1
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH
Spis treści
1.
Zależności pomiędzy analizą częstotliwościową sygnałów
analogowych i dyskretnych
2.
Definicja i własności dyskretnej transformacji Fouriera
3.
Analiza częstotliwościowa dyskretnych obrazów
2
Dyskretna transformacja Fouriera
ang. Discrete Fourier Transform DFT
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.5
1
1.5
2
sygna
ł
czas
1
2
3
4
5
6
7
8
0
2
4
6
8
widmo amplitudowe
częstotliwość
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-0.5
0
0.5
1
widmo fazowe
częstotliwość
3
Trochę historii
Baron Jean Baptiste Joseph
FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkolę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki
w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w 1798
roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.
Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku
został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej
członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy
Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku
pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do
analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi
pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
4
Geneza transformacji sygnału
jednowymiarowego
T
t
f
j
a
a
dt
e
t
s
f
s
0
2
)
(
)
(
ˆ
)
(
)
(
t
n
s
n
s
a
Wprowadźmy dyskretyzację
n
N
0 1
1
, ,...,
1
0
2
)
(
)
(
ˆ
N
n
t
n
f
j
a
e
n
s
t
f
s
t T N
/ (
)
1
0
1
2
3
4
5
6
7
)
(n
s
Widmo sygnału analogowego
gdzie:
Wartość całki oznaczonej aproksymujemy „metodą prostokątów”
gdzie T jest czasem trwania sygnału.
N - ilość próbek
gęstość dyskretyzacji
5
Dyskretyzacja w dziedzinie częstotliwości
f
k f
k
2
/
)
1
(
,
2
/
)
3
(
,
...
,
2
/
)
3
(
,
2
/
)
1
(
N
N
N
N
k
2
/
2
1
2
/
)
1
(
p
m
N
f
f
N
t
N
f
f
N
f
N
(
)/
1 2
1
2
f
N t
T
t
1
1
a z nich wynika
-1
0
1
0
)
(
ˆ f
s
kHz
Dyskretne widmo będziemy wyznaczać w punktach
Aby były rozłożone równomiernie i obejmowały
zarówno dodatnie jak i ujemne wartości
Położenie skrajnych punktów musi: uwzględniać założenia tw. Shanona
i wynikać z powyższych założeń. Otrzymamy zatem dwa warunki:
6
Prototyp DFT
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
Wprowadzając oznaczenie
)
/
2
sin(
)
/
2
cos(
2
N
j
N
e
w
N
j
1
0
2
)
(
)
(
ˆ
)
(
ˆ
N
n
kn
N
j
k
a
e
n
s
t
k
s
f
s
otrzymujemy wartości widma dyskretnego
1
0
2
)
(
)
(
ˆ
N
n
t
n
f
j
a
e
n
s
t
f
s
t
N
k
f
k
f
k
Przybliżone wartości widma analogowego
obliczamy dla wybranych częstotliwości
otrzymując
7
Odwrotna dyskretna transformacja Fouriera
m
m
f
f
t
f
j
a
a
df
e
f
s
t
s
2
)
(
ˆ
)
(
s n
f
s k w
kn
k
( )
( )
Z widma ciągłego odtwarzamy sygnał analogowy
ang. Inverse Discrete Fourier Transform IDFT
N
j
e
w
2
Aproksymując wartość całki „metodą prostokątów” spodziewamy się otrzymać
dyskretne wartości sygnału
gdzie
8
Wzajemna jednoznaczność transformacji
DFT oraz IDFT
s n
N t
s k w
N t
w
t
s m w
kn
kn
km
m
N
k
k
( )
( )
( )
1
1
0
1
1
0
)
(
)
(
)
(
1
N
m
k
n
m
k
n
s
w
m
s
N
w
m n
N
m n
k m n
k
(
)
0
dla
dla
n
m
k
w
Re
n
m
k
w
Im
4
8
j
e
w
2
2
8
j
e
w
3
8
w
4
8
w
5
8
w
N
j
N
e
w
2
6
8
w
7
8
w
1
0
8
8
8
w
w
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
s n
f
s k w
kn
k
( )
( )
9
Przykład
Jakie jest widmo dyskretne sygnału
jeśli gęstość próbkowania wynosi
s
T
[
]
1 0
1 0 1 0
?
]
[
10
3
s
t
Sygnał posiada N=6 próbek. Spodziewamy się, że reprezentuje drgania
kosinusoidalne o okresie
czyli o częstotliwości
4
4 10
3
t
s
[ ]
.
