Analiza funkcjonalna - wykład 7 - część I
Elementy i zbiory ortogonalne
w przestrzeni Hilberta
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Analiza funkcjonalna - wykład 7 - część I
Elementy i zbiory ortogonalne
w przestrzeni Hilberta
Zofia Lewandowska
I Matematyka SDS
specjalizacja nauczycielska
Zofia Lewandowska
Spis treści
1
Definicja
Twierdzenie Pitagorasa
2
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Elementy x i y przestrzeni unitarnej X nazywamy ortogonalnymi,
jeżeli (x|y) = 0.
ozn. x⊥y
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Elementy x i y przestrzeni unitarnej X nazywamy ortogonalnymi,
jeżeli (x|y) = 0.
ozn. x⊥y
Własność
Jeżeli element y jest ortogonalny do x
1
i x
2
, to y jest ortogonalny
do αx
1
+ βx
2
dla każdej liczby α i β.
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Mówimy, że x jest ortogonalny do zbioru A, jeżeli x⊥a dla każdego
a ze zbioru A.
ozn. x⊥A
Zofia Lewandowska
Definicja
Definicja
Mówimy, że x jest ortogonalny do zbioru A, jeżeli x⊥a dla każdego
a ze zbioru A.
ozn. x⊥A
Definicja
Mówimy, że zbiory A i B są ortogonalne, jeżeli każdy element
zbioru A jest ortogonalny do każdego elementu zbioru B.
ozn. A⊥B
Zofia Lewandowska
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa
Niech X będzie przestrzenią unitarną.
Jeżeli elementy x i y są ortogonalne, to
kx + yk
2
= kxk
2
+ kyk
2
.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Uwaga
Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Hilberta jest
przestrzenią Hilberta.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Uwaga
Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Hilberta jest
przestrzenią Hilberta.
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Niech X
0
będzie podprzestrzenią liniową domkniętą w przestrzeni
Hilberta X.
Każdy element x przestrzeni X można przedstawić w sposób
jednoznaczny w postaci
x = x
0
+ z,
gdzie x
0
∈ X
0
, z⊥X
0
.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
X = X
0
⊕ X
⊥
0
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Twierdzenie Riesza 1
Jeżeli f jest ciągłym funkcjonałem liniowym określonym
w przestrzeni Hilberta X, to istnieje dokładnie jeden element a
w przestrzeni X taki, że
f (x) = (x|a)
dla każdego x z przestrzeni X oraz kf k = kak.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Twierdzenie Riesza 1
Jeżeli f jest ciągłym funkcjonałem liniowym określonym
w przestrzeni Hilberta X, to istnieje dokładnie jeden element a
w przestrzeni X taki, że
f (x) = (x|a)
dla każdego x z przestrzeni X oraz kf k = kak.
Twierdzenie Riesza 2
Dla każdego a z przestrzeni Hilberta X wzór
f (x) = (x|a)
dla każdego x z przestrzeni X, określa ciągły funkcjonał liniowy
nad przestrzenią Hilberta X taki, że kf k = kak.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Wnioski
Wniosek 1
Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Wówczas X
∗
jest izometrycznie izomorficzna z X.
ozn. X
∗
' X
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Wnioski
Wniosek 1
Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Wówczas X
∗
jest izometrycznie izomorficzna z X.
ozn. X
∗
' X
Wniosek 2
Niech X będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas istnieje
różnowartościowe odwzorowanie
H : X
∗
→ X
z przestrzeni sprzężonej X
∗
na X takie, że
H(f ) = a, f ∈ X
∗
oraz kH(f )k = kf k, tj. H jest izometrią.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Ogólny kształt funkcjonału liniowego ciągłego nad przestrzenią l
2
Jeżeli f jest ciągłym funkcjonałem liniowym określonym
w przestrzeni l
2
, to istnieje dokładnie jeden element a = (α
k
)
k∈N
w przestrzeni l
2
taki, że
f (x) =
∞
X
k=1
ξ
k
α
k
dla każdego x = (ξ
k
)
k∈N
z przestrzeni l
2
oraz kf k = kak.
Zofia Lewandowska
Twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Twierdzenie Riesza
Ogólny kształt funkcjonału liniowego ciągłego nad przestrzenią l
2
Dla każdego a = (α
k
)
k∈N
z przestrzeni l
2
wzór
f (x) =
∞
X
k=1
ξ
k
α
k
dla każdego x = (ξ
k
)
k∈N
z przestrzeni l
2
, określa ciągły funkcjonał
liniowy nad przestrzenią l
2
taki, że kf k = kak.
Zofia Lewandowska