METODA MAXWELLA-MOHRA

 

Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych 
oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.
Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną 
(siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.
W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie 
obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie 
przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.
Dla potrzeb obliczeń inżynierskich (dla konstrukcji płaskich) wzór Maxwella-Mohra można przedstawić w 
postaci:

∑ ∫

=

=

δ

n

1

k

l

k

z

k

k

k

dx

EJ

)

x

(

M

)

x

(

M

gdzie: 

δ

- poszukiwane przemieszczenie,

k – liczba przedziałów użyta do wyznaczenia równań momentów gnących,

k

l

- długość przedziału (całkujemy od 0 do wartości współrzędnej x

k

 na końcu przedziału),

)

x

(

M

k

- równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy z obciążeniem 

               rzeczywistym,

)

x

(

M

k

 - równania momentu gnącego w poszczególnych przedziałach dla ramy obciążonej tylko i  

                wyłącznie siłą jednostkową lub momentem jednostkowym,

E

- moduł Younga,

z

J

- moment bezwładności na zginanie przekroju poprzecznego ramy.

Całki typy 

∫

φ

⋅

φ

l

0

k

i

dx

można obliczyć metodą tzw. mnożenia wykresów, jeżeli jedna z funkcji 

φ

i

 i 

φ

k

 jest 

liniowa na odcinku długości l. Mianowicie mnożymy pole 

Ω

i

 wykresu funkcji 

φ

i

 przez rzędną 

ω

k

 wykresu 

funkcji 

φ

k

 (ograniczonego prostą o stałym nachyleniu) znajdującą się pod środkiem ciężkości pola 

Ω

i

  . 

k

j

l

0

k

i

dx

ω

⋅

Ω

=

φ

⋅

φ

∫

Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy oba wykresy 

φ

i

 i 

φ

k

 są liniowe, wtedy możemy wyznaczyć pole 

któregokolwiek wykresu i pomnożyć je przez rzędną wykresu drugiego czyli:

j

k

k

j

l

0

k

i

dx

ω

⋅

Ω

=

ω

⋅

Ω

=

φ

⋅

φ

∫

Iloczyn 

Ω⋅ω

 jest dodatni, jeżeli pola wykresów są tego samego znaku i ujemny gdy wykresy mają różne znaki.

Ω

i

ω

k

x

φ

k

φ

i

x

Pola figur i położenia środków ciężkości

POLE

    ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

  

    

Ω

  X

C

l 

⋅

 f

 

 

2

1

 l 

2

1

 l 

⋅

 f   

3

2

 l 

3

1

 l 

⋅

 f

4

3

 l 

f

l

l

l

f

f

x

c

x

c

x

c

a

ax

ax

2

POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU

WZORU MAXWELLA-MOHRA:

1) Obciążyć układ siłami czynnymi i wyznaczyć reakcje podpór.

2)

Obciążyć układ 

tylko i wyłącznie

 

 

 

  

siłą jednostkową w miejscu i na kierunku 

poszukiwanego przemieszczenia oraz wyznaczyć reakcje podpór. 

(uwaga: jeżeli poszukujemy przesunięcia pionowego - obciążamy układ siła 
jednostkową   pionową,   jeżeli   poszukujemy   przesunięcia   poziomego   - 
obciążamy układ siła jednostkową poziomą, jeżeli poszukujemy kąta obrotu 
- obciążamy układ momentem jednostkowym

)

3) Przyjąć przedziały do opisu sił wewnętrznych identyczne w obu przypadkach 

obciążeń.

4) Napisać wyrażenia sił wewnętrznych dla obu układów.

5)

Zastosować   wzór   Maxwella-Mohra   do   obliczenia   poszukiwanego 
przemieszczenia.

POSTĘPOWANIE PRZY STOSOWANIU

 SPOSOBU WERESZCZAGINA 

DO OBLICZANIA CAŁEK MAXWELLA-MOHRA:

1)

Sporządzić   wykresy   sił  

wewnętrznych   S(x)   od   obciążenia   układu   siłami 

czynnymi

 (rzeczywiście działającymi na konstrukcje)

2)

Sporządzić   wykresy   sił  

wewnętrznych   S

1

(x)   od   obciążenia   układu   siłą 

jednostkową   przyłożoną   w   miejscu   i   na   kierunku   poszukiwanego 
przemieszczenia

.

3)

Obliczyć powierzchnię 

Ω

 i wyznaczyć środki ciężkości 

x

c

 pól wykresu 

S(x) 

odpowiadających odcinkom prostym 

S

1

(x)

4)

Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji)  

ϖ

=S

1

(x

c

)

  odpowiadające położeniom 

środków ciężkości pół wykresu 

S(x)

Podziału na pola wykresu 

S(x)

 dokonujemy po wykonaniu wykresu 

S

1

(x)

 , kiedy 

wiemy ile i jakie odcinki występują na wykresie 

S

1

(x)

W   przypadku   złożonego   obciążenia   układu   korzystniej   jest   stosować   zasadę 
superpozycji - wykresy 

S(x)

 mają prostą postać