EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/1
x
z
y
OPIS RUCHU
Wektor połoŜenia, promień wodzący
0
Równanie ruchu
( )
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
ˆ
r t
x t
x
y t
y
z t
z
=
⋅ +
⋅ +
⋅
Eliminując z tych równań czas otrzymujemy
równanie toru
z = F (x, y)
r
( )
t
r
r
=
( )
( )
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
x t
x t x
y t
y t y
z t
z t z
=
=
=
z
z
y
y
x
x
r
ˆ
ˆ
ˆ
⋅
+
⋅
+
⋅
=
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/2
PRĘDKOŚĆ
Prędkość średnia
2
1
2
1
r
r
r
r
v
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
prędkość średnia punktu
w czasie
1
2
t
t
t
−
=
∆
Prędkość
(prędkość chwilowa)
∆t → 0
dt
r
d
t
r
v
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dr
v
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
dx
dy
dz
v
x
y
z
dt
dt
dt
=
+
+
prędkość jest zawsze
styczna do toru
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/3
PRZYSPIESZENIE
Przyspieszenie średnie
2
1
2
1
sr
v
v
v
a
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
Przyspieszenie
∆t → 0
dt
v
d
t
v
a
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dv
a
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
y
x
z
dv
dv
dv
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
2
2
d r
a
dt
=
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
d x
d y
d z
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/4
d t
v
d
a
=
SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA
Przyspieszenie ma składowe
a
x
, a
y
i
a
z
x
y
z
a
a
a
a
=
+
+
oraz
a
s
i
a
n
n
s
a
a
a
+
=
przyspieszenie styczne do toru, opisujące zmiany
wartości prędkości
dt
dv
a
s
=
v - wartość prędkości
przyspieszenie normalne, prostopadłe do toru –
opisujące zmiany kierunku prędkości
2
ρ
v
a
n
=
ρ
- promień krzywizny toru.
a
n
a
s
a
a
a
a
a
a
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/5
CAŁKA NIEOZNACZONA - FUNKCJA
FUNKCJĄ PIERWOTNĄ
danej funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x) taką, Ŝe
F’(x) = f(x)
Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do
stałej
F
1
(x) = F(x) + C
1
CAŁKA NIEOZNACZONA
Całka nieoznaczona jest to taka funkcja,
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
której pochodna równa jest funkcji podcałkowej f(x)
f(x)dx
- wyraŜenie podcałkowe, x - zmienna całowania
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/6
CAŁKI NIEOZNACZONE
Wzory na całkowanie moŜna otrzymać przez
odwrócenie wzorów na róŜniczkowanie:
( )
1
n
n
d
x
nx
dx
−
=
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
dla m
≠
-1
)
ln(
1
x
dx
x
=
∫
x
xdx
cos
sin
−
=
∫
x
xdx
sin
cos
=
∫
•
Reguły całkowania:
∫
∫
=
dx
x
f
a
dx
x
f
a
)
(
)
(
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
wdx
vdx
udx
dx
w
v
u
)
(
na przykład
2
1
2
xdx
x
=
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/7
CAŁKA OZNACZONA - LICZBA
(a,b) dzielimy na n przedziałów
∆
x
i
= x
i
-
x
i -1
wewnątrz kaŜdego przedziału wybieramy punkt
ξ
i
∑
∫
=
→
→
∆
∆
=
n
i
i
i
n
x
b
a
x
f
dx
x
f
i
1
0
0
)
(
lim
)
(
ξ
JeŜeli istnieje granica i nie zaleŜy od wyboru punktów x
i
i
ξ
i
,
to nazywamy ją całką oznaczoną.
