LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ
Instrukcja do
ć
wiczenia
6
Wyznaczenie energii mechanicznej w ruchu płaskim
Cel
ć
wiczenia
Celem
ć
wiczenia jest wyznaczenie energii mechanicznej kr
ąż
ka poruszaj
ą
cego si
ę
po krzywoliniowym torze.
Literatura
1.
Z. Engel, J. Giergiel Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. 10 i 11.
2.
J. Misiak, Mechanika Ogólna , tom II, rozdz. 22.
Zagadnienia kontrolne
1. Co to s
ą
siły zachowawcze?
2. Przykłady sił zachowawczych
3. Praca siły
4. Energia potencjalna
5. Energia kinetyczna
6. Energia mechaniczna
7. Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim
8. Zasada zachowania energii
9. Zasada zachowania energii mechanicznej
10. Praca sił zewn
ę
trznych
11. Moment bezwładno
ś
ci tarczy kołowej
12. Ruch płaski bryły sztywnej
Uwaga. W opracowaniu podano tylko wybrane zagadnienia zwi
ą
zane bezpo
ś
rednio z
ć
wiczeniem. Aby wyczerpa
ć
temat w zakresie podanych zagadnie
ń
kontrolnych
nale
ż
y si
ę
gn
ąć
do podanej literatury lub innych ksi
ąż
ek dotycz
ą
cych dynamiki.
Podstawy teoretyczne dotycz
ą
ce bezpo
ś
rednio
ć
wiczenia
Zasada zachowania całkowitej energii układu mówi,
ż
e zmiana całkowitej
energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej.
Je
ś
li
ż
adna energia nie zostanie do układu dostarczona ani od niego odebrana, to
całkowita energia układu musi pozosta
ć
niezmienna.
Je
ż
eli nad układem wykonana zostanie praca sił zewn
ę
trznych, to zasad
ę
zachowania energii mo
ż
na opisa
ć
równaniem:
wewn
term
mech
E
E
E
W
∆
+
∆
+
∆
=
gdzie: W – praca sił zewn
ę
trznych,
mech
E
∆
- zmiana energii mechanicznej układu,
term
E
∆
- zmiana energii termicznej,
wewn
E
∆
- zmiana innych rodzajów energii
wewn
ę
trznej układu.
Powy
ż
sza zasada nie została wyprowadzona z podstawowych aksjomatów i praw
fizyki, ale wynika ona z niezliczonych do
ś
wiadcze
ń
.
Je
ż
eli układ jest izolowany i energia nie mo
ż
e zosta
ć
do niego dostarczona w
ż
adnej
formie to mo
ż
emy zapisa
ć
:
0
=
∆
+
∆
+
∆
wewn
term
mech
E
E
E
gdzie:
1
2
mech
mech
mech
E
E
E
−
=
∆
,
wska
ź
niki 1 i 2 odnosz
ą
si
ę
do dwóch rozpatrywanych
chwil czasowych, np. przed i po zaj
ś
ciu jakiego
ś
procesu.
Cho
ć
wewn
ą
trz układu izolowanego mo
ż
e zachodzi
ć
wiele zmian energii (np. z
potencjalnej na kinetyczn
ą
, z kinetycznej na termiczn
ą
itp.), to jednak suma
wszystkich rodzajów energii musi pozosta
ć
stała.
Powy
ż
sze mo
ż
emy zapisa
ć
jako:
0
1
2
=
∆
+
∆
+
−
wewn
term
mech
mech
E
E
E
E
St
ą
d:
wewn
term
mech
mech
E
E
E
E
∆
−
∆
−
=
1
2
Dla układu izolowanego mo
ż
emy wi
ę
c wyznaczy
ć
energi
ę
w okre
ś
lonej chwili znaj
ą
c
energi
ę
w innej chwili, bez znajomo
ś
ci energii w chwilach po
ś
rednich.
Je
ż
eli w izolowanym układzie zaniedbamy siły niezachowawcze (np. tarcie) i zmiany
innych rodzajów energii, to mo
ż
emy napisa
ć
:
1
2
mech
mech
E
E
=
albo:
0
=
∆
mech
E
Poniewa
ż
energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej
(któr
ą
mo
ż
emy zdefiniowa
ć
dla sił zachowawczych) mo
ż
emy zapisa
ć
:
0
=
∆
+
∆
=
∆
p
k
mech
E
E
E
gdzie:
k
E
∆
jest zmian
ą
energii kinetycznej,
p
E
∆
zmian
ą
energii potencjalnej.
