J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   1   

Pękanie – zastosowanie funkcji Airy 

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   2   

Pękanie powierzchniowe (surface/map/mud cracking)  

 

 

Callister W.D. Materials science and engineering. John Wiley&Sons 2000  

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   3   

 

 
Kruche pękanie – nagłe zniszczenie bez wcześniejszego 
odkształcenia plastycznego, propagujące się z dużą prędkością  
(w stali 2000 m/s)  
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   4   

Historia (przykłady):  
 

 

 
Statki „Liberty” wybudowane w okresie 2. Wojny Światowej. Z 
5000 jednostek zniszczeniu uległo 1/5.  

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   5   

Comet - pierwsze pasażerskie samoloty z napędem odrzutowym  

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   6   

 

 

Elba, Neapol - 1954 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   7   

 

 
Point Pleasant Bridge West Virginia, 1967.  
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   8   

 

 
 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   9   

Materiał plastyczny i kruchy – rozciąganie i udarność  

   

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   10   

 

 

Wpływ temperatury na energię pękania 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   11   

  

 

 
                       Zwykła stal                                        Szkło  

 
 
 
 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   12   

 

 
Efekt skali: 
1 – Zachowanie kruche 
2 – Zachowanie plastyczno –  kruche 
3 – plastyczne  

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   13   

Rozciąganie – materiał kruchy – osłabienie  

   

 

 
 
 
 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   14   

     

 

Energia pękania – wielkość obiektywna 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   15   

Mechanika pękania  

– rozwój (propagacja) istniejącej rysy 

 

  

  

 

 

            Kirsch (1898)          Inglis (1913)  

 

 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   16   

Griffith, A.A. (1921) ‘The phenomena of rupture and flow in 
solids’, Philosophical Transactions oft/se Royal Society of London 
A221, 163 – 198  

 

“If the strength of this glass, as ordinarily interpreted, is not 
constant, on what does it depend? What is the greatest possible 
strength, and can this strength be made for technical purposes by 
appropriate treatment of the material?”  

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   17   

 

2

2

e

W

a

E







                

4

s

W

a





       

 

e

s

dW

dW

da

da



 

2

2

4

a

E









               

2 E

a









 

2 E

a









                

IC

E

a





 G

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   18   

 

 

0

2

1

IC

p

E

a

 

 G

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   19   

Pękanie – rozwój istniejącej rysy 

  

 
Rodzaje rys:  
I  - otwieranie (opening mode)  
II - ścinanie (sliding mode)  
III - rozrywanie     (tearing mode)  

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   20   

Pojęcia: 
– wytrzymałość materiału, 
– plastyczność,  
– kruchość, 
– energia pękania. 
Czy plastyczność może być własnością materiału skoro zależy od 
wymiarów próbki ? 

Zasadnicze pytania mechaniki pękania 

• Jaka jest nośność konstrukcji po ujawnieniu rysy danej wielkości? 
• Jaka maksymalna wielkość rysy jest dopuszczalna poddanym 

obciążeniem? 

• Jaka liczba cykli jest konieczna do wzrostu rysy od wielkości 

początkowej (np. minimalnej wykrywalnej) do wielkości końcowej 
(krytycznej)? 

• Jaki jest maksymalny dopuszczalny przedział czasowy pomiędzy 

inspekcjami zapewniający, że maksymalna nie wykryta rysa nie 
wzrośnie do wartości krytycznej?  

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   21   

Wzory mechaniki pękania 

Westergaard (1939) 
Muskhelishvili (1933)  
 

Metoda Westergaarda (1939) 

 

 

Funkcja Airy      

1

2

3

U

xU

yU

 





 

Musi spełniać równanie              

4

0

    

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   22   

Poszczególne składniki: 
Dla kolejnych składników:  





 

4

2

2

2

1

1

0

0

U

U



  

 

  

 









2

2

2

2

2

2

2

xU

xU

x

y



























 









2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

U

U

U

xU

xU

U

x

x

x

x

x

x

x

x

x



 





































 

















 





2

2

2

2

2

2

U

xU

x

y

y











 





2

2

2

2

2

2

2

U

xU

x U

x







 



 

Funkcja 

2

U  jest funkcją harmoniczną, a więc 





2

2

2

2

2

U

xU

x









 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   23   

Wykorzystując operator Laplaca: 









2

2

2

2

2

2

2

2

0

U

xU

U

x

x











 



















 

W podobny sposób można wykazać, że 





4

3

0

yU





 

 
Wprowadzamy fukcję 

 

Z z  o następujących własnościach  

(oryginalne oznaczenia Westergaarda) 

,

,

dZ

dZ

dZ

Z

Z

Z

dz

dz

dz









 

dZ

dZ z

Z

dx

dz x









 

 
Na tej podstawie definiujemy odpowiednio części rzeczywiste  
i urojone funkcji 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   24   

dZ

dZ z

iZ

dy

dz y









 

Re

Re

Re

Z

Z

Z

dx

x











 

Re

Re

Im

Z

Z

Z

dy

y







 



 

Im

Im

Im

Z

Z

Z

dx

x











 

Im

Im

Re

Z

Z

Z

dy

y











 

Ostatecznie definiujemy następującą funkcję Airy (pierwsza 
hipoteza Westergaarda): 





2

2

1

Re

Im

2

I

I

I

Z

y

Z

B y

x

 







 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   25   

Oznaczenie I – rozwiązanie jest symetryczne względem osi x, 
wszystkie składniki są harmoniczne  
 
Kolejno wyznaczymy: 

Re

Im

I

I

I

Z

y

Z

Bx

x











 

Re

I

I

y

Z

By

y









 

