Metoda symboliczna...
2013
K.M.Gawrylczyk
1/7
Metoda symboliczna
(liczb zespolonych)
Postacie liczb zespolonych
( )
j
2
2
*
*
j
j ,
,
,
acrtg
cos ,
sin ,
j ,
b
z
a
b
z
z e
z
a
b
a
a
z
b
z
z
a
b
z
z e
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
= +
=
=
+
=
±π
=
=
= −
=
Wzór Eulera
j
cos
j sin
e
ϕ
ϕ
ϕ
=
+ ⋅
Niektóre działania na liczbach zespolonych
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
j
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
*
1
1
1
2
j
1
2
1
2
1
2
2
1
2
*
2
2
2
2
2
j
e
j
j
e
z
z
a
a
b
b
z
z
z
z
a a
b b
a b
a b
z
z
z z
a a
b b
a b
a b
z
z z
z
z
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
−
+
=
+
+
+
⋅
=
⋅
=
⋅ − ⋅
+
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
−
⋅ − ⋅
=
=
=
Metoda symboliczna...
2013
K.M.Gawrylczyk
2/7
Pierwiastkowanie liczby zespolonej
o
360
j
1
e
k
n
n
n
z
z
z
ϕ+ ⋅
=
=
⋅
Pierwiastek kwadratowy:
o
j
180
2
1,2
e
,
0,1
k
z
z
z
k
ϕ
+ ⋅
=
=
⋅
=
Pierwiastek sze
ś
cienny z „1”
o
j
120
3
3
3
1,2,3
e
,
0,1, 2
k
z
z
z
k
ϕ
+ ⋅
=
=
⋅
=
Metoda symboliczna...
2013
K.M.Gawrylczyk
3/7
Zastosowanie metody symbolicznej w teorii obwodów
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
j
j
sin
e
cos
j sin
(wzór Eulera)
Przekształcenie odwrotne:
sin
Imag e
t
t
t
t
t
t
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
+
+
+
⇒
=
+
+ ⋅
+
+
=
Przekształcenie równań do postaci symbolicznej
na przykładzie obwodu RLC
Chcemy wyznaczyć napięcie u(t) zasilające obwód RLC, czyli jego U
m
oraz
φ
.
Dany jest prąd i(t) oraz wartości elementów R,L,C:
(
)
m
R
L
C
m
m
m
m
( )
sin
( )
( )
( )
( )
1
sin
sin
sin
sin
2
2
i t
I
t
u t
u t
u t
u t
R I
t
L I
t
I
t
U
t
C
ω
ω ω
ω
ω
ω ϕ
ω
=
+
+
=
π
π
+
+
+
−
=
+
Zamieniamy funkcje sinus na funkcje eksponencjalne:
(
)
j
j
j
j
2
2
m
m
m
m
j
j
j
j
j
j
j
2
2
m
m
m
m
j
j
j
2
2
j
1
e
e
e
e
1
e
e e
e
e
e e
e
j, e
j, upraszczamy e oraz dzielimy przez
2 :
1
j
j
e
1
j
t
t
t
t
t
t
t
t
t
R I
L I
I
U
C
R I
L I
I
U
C
R I
L I
I
U
C
I R
L
C
Z
ω
ω
ω ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
π
π
+
−
+
π
π
−
π
π
−
+
+
=
+
+
=
=
= −
+
−
=
+
−
j
e
,
U
U
I Z
U
ϕ
=
=
⋅ =
Metoda symboliczna...
2013
K.M.Gawrylczyk
4/7
Prawa Kirchhoffa w postaci symbolicznej
Pierwsze prawo Kirchhoffa dla prądów zmiennych:
(
)
( )
( )
( )
( )
j
j
j
0,
sin
e
,
2 Imag
e
2 Imag
e
0,
2
Re
sin
Im
cos
0,
Re
0,
Im
0,
0
j0.
n
n
t
n
n
m
n
n
n
n
n
N
t
n
N
n
n
N
n
n
n
N
N
N
i
i
I
t
I
I
i
I
I
I
t
I
t
I
I
I
ϕ
ω
ω
ω ϕ
ω
ω
=
=
+
⇒
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
=
=
=
= +
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Podobne wyprowadzenie mo
Ŝ
na przeprowadzi
ć
dla drugiego prawa Kirchhoffa
otrzymuj
ą
c:
0.
m
M
U
=
∑
Tak wi
ę
c prawa Kirchhoffa obowi
ą
zuj
ą
dla zapisu symbolicznego.
Połączenie równoległe elementów
C
L
1
1
j
j
j
j
1
1
1
1
j
j ,
,
.
R
L
C
U
U
I
I
I
I
C U
C U
Y U
R
L
R
L
Y
C
G
B
G
B
C
B
B
R
L
R
L
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
+
+
= +
+
⋅ =
+
+
= ⋅
= −
−
= +
=
=
−
=
−
Metoda symboliczna...
2013
K.M.Gawrylczyk
5/7
WyraŜenie admitancji zespolonej przy pomocy impedancji zespolonej
1
Y
Z
=
Na przykład, dla gałęzi szeregowej mamy impedancję
j
Z
R
X
= + ⋅
Wtedy admitancja obwodu wynosi:
2
2
2
2
1
1
j
j
j
j
j
j
R
X
R
X
Y
G
B
R
X
R
X R
X
R
X
R
X
− ⋅
=
=
⋅
=
− ⋅
= + ⋅
+ ⋅
+ ⋅
− ⋅
+
+
Czyli, konduktancja gałęzi szeregowej wynosi:
2
2
2
2
, a jej susceptancja:
R
X
G
B
R
X
R
X
−
=
=
+
+
przy czym zachodzi:
C
L
B
B
B
=
−
.
Moce przy zapisie symbolicznym
Rozpatrzmy gałąź szeregową
RL. PoniewaŜ ma ona charakter indukcyjny, kąt φ
jest dodatni i leŜy w pierwszej ćwiartce (patrz wykresy na następnej stronie).
Moce moŜna wyrazić jako:
2
2
2
cos
, gdzie
jest wartością skuteczną prądu,
sin
, a
jest wartością skuteczną napięcia.
P
U
I
R I
I
I
Q
U
I
X
I
U
U
S
U
I
Z
I
ϕ
ϕ
=
⋅ ⋅
= ⋅
=
=
⋅ ⋅
= ⋅
=
=
⋅ =
⋅
Wprowadzamy moc pozorną zespoloną (definicja):
j
S
P
Q
= +
Dla gałęzi szeregowej RL jest wtedy:
2
2
2
*
*
j
S
R I
X
I
Z I
Z I I
U I
= ⋅
+ ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
Wzór ten moŜna uogólnić na inne obwody.
Metoda symboliczna...
2013
K.M.Gawrylczyk
6/7
Wykresy trójkątowe (wskazowe) dla gałęzi RL przy zapisie symbolicznym.
Metoda symboliczna...
2013
K.M.Gawrylczyk
7/7
Kondensator rzeczywisty
Układ zastępczy kondensatora rzeczywistego i jego wykres wektorowy
Kondensator rzeczywisty charakteryzuje pewien prąd I
cz
(czynny) płynący w dielektryku
(izolatorze). Ma on oczywiście charakter rezystancyjny i jest w fazie z napięciem. Kąt
δ
pokazany na rysunku nazywany jest kątem stratności i odgrywa waŜną rolę w układach
izolacyjnych, świadcząc o ich jakości. JeŜeli przyjmiemy płaski model budowy kondensatora,
moŜna podać wzór przybliŜony:
=
,
, stąd:
konduktywność el. izolatora,
1
tg
przenikalność dielektr. izolatora.
l
S
R
C
S
l
R C
ε
γ
γ
δ
ω
ωε
⋅
=
⋅
←
=
=
←
Ze wzoru tego wynika fakt, Ŝe tg
δ
rośnie dla małych częstotliwości, czyli jego pomiar
będzie najdokładniejszy przy zastosowaniu bardzo niskiej częstotliwości.
Cewka rzeczywista
Układ zastępczy cewki rzeczywistej i jego wykres wektorowy
Dobroć cewki:
L
L
Q
R
ω
=