Po prostym przekształceniu mo
ż
emy zapisa
ć
:
1
1
2
2
p
k
p
k
E
E
E
E
+
=
+
gdzie: indeksy 1 i 2 odnosz
ą
si
ę
do dwóch stanów układu w ró
ż
nych chwilach
czasowych.
Jest to znana zasada zachowania energii mechanicznej.
Podczas realizacji
ć
wiczenia modelowany jest ruch w jednej płaszczy
ź
nie (ruch
płaski) tarczy poruszaj
ą
cej si
ę
po torze krzywoliniowym pod wpływem siły ci
ęż
ko
ś
ci
(siły zachowawczej). W ruchu płaskim zło
ż
onym z ruchu post
ę
powego i obrotowego
energi
ę
kinetyczn
ą
ciała oblicza si
ę
wg. wzoru Koeniga:
2
2
2
1
2
1
s
s
s
k
I
Mv
E
ω
+
=
gdzie: M – masa ciała,
s
v
r
- jest pr
ę
dko
ś
ci
ą
ś
rodka masy, I
S
– moment bezwładno
ś
ci
ciała wzgl
ę
dem osi przechodz
ą
cej przez
ś
rodek masy i prostopadłej do płaszczyzny
ruchu, a
s
ω
r
pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
ciała.
Zmian
ę
grawitacyjnej energii potencjalnej układu „Ziemia-badana tarcza” w pobli
ż
u
powierzchni Ziemi mo
ż
emy zapisa
ć
jako:
h
mg
E
p
∆
=
∆
gdzie:
h
∆
jest zmian
ą
poło
ż
enia pionowego osi tarczy wzgl
ę
dem poziomu odniesienia
Przebieg
ć
wiczenia
Z podanych wy
ż
ej wzorów wynika,
ż
e aby wyznaczy
ć
w ka
ż
dej chwili czasu
energi
ę
mechaniczn
ą
tarczy nale
ż
y w ka
ż
dym poło
ż
eniu zna
ć
pr
ę
dko
ść
ś
rodka masy
V
s
, pr
ę
dko
ść
k
ą
tow
ą
ω
s
tarczy oraz poło
ż
enie
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci osi tarczy. Wielko
ś
ci
te mo
ż
na wyznaczy
ć
z pomiarów poło
ż
e
ń
ś
rodka masy w poszczególnych chwilach
czasowych przy zało
ż
eniu,
ż
e tarcza porusza si
ę
bez po
ś
lizgu. Pomiar
współrz
ę
dnych poło
ż
enia
ś
rodka masy odbywa si
ę
w oparciu o kamer
ę
do szybkich
zdj
ęć
i oprogramowanie pozwalaj
ą
ce na ka
ż
dej klatce filmu wyznaczy
ć
współrz
ę
dne
tego punktu i zapisa
ć
te warto
ś
ci w arkuszu kalkulacyjnym.
Dodatkowo nale
ż
y wyznaczy
ć
teoretycznie pr
ę
dko
ść
ś
rodka masy tarczy
(szpulki) we wskazanych przez prowadz
ą
cego punktach. W tym celu nale
ż
y
wykorzysta
ć
zasad
ę
zachowania energii.
Wszystkie pomiary nale
ż
y wykonywa
ć
zgodnie z krokami wymienionymi w
arkuszu sprawozdania.
Rejestracja ruchu
W celu dokonania rejestracji obrazu z kamery nale
ż
y wł
ą
czy
ć
o
ś
wietlenie stanowiska
i uruchomi
ć
program PCV.
Nast
ę
pnie w zakładce programu „Camera” wybra
ć
sposób wy
ś
wietlania: ”Display
/Live”. Ustawi
ć
za pomoc
ą
regulacji przy obiektywie kamery ostro
ść
obrazu tak, aby
wyra
ź
nie widoczny był namalowany punkt na osi tarczy.
Nast
ę
pnie wybra
ć
przycisk „Frame Rate” i ustawi
ć
ilo
ść
rejestrowanych klatek w
ci
ą
gu sekundy: 125 klatek/ sek.
W kolejnym kroku wybra
ć
rozdzielczo
ść
obrazu (przycisk „Resolution”): 1024 x 512.
Dalej nale
ż
y nacisn
ąć
przycisk „Record” i pu
ś
ci
ć
swobodnie tarcz
ę
tak, aby rozpocz
ą
ł
si
ę
jej ruch. Rozpocz
ąć
rejestracj
ę
poprzez naci
ś
niecie przycisku „Trigger In”, który
pojawi si
ę
w miejsce przycisku „Record”.
