Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008

Zad.1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Zbada´c, czy pole wektorowe ~

F

= [3x

2

+ y, x, 2z] spe lnia warunek wystarczaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczy´c

ten potencja l.

Zad.2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczy´c moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OXY krzywej L : {x

2

+ y

2

= 4, z = 2} o g¸esto´sci masy

ρ

(x, y, z) = xyz + x

2

z

.

Zad.3. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczy´c

R

L

x

2

ydx

+ xy(y + 1)dy, je˙zeli L jest krzyw¸a L : {x

2

+ y

2

+ 2y = 0} zorientowan¸a ujemnie wzgl¸edem

swojego wn¸etrza.

Zad.4. [2p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

a) Poda´c twierdzenie Greena.

b) Korzystaj¸ac z twierdzenia Greena obliczy´c

R

L

(x + y)dx + 2xdy, je˙zeli L jest tr´

ojk¸atem o wierzcho lkach A(0,0),

B(2,0) o C(0,2) zorientowanym dodatnio wzgl¸edem swojego wn¸etrza.

Zad.5. [6p+2p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Dana jest linia ´srubowa

L

: ~r(t) = [a cos t, a sin t, bt], a, b > 0, t ∈ R

Obliczy´c krzywizn¸e krzywej L w dowolnym jej punkcie. Wyznaczy´c k¸at, jaki tworzy p laszczyzna ´sci´sle styczna

do L w dowolnym jej punkcie z osi¸a OZ.

b) Poda´c definicj¸e punktu wyprostowania krzywej. Czy linia ´srubowa rozwa˙zana w punkcie a) posiada punkty

wyprostowania?