woda z tą samą intensywnością. Pokazać, że jeżeli w każdej chwili poziom wody w
obu naczyniach był jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych
wysokościach są równe.
18