Zako
ń
czy
ć
rejestracj
ę
przyciskiem „Rec Done” w momencie, gdy tarcza osi
ą
gnie
punkt wskazany przez prowadz
ą
cego.
Zapis rejestracji
Przej
ść
do zakładki „Data Save” i wpisa
ć
w polu „File Name” nazw
ę
zapisywanego pliku.
Mo
ż
na wybra
ć
fragment filmu, który ma znale
źć
si
ę
w pliku. W tym celu nale
ż
y
przesun
ąć
za pomoc
ą
myszy wska
ź
nik pocz
ą
tku i ko
ń
ca nagrania u dołu zakładki
(strzałki na pasku ilustruj
ą
cym całe nagranie).
Nast
ę
pnie nacisn
ąć
przycisk „Save”, aby zapisa
ć
wynik rejestracji.
Analiza obrazu
W celu wykonania analizy obrazu nale
ż
y uruchomi
ć
program „Motion Tools”.
Z menu głównego wybra
ć
opcj
ę
„File” i dalej „Open File”. W okienku dialogowym
wybra
ć
uprzednio zapisany plik.
Przej
ść
do zakładki „Analysis” i nacisn
ąć
przycisk na belce narz
ę
dziowej „Strat
Analysis for Current Video” (przycisk na
ś
rodku belki oznaczony kolorowymi kółkami).
Nacisn
ąć
przycisk „Meter” w prawej cz
ęś
ci belki narz
ę
dziowej. Spowoduje to
otwarcie okna „Calibration”. Poprzez klikni
ę
cie lewym przyciskiem myszy zaznaczy
ć
na pierwszej klatce filmu pocz
ą
tek wzorca długo
ś
ci narysowanego na stanowisku.
Wróci
ć
do otwartego okna dialogowego „Calibration” i klikn
ąć
„SetPoint# 1”. Z kolei
tej samej klatce filmu zaznaczy
ć
koniec tego wzorca, a w oknie „Calibration” wybra
ć
„SetPoint #2”. Nast
ę
pnie w oknie „Calibration” nale
ż
y wpisa
ć
w polu „Dimension”
rzeczywist
ą
długo
ść
wzorca w wybranej jednostce (s
ą
siednie okienko). Nacisn
ąć
klawisz „Apply”, a nast
ę
pnie „Close” zamykaj
ą
c okno dialogowe. W wyniku
przeprowadzonej kalibracji wymiar obrazu w pikselach przeliczany jest na wymiar
rzeczywisty i wyniki analizy (poło
ż
enie
ś
ledzonego punktu) podane b
ę
d
ą
w wybranej
realnej jednostce miary długo
ś
ci.
Nast
ę
pnie wybra
ć
z listy „Auto Track” numer kolejny znacznika np. 1. Klikn
ąć
na belce narz
ę
dziowej „Draw a region for selection ” (ikona ze szkłem
powi
ę
kszaj
ą
cym). Za pomoc
ą
myszy i techniki przeci
ą
gania zaznaczy
ć
na obrazie
prostok
ą
tny obszar, którego
ś
rodek ma by
ć
ś
ledzony. Obszar ten powinien obj
ąć
o
ś
tarczy wraz z niewielkim fragmentem jej otoczenia. Pozwoli to programowi
jednoznacznie odró
ż
ni
ć
wskazany obszar na ka
ż
dej klatce filmu i
ś
ledzi
ć
ruch jego
ś
rodka.
W kolejnym kroku mo
ż
na uruchomi
ć
przycisk „Auto Track the current Region”
(przycisk z czerwon
ą
strzałk
ą
na belce narz
ę
dziowej). Program b
ę
dzie
ś
ledził
automatycznie ruch
ś
rodka zaznaczonego obszaru. W razie trudno
ś
ci z
automatycznym
ś
ledzeniem ruchu mo
ż
na wróci
ć
do odpowiedniej klatki (zestaw
przycisków z lewej strony belki narz
ę
dziowej) i usun
ąć
ź
le zaznaczone punkty w
aktualnej klatce lub nawet wszystkich klatkach. W tym celu nale
ż
y klikn
ąć
prawym
klawiszem myszy na obrazie i wybra
ć
opcj
ę
„Analysis ->Clear Features” i
odpowiedni
ą
podopcj
ę
.
