Klas´
owka 4, matematyka A, 5 kwietnia 2006
Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 120 minut
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem
pisza
,
cego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia i nr. grupy
´cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
-
dze´
n elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone!
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdze-
nia, kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Niech M =
0
0 5
4
3 0
3 −4 0
. Niech ~v =
2
−1
−2
. Znale´z´c M~v . Znale´z´c warto´sci w lasne
(rzeczywiste lub zespolone) i wektory w lasne macierzy M . Wykaza´c, ˙ze macierz
M ma macierz odwrotna
,
i znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M
−1
. Wy-
kaza´c, ˙ze dla ka˙zdego wektora ~x ∈ R
3
zachodzi r´owno´s´c kM~xk = 5k~xk . Napisa´c
r´ownanie p laszczyzny P ⊂ R
3
prostopad lej do wektora ~v przechodza
,
cej przez punkt
0 = (0, 0, 0) . Sprawdzi´c, ˙ze dla ka˙zdego ~x ∈ P zachodzi M~x ∈ P .
2. Jaki zbi´or opisany jest r´ownaniem:
(a) Re
(1 + i)z
= 2 ,
(b) z¯
z + z + ¯
z = −1 ,
(c) z¯
z + z + ¯
z = 0 .
3. Znale´z´c wszystkie liczby zespolone z , dla kt´orych z
4
−
√
3z
2
+ 1 = 0 . Znale´z´c z
2006
dla jednej z nich.
4. Obliczy´c
R
x
2
sin(4x)dx .
5. Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru A = {(x, y):
0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x} .
6. Obliczy´c
R
∞
0
e
−x
sin(2x)dx .
Wzory, kt´ore moga
,
, cho´c nie musza
,
, przyda´c sie
,
:
sin(2α) = 2 sin α cos α ,
tg(2α) =
2 tg α
1−tg
2
α
,
cos(2α) = cos
2
α − sin
α
= 1 − 2 sin
2
α + 2 cos
2
α ,
ctg(2α) =
ctg
2
α−1
2 ctg α
,
sin
π
6
=
1
2
, sin
π
4
=
√
2
2
, sin
π
3
=
√
3
2
, cos
π
6
=
√
3
2
, cos
π
4
=
√
2
2
, cos
π
3
=
1
2
.