]
[
250 Hz
f
10
Zakończenie przykładu
Numery próbek
Dyskretne widmo ma numerację
Gęstość dyskretyzacji w dziedzinie częstotliwości
Zatem widmo dyskretne jest obliczane dla częstotliwości [Hz]
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
n
5
,
2
;
5
,
1
;
5
,
0
;
5
,
0
;
5
,
1
;
5
,
2
k
]
[
3
/
500
10
6
1
1
3
Hz
t
N
f
3
/
1250
,
250
,
3
/
250
,
3
/
250
,
250
,
3
/
1250
T
s
0
10
3
0
0
10
3
0
ˆ
3
3
1
0
)
(
)
(
ˆ
N
n
kn
w
n
s
t
k
s
j
j
e
w
j
2
3
2
1
)
3
/
sin(
)
3
/
cos(
3
W oparciu o wzór
gdzie
otrzymujemy
11
Macierzowy zapis rozwiązania przykładu
Macierz współczynników
wyznacza obroty wektora
kn
0
2 5
5
7 5
10
12 5
0
1 5
3
4 5
6
7 5
0
0 5
1
1 5
2
2 5
0
0 5
1
1 5
2
2 5
0
1 5
3
4 5
6
7 5
0
2 5
5
7 5
10
12 5
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
j
e
w
j
2
3
2
1
3
6
Numer wiersza
Numer kolumny
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
n
5
,
2
;
5
,
1
;
5
,
0
;
5
,
0
;
5
,
1
;
5
,
2
k
s
W
t
s
ˆ
N
N
kn
C
w
W
gdzie
12
Koniec przykładu w zapisie macierzowym
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
2
3
1
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
w
W
kn
T
s
W
t
s
0
10
3
0
0
10
3
0
ˆ
3
3
Dla rozważanego przykładu macierz przekształcenia ma postać
i otrzymujemy
T
f
3
/
1250
,
250
,
3
/
250
,
3
/
250
,
250
,
3
/
1250
dla częstotliwości
13
Okresowość widma DFT
(
)
( )
s k N
s k
bo
)
/
2
sin(
)
/
2
cos(
2
N
j
N
e
w
N
j
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
1
0
2
/
2
sin
2
/
2
cos
)
(
)
(
ˆ
N
n
n
N
nk
j
n
N
nk
n
s
t
k
s
1
0
/
2
sin
/
2
cos
)
(
)
(
ˆ
N
n
N
nk
j
N
nk
n
s
t
k
s
Otrzymaliśmy wzór
gdzie
czyli
Funkcje trygonometryczne powodują, że widmo jest funkcją o okresie N, tzn.
14
Racjonalizacja DFT
k
N
0 1 2
1
, , ,...,
N
T
k
f
N
f
f
f
)
1
(
...,
,
2
,
,
0
t
k
s
k
s
)
(
ˆ
)
(
ˆ
Przyjmujemy
f
k
f
k
Skoro
to
Wprowadzamy nową funkcję dyskretną
( )
( )
s
k
t
s
n w
kn
n
N
0
1
Przy tych dwóch założeniach wzór
przyjmie ostateczną postać dyskretnej transformacji Fouriera.
15
Definicja DFT oraz IDFT
1
0
)
(
)
(
ˆ
N
n
kn
w
n
s
k
s
s n
N
s k w
kn
k
N
( )
( )
1
0
1
s W s
N
N
kn
C
W
N
w
N
W
*
1
1
1
)
/
2
sin(
)
/
2
cos(
2
N
j
N
e
w
N
j
gdzie
1
,
,
2
,
1
,
0
,
N
n
k
Dyskretna transformacja Fouriera zdefiniowana jest wzorem
a odwrotna dyskretna transformacja Fouriera wzorem
Przekształcenie DFT można zapisać macierzowo
Elementy macierzy W powstają przez podniesienie do potęgi kn wartości zespolonej
przy czym k jest numerem wiersza a n numerem kolumny. Numeracja rozpoczyna się
od zera bo
Macierz przekształcenia w odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera
N
N
kn
C
w
W
s
W
s
ˆ
1
ma postać
16
Własności DFT
1. Zależność pomiędzy widmem dyskretnym a widmem sygnału
analogowego
)
(
ˆ
)
(
ˆ
f
k
s
t
k
s
a
2. Ilość dyskretnych wartości widma jest równa ilości próbek
czasowych sygnału.
3. Gęstość dyskretyzacji widma
f
N t
T
t
1
1
t T
N
/ (
)
1
gdzie
2
/
N
k
dla
17
Własności DFT
4. Szerokość widma:
Dla nieparzystej ilości próbek
f
f
N
t N
f
N
N
N
T N
N
p
max
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
Dla otrzymujemy
N
f
f
p
max
/
2
Dla parzystej ilości próbek
f
f
t
f
N
T
N
p
max
2
1
2
2
1
2
18
Własności DFT
5. Macierz W jest nieosobliwa i symetryczna, jej elementy są na ogół
zespolone a ich moduły są zawsze równe 1. Macierz odwrotna do niej
W
W
N
1
/
6. Liniowość DFT, tzn.
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
)
(
2
1
2
1
k
s
b
k
s
a
n
s
b
n
s
a
7. Przesunięcie w dziedzinie czasu
s n n
s k w
kn
(
)
( )
0
0
9. Zachowanie energii czyli dyskretna postać twierdzenia Parsevala
1
0
1
0
2
2
)
(
ˆ
1
)
(
N
n
N
k
k
s
N
n
s
s n s n
N
s m s k m
m
N
1
2
1
2
0
1
1
( ) ( )
( ) (
)
8. Modulacja
bo
1
0
1
0
0
0
0
)
(
)
(
N
n
n
N
n
m
km
kn
kn
w
m
s
w
w
n
n
s
bo
2
1
2
1
bWs
aWs
bs
as
W
19
Graficzna prezentacja przykładu DFT
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0.5
1
1.5
2
sygna
ł
czas
1
2
3
4
5
6
7
8
0
2
4
6
8
widmo amplitudowe
częstotliwość
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-0.5
0
0.5
1
widmo fazowe
częstotliwość
20
Prezentacja przykładu
Gęstość próbkowania wynosi
. Jakie jest widmo
dyskretne sygnału
t
s
0 001
,
[ ]
?
1
0
1
2
1
0
1
2
T
s
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
k
w
Re
k
w
Im
Np. dla N=8
2
2
1
)
4
/
sin(
)
4
/
cos(
8
2
8
j
j
e
w
j
Obliczamy
Podnosząc tę liczbę do potęgi całkowitej otrzymamy tylko jedną z ośmiu
możliwości przedstawionych na poniższym rysunku.
21
Macierzowy zapis przykładu
Udowodnimy, że sygnał zawiera składową stałą i drgania o okresie 4 [ms],
czyli o częstotliwości
]
[
250 Hz
f
)
7
(
)
6
(
)
5
(
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
7
(
ˆ
)
6
(
ˆ
)
5
(
ˆ
)
4
(
ˆ
)
3
(
ˆ
)
2
(
ˆ
)
1
(
ˆ
)
0
(
ˆ
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
2
2
1
j
Gęstość próbkowania wynosi
. Jakie jest widmo
dyskretne sygnału
]
[
001
,
0
s
t
?
1
0
1
2
1
0
1
2
T
s
22
Rozwiązanie przykładu
T
s
0
4
0
0
4
0
8
ˆ
0
Próbkowanie częstotliwości
Sygnał ma składową stałą i drgania o częstotliwości
Szerokość widma wynosi
czyli jest równa
częstotliwości Nyquista
.
]
[
125
1
Hz
t
N
f
2
250
f
Hz
[
]
f
f
Hz
max
[
]
4
500
Wyliczamy
23
Jeszcze raz ten sam przykład
Jakie jest widmo dyskretne sygnału
jeśli gęstość próbkowania wynosi
s
T
[
]
1 0
1 0 1 0
?
]
[
10
3
s
t
Sygnał posiada N=6 próbek. Reprezentuje drgania kosinusoidalne o okresie
czyli o częstotliwości
4
4 10
3
t
s
[ ]
.
]
[
250
4
1
Hz
t
f
Gęstość dyskretyzacji w dziedzinie częstotliwości wynosi
]
[
3
/
500
10
6
1
1
3
Hz
t
N
f
czyli widmo będzie wyliczane dla częstotliwości
3
/
1000
3
1
,
3
/
500
6
1
,
0
t
t
Zatem, nie trafiamy w częstotliwość 250 [Hz].
24
Co zatem wyliczymy?
j
e
w
j
2
3
2
1
3
6
s
W
s
ˆ
gdzie
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
1
1
1
1
1
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
2
/
3
5
,
0
2
/
3
5
,
0
1
1
1
1
1
1
1
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
W
T
j
j
j
j
s
3
1
3
1
1
3
1
3
1
1
ˆ
A przecież składowej stałej i częstotliwości 167 [Hz] oraz 333 [Hz]
nie ma w sygnale! Jest tylko 250 [Hz].
T
s
2
2
1
2
2
1
ˆ
25
Dwuwymiarowa transformacja Fouriera jako
geneza dyskretnej transformacji obrazów
dy
dx
e
y
x
s
f
f
s
y
f
x
f
j
y
x
y
x
)
(
2
)
,
(
)
,
(
ˆ
Widmo częstotliwościowe obrazu analogowego zdefiniowane jest wzorem
Widmo rzeczywiste w trzeciej ćwiartce jest kopią widma z pierwszej i podobnie z czwartej jest kopią z drugiej.
Widmo urojone w trzeciej ćwiartce ma przeciwny znak niż widmo z pierwszej i podobnie z czwartej, przeciwny znak
niż w drugiej.
Odtwarzanie obrazu analogowego z jego widma częstotliwościowego dokonywane
jest przy pomocy wzoru
Wzory te wykorzystamy do wyprowadzenia dyskretnej transformacji
sygnałów dwuwymiarowych, czyli 2-D DFT.
s x y
s f
f e
df df
x
y
j f x f y
x
y
x
y
( , )
( , )
(
)
2
dy
dx
y
f
x
f
y
x
s
j
dy
dx
y
f
x
f
y
x
s
f
f
s
y
x
y
x
y
x
)
(
2
sin
)
,
(
)
(
2
cos
)
,
(
)
,
(
ˆ
26
Geneza dyskretnej transformacji obrazów
s x y
s f
f e
df df
x
y
j f x f y
x
y
x
y
( , )
( , )
(
)
2
x
N
j
x
e
w
2
y
N
j
y
e
w
2
x
y
y
y
x
x
k
k
n
k
y
n
k
x
y
x
y
x
y
x
w
w
k
k
s
f
f
n
n
s
)
,
(
ˆ
)
,
(
x
y
y
y
x
x
n
n
n
k
y
n
k
x
y
x
y
x
w
w
n
n
s
y
x
k
k
s
)
,
(
)
,
(
ˆ
Obliczając przybliżone wartości całek oznaczonych
( , )
( , )
(
)
s f
f
s x y e
dx dy
x
y
j f x f y
x
y
2
otrzymujemy
gdzie
27
Dyskretna transformacja sygnału
dwuwymiarowego
1
0
1
0
,
,
ˆ
x
x
y
y
y
y
x
x
N
n
N
n
k
n
y
k
n
x
y
x
y
x
w
w
n
n
s
k
k
s
1
0
1
0
,
ˆ
1
,
x
x
y
y
y
y
x
x
N
k
N
k
k
n
y
k
n
x
y
x
y
x
y
x
w
w
k
k
s
N
N
n
n
s
y
x
f
k
f
k
s
y
x
k
k
s
k
k
s
y
y
x
x
y
x
y
x
)
,
(
ˆ
)
,
(
ˆ
)
,
(
ˆ
1
,...,
2
,
1
,
0
x
x
N
k
Przyjmujemy
oraz
i wprowadzamy nową funkcję dyskretną
Przy tych dwóch założeniach otrzymujemy wzory:
1
,...,
2
,
1
,
0
y
y
N
k
- dyskretnej transformacji Fouriera obrazów
- odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera obrazów
28
Macierzowy zapis 2-D DFT
y
x
W
s
W
s
ˆ
gdzie
y
x
N
N
y
x
C
k
k
s
s
)
,
(
ˆ
ˆ
x
W
y
W
są macierzami symetrycznymi
x
x
x
x
N
N
k
n
x
x
C
w
W
1
,...,
0
,
x
x
x
N
n
k
x
k numer kolumny macierzy
numer wiersza macierzy
x
n
y
y
y
y
N
N
k
n
y
y
C
w
W
1
,...,
0
,
y
y
y
N
n
k
numer kolumny
y
k
numer wiersza
y
n
sˆ
s
x
W
y
W
y
x
N
N
y
x
n
n
s
s
)
,
(
oraz
29
Przykład 2-D DFT
Widmo amplitudowe z pierwszej ćwiartki jest identyczne jak widmo
z trzeciej i podobnie, w czwartej identyczne jak w drugiej.