5. Kwantowy oscylator harmoniczny

Układy kwantowych oscylatorów harmonicznych to np.

-drgania pola EM

-drgania sieci krystalicznej (atom ów)

-drgania momentów magnetycznych w układach uporządkowanych magnetycznie.

Operator energii całkowitej (Hamiltonian):

Wychodzimy z równania Schrodlingera:

/:

, gdzie przyjmujemy

.

Podstawiamy:

,

,

Po podstawieniu otrzymujemy:

. Wyrażenie to oznaczamy jako

rozpisujemy:

(*)

Oznaczenia:

,

.

Z (*) wynika, że

(!)

Operatory

i spełniają:

,

Dalej rozważamy równanie:

,

(**)

na które działamy z lewej strony :

, z tego wynika, że

to stan dla wartości własnej

mniejszej o 1. (Skorzystaliśmy z tego, że

)

Z tego natomiast otrzymujemy, że

to funkcja własna operatora

do wartości własnej

n-1.

Obserwacja:

. Musi istnieć stan

, dla którego b

Teraz na równanie (**) działamy

.

, a więc, analogicznie do wcześniejszych rozważań

to funkcja własna

operatora

do wartości własnej n+1.

->

->

->

I tak dalej…

Funkcje falowe oscylatora:

->

->

->

Więc:

Gdzie

- wielomian Hermite’a o dość skomplikowanej formule, zależny od oraz .

UWAGI:

1) Operatory b i

spełniają związki:



. Operator

jest sprzężeniem hermitowskim operatora .



. Operator jest sprzężeniem hermitowskim operatora

.

2) Operatory i można zapisać za pomocą i

:

->

->

3) Wartość

w stanie podstawowym:

Energia w stanie podstawowym:

Zasada nieoznaczoności pędu i położenia, mówiąca, że:

to stan podstawowy oscylatora harmonicznego, zasada nie oznaczoności pędu i położenia jest
wysycona.