 
Wtedy naprężenia: 

2

Re

Im

I

x

I

I

Z

y

Z

B

y



 













 

2

2

Re

Im

I

y

I

I

Z

y

Z

B

x



 













 

2

Re

I

xy

I

y

Z

x y



 



 

 

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   26   

Przypadek szczególny: 

 

 
Warunki brzegowe: 

 

 

,0

,0

0

for

y

xy

x

x

a x a









  

 

 
 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   27   

Przyjmujemy następującą postać funkcji (druga hipoteza 
Westergaarda):  

 







1 2

,

I

g z

Z

B

z

z a z a





 













C 

 
Na narożach nacięcia będziemy mieli: 
 

 

,0

2

for

x

x

B

a x a





  

 

 
Wprowadzamy zmienną 
 

z

a



 

 

i otrzymamy 



 



1 2

1 2

2

I

g

a

a

Z

B













  

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   28   

W otoczeniu wierzchołka nacięcia możemy przyjąć: 

 

1 2

2

I

g a

a

Z

B





  

Wprowadzając oznaczenie  

 

I

g a

K

a





 

I

K

 stress-intensity factor – współczynnik intensywności 

naprężeń 
Otrzymamy 

2

I

I

K

Z

B







 

 
 
 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   29   

Wprowadzamy układ biegunowy: 





cos

sin

i

re

r

i















 

1

1

1

1

2

2

2

2

cos

sin

2

2

i

r e

r

i



































 

3

3

3

3

2

2

2

2

3

3

cos

sin

2

2

i

r e

r

i



































 

sin

2 sin cos

2

2

y r

r











 

 
otrzymamy 

cos

sin

2

2

2

I

I

K

Z

i

B

r

























 

3
2

3 2

1

3

3

cos

sin

2

2

2

2

2

I

I

I

K

K

Z

i

r





















 























 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   30   

Naprężenia: 

 

3 2

3

cos

2 sin cos

sin

2

2

2

2

2

2

2 2

I

I

x

K

K

r

B

r

r





















 

 

3 2

3

cos

2 sin cos

sin

2

2

2

2

2

2 2

I

I

y

K

K

r

r

r



















 

3 2

3

2 sin cos

cos

2

2

2

2 2

I

xy

K

r

r















 











 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   31   

Porządkując składniki: 

3

cos

1 sin sin

2

2

2

2

2

I

x

K

B

r





























 

3

cos

1 sin sin

2

2

2

2

I

y

K

r



























 

3

sin cos cos

2

2

2

2

I

xy

K

r













 

Wnioski: 

  r  w mianowniku oznacza nieskończone naprężenia w 

wierzchołku rysy bez względu na warunki brzegowe, 

  Przebieg naprężeń zależy jedynie od kształtu rysy, a nie 

warunków naprężeń na brzegach (w nieskończoności), 

  Naprężenia w otoczeniu rysy zależą jedynie od 

współczynnika intensywności naprężeń 

I

K , który zależy 

wyłącznie od warunków naprężeń na brzegach, 

  Jednostką współczynnika intensywności jest 

3/2

[ ][ ]

F L



  

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   32   

Współczynnik intensywności naprężeń decyduje o efekcie skali 
zarówno w przypadku pękania jak i klasycznych warunków 
wytrzymałościowych. 
 
Określenie współczynnika intensywności naprężeń. 
Trzecia hipoteza Westergaarda: funkcja 

 

g z

 zależy od warunków 

naprężenia w nieskończoności, 
 
W naszym przypadku                     

 

g z

z





 







1 2

,

I

z

Z

B

z

z a z a







 













C 

lim

2

x

z

B







 

 

lim

y

z







  

lim

0

xy

z





  





1 / 2

B

k







 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   33   

Ostatecznie otrzymamy: 
 

I

K

a

 



 

 
Współczynnik zależy od naprężeń w nieskończoności prostopadłych 
do pęknięcia w połowie długości pęknięcia. 
 
Wprowadzając  

 





,0

1

for

x

x

k

a x a









  

 

Uzyskamy bardziej ogólną postać współczynnika: 

1 2

sec

2

I

a

K

a

h



 















 

Informacje o warunkach brzegowych występują wyłącznie we 
współczynniku intensywności naprężenia. 
 
 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   34   

Przykładowo dla rozciąganego pręta: 
 

3 2

I

Pl

a

K

f

th

h

 



 

 

 

     

 

A dla belki z nacięciem: 

1 2

3 2

5 2

7 2

9 2

2.9

4.6

21.8

37.6

38.7

a

a

a

a

a

a

f

h

h

h

h

h

h

 

 

 

 

 

 











 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   35   

Crack opening displacement COD (szerokość rozwarcia rysy) 
 





1

y

y

x

y

E





 











 









1

Re

Im

Re

Im

y

I

I

I

I

dy

Z

y

Z

B dy

Z

y

Z

B dy

E

E































 

2

1

1

Im

Re

I

I

Z

y

Z

By

E

E

E

















 

1 2

2

2

I

I

K

Z

B

C











  





1 2

2

cos

sin

cos

sin

2

2

2

I

I

K

Z

r

i

Br

i

C

































 





1 2

1 2

2

2

I

K

r

E

  



 



  

 

 

J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann 

 WILiŚ PG  Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład 08   36   





1 2

1 2

2

2

I

K

r

E

 





 

 

   

 

 

   

1 2

1 2

2

COD

4

I

K

r

E

 

 



 







  

 

 

 

 
Rozwarcie rysy jest proporcjonalne do obciążenia i warunków 
brzegowych, a odwrotnie proporcjonalne do współczynnika 

E. 

Na brzegu rysy jest równe zero.