Klas´

owka 4, matematyka A, 5 kwietnia 2006

Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 120 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem

pisza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy

´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

-

dze´

n elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdze-

nia, kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Niech M =





0

0 5

4

3 0

3 −4 0



. Niech ~v =





2

−1
−2



. Znale´z´c M~v . Znale´z´c warto´sci w lasne

(rzeczywiste lub zespolone) i wektory w lasne macierzy M . Wykaza´c, ˙ze macierz

M ma macierz odwrotna

,

i znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M

−1

. Wy-

kaza´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora ~x ∈ R

3

zachodzi r´owno´s´c kM~xk = 5k~xk . Napisa´c

r´ownanie p laszczyzny P ⊂ R

3

prostopad lej do wektora ~v przechodza

,

cej przez punkt

0 = (0, 0, 0) . Sprawdzi´c, ˙ze dla ka˙zdego ~x ∈ P zachodzi M~x ∈ P .

2. Jaki zbi´or opisany jest r´ownaniem:

(a) Re



(1 + i)z



= 2 ,

(b) z¯

z + z + ¯

z = −1 ,

(c) z¯

z + z + ¯

z = 0 .

3. Znale´z´c wszystkie liczby zespolone z , dla kt´orych z

4

−

√

3z

2

+ 1 = 0 . Znale´z´c z

2006

dla jednej z nich.

4. Obliczy´c

R

x

2

sin(4x)dx .

5. Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru A = {(x, y):

0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x} .

6. Obliczy´c

R

∞

0

e

−x

sin(2x)dx .

Wzory, kt´ore moga

,

, cho´c nie musza

,

, przyda´c sie

,

:

sin(2α) = 2 sin α cos α ,

tg(2α) =

2 tg α

1−tg

2

α

,

cos(2α) = cos

2

α − sin

α

= 1 − 2 sin

2

α + 2 cos

2

α ,

ctg(2α) =

ctg

2

α−1

2 ctg α

,

sin

π

6

=

1
2

, sin

π

4

=

√

2

2

, sin

π

3

=

√

3

2

, cos

π

6

=

√

3

2

, cos

π

4

=

√

2

2

, cos

π

3

=

1
2

.