Mo
ż
na tak
ż
e uzupełni
ć
zidentyfikowane poło
ż
enia zaznaczonego obszaru w
trybie manualnym. Wystarczy wtedy z listy „Auto Track” wybra
ć
opcj
ę
„Manual”,
ustawi
ć
odpowiedni
ą
klatk
ę
obrazu (zestaw przycisków po lewej stronie u góry),
zaznaczy
ć
na obrazie wła
ś
ciwy fragment zwi
ą
zany ze
ś
ledzonym punktem, a
nast
ę
pnie klikn
ąć
na przycisku „Select Reticle Position and Region… ” (przycisk na
ś
rodku belki narz
ę
dziowej). Post
ę
puj
ą
c tak klatka po klatce mo
ż
emy r
ę
cznie
odwzorowa
ć
odpowiednie przemieszczenia.
Zapis współrz
ę
dnych poło
ż
enia
ś
ledzonego
ś
rodka obszaru i chwil czasu dla
ka
ż
dej klatki odbywa si
ę
po naci
ś
ni
ę
ciu przycisku „Export the Feature Positions” po
prawej stronie belki narz
ę
dziowej. Po tej operacji dane zostaj
ą
zapisane w arkuszu
programu Excel, który nale
ż
y przekopiowa
ć
w celu wykonania dalszych oblicze
ń
.
Analiza pomiarów
Celem tej analizy jest wyznaczenie energii mechanicznej badanego układu.
Niezb
ę
dne do tego jest wyznaczenie pr
ę
dko
ś
ci liniowej
ś
rodka masy tarczy. Aby tego
dokona
ć
na podstawie zarejestrowanych współrz
ę
dnych x i y nale
ż
y osobno
rozpatrzy
ć
odpowiednie rzuty szukanej pr
ę
dko
ś
ci na kierunki osi układu
współrz
ę
dnych.
Aby bardziej obiektywnie wyznaczy
ć
składowe pr
ę
dko
ś
ci nale
ż
y zastosowa
ć
numeryczne oszacowanie pierwszej pochodnej w postaci (dla ka
ż
dych 4 kolejnych
punktów) [1]:
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
)
(
11
)
(
18
)
(
9
)
(
2
6
1
)
(
2
)
(
3
)
(
6
)
(
6
1
)
(
)
(
6
)
(
3
)
(
2
6
1
)
(
2
)
(
9
)
(
18
)
(
11
6
1
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
3
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
−
=
+
+
−
=
−
+
−
−
=
+
−
+
−
=
i
i
i
i
i
x
i
i
i
i
i
x
i
i
i
i
i
x
i
t
i
i
i
x
t
x
t
x
t
x
t
x
h
t
v
t
x
t
x
t
x
t
x
h
t
v
t
x
t
x
t
x
t
x
h
t
v
t
x
t
x
t
x
t
x
h
t
v
(1)
gdzie: h jest odst
ę
pem czasowym pomi
ę
dzy kolejnymi klatkami zarejestrowanego
filmu,
)
(
i
x
t
v
, jest składow
ą
x pr
ę
dko
ś
ci
ś
rodka masy tarczy w ruchu post
ę
powym dla
chwili czasowej t
i
(i=1,2...N),
( )
i
t
x
jest współrz
ę
dn
ą
ś
rodka masy tarczy w tej chwili.
Nast
ę
pnie nale
ż
y dokona
ć
wygładzenia zale
ż
no
ś
ci v
x
(t) wykorzystuj
ą
c metod
ę
u
ś
redniania bie
żą
cego w postaci [2]:
∑
−
+
=
=
1
)
(
1
)
(
~
q
i
i
j
j
x
i
x
t
v
q
t
v
(2)
gdzie:
x
v~
– element u
ś
rednionego szeregu,
x
v
– element pierwotnego szeregu
obliczonych pr
ę
dko
ś
ci.
Parametr q mo
ż
na przyj
ąć
na poziomie od 10 do 20 w zale
ż
no
ś
ci od potrzeb.
Poniewa
ż
ko
ń
cowe dane nie b
ę
d
ą
wła
ś
ciwie u
ś
rednione nie uwzgl
ę
dnia si
ę
ich w
dalszych obliczeniach i rysunkach. Nale
ż
y odrzuci
ć
wi
ę
cej ni
ż
q ko
ń
cowych warto
ś
ci,
je
ś
li istotnie odbiegaj
ą
one od ogólnej tendencji zmian danej wielko
ś
ci.
Podobnie nale
ż
y wyznaