Egzamin z przedmiotu „Podstawy matematyki”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2013/2014

1. [5p.] a) Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

b

n

ln c

n

, gdzie

b

n

=

3

√

n

3

+ 2n

2

− n,

c

n

=



2n − 1

2n + 7



2n−1

[2p.] b) Wyznaczyć dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji f (x) = (4 − π) arc sin

1−x

2

3

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [5p.] a) Wyznaczyć, o ile istnieją, wartości parametrów a, b ∈ R, aby funkcja h(x)

h(x) =















































6

π

· arctg

 

sin 2|1 − x|

(x − 1)

2

!

dla

x < 1

a

2

− 1

dla

x = 1

e

2−x
1−x

+ 3 sin(b)

dla

1 < x ¬ 2

24(

√

x

2

+ 5 − 3)

x

2

− 4

dla

x > 2

była ciągła.
[2p.] b) Zbadać, czy istnieje granica funkcji lim

x→∞

cos x

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [5p.] a) Obliczyć pochodną funkcji

f (x) = 2 arctg x + arc sin

2x

1 + x

2

a następnie uzasadnić, że funkcja ta jest stała na przedziale (1, +∞).
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość

ln



0, 2 +

q

1 + 0, 04



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [5p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = x arcctg x

3

.

[2p.] b) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = cos(arctg (ln x)) w punkcie
P

0

(1, h(1)).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [5p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji

g(x) =

x

2

e

x

w przedziale h−3, 3i.
[2p.] b) Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji y = sin

2

x w punkcie x

0

∈ R.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając ze wzoru Maclaurina oszacować błąd wzoru przybliżonego

√

1 + x ≈ 1 +

x

2

−

x

2

8

w przedziale h0, 1i.