Całka oznaczona
( )
b
a
f x dx
∫
jest to liczba równa wartości pola powierzchni wyznaczonej
przez funkcje f(x) oraz proste: y = 0, x = a, x = b
f
(x)dx
- wyraŜenie podcałkowe
a - dolna granica
b - górna granica
x - zmienna całowania
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/8
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
∫
∫
−
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
0
)
(
=
∫
a
a
dx
x
f
∫
∫
∫
+
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
∫
∫
⋅
=
⋅
b
a
b
a
dx
x
f
c
dx
x
f
c
)
(
)
(
[
]
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
w
dx
x
v
dx
x
u
dx
x
w
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/9
TWIERDZENIE O WARTOŚCI
ŚREDNIEJ
JeŜeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to
istnieje punkt
ξ
taki, Ŝe
)
(
)
(
)
(
ξ
f
a
b
dx
x
f
b
a
⋅
−
=
∫
f(
ξ
) - wartość średnia f(x) w przedziale (a, b)
PODSTAWOWE TWIERDZENIE
RACHUNKU CAŁKOWEGO
JeŜeli
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
to
( )
( )
( )
( )
b
b
a
a
f x dx
F b
F a
F x
=
−
≡
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/10
r
x
ˆ
przykłady ruchu:
RUCH PROSTOLINIOWY
Wybieramy układ współrzędnych tak, aby
,
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
ˆ
(1)
ˆ
ˆ
(2)
ˆ
ˆ
(3)
r t
x t
x
dx
v t
x
v t
x
dt
dv
a t
x
a t
x
dt
=
⋅
=
⋅ =
⋅
=
⋅ =
⋅
dx
v
dt
dv
a
dt
→
=
→
=
i zajmujemy się tylko wartościami wektorów x(t), v(t) i a(t)
•
ze wzoru (2)
dx = v
⋅
dt
→
( )
∫
∫
=
t
t
t
x
x
vdt
dx
0
0
0
0
t
t
x
x
vdt
=
+
∫
( )
0
0
x
x t
=
•
ze wzoru (3)
dv = a
⋅
dt
→
0
0
( )
v t
t
v
t
d v
a d t
=
∫
∫
0
0
t
t
v
v
adt
=
+
∫
( )
0
0
v
v t
=
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/11
RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY
a = 0, v = const.
0
0
t
t
x
x
vdt
= +
∫
0
0
1
t
t
x
x
v
dt
= +
∫
(
)
0
0
x
x
v t
t
= +
−
dla m ≠ -1
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
1 =
t
0
0
0 1
1
0 1
t dt
t
t
+
=
=
+
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/12
(
)
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
at
t
v
x
x
dt
at
v
x
vdt
x
x
at
v
adt
v
v
t
t
t
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
a = const
.
oraz t
0
= 0
dla m ≠ -1
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
1
1 1
2
1
1
1 1
2
t dt
t
t
+
=
=
+
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/13
przykłady ruchu:
RUCH KRZYWOLINIOWY
dt
r
d
v
=
r
d
dt
v
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
r
r
t
r
d
dt
v
)
0
(
)
(
0
r
t
r
dt
v
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
dt
v
d
a
=
v
d
dt
a
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
v
v
t
v
d
dt
a
)
0
(
)
(
0
v
t
v
dt
a
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/14
JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
const.
a
=
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
t
a
v
v
+
=
0
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
(
)
∫
+
+
=
t
dt
t
a
v
r
t
r
0
0
0
)
(
( )
∫
∫
+
+
=
t
t
dt
t
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
∫
∫
+
+
=
t
t
tdt
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
0
t
dt
t
=
∫
2
0
1
2
t
tdt
t
=
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/15
RUCH KRZYWOLINIOWY
JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
const.
a
=
t
a
v
v
+
=
0
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
Wektory prędkości i przyspieszenia nie muszą być
równoległe.
Wektor prędkości leŜy w płaszczyźnie wyznaczonej
przez wektory a i v
0
i przechodzącej przez punkt
zdefiniowany przez wektor r
0.
Ruch odbywający się ze stałym przyspieszeniem jest
ruchem płaskim. Torem ruchu jest w ogólnym
przypadku parabola.
Przykładem takiego ruchu jest ruch w pobliŜu
powierzchni ziemi ze stałym przyspieszeniem, czyli
tzw. "rzut ukośny”
.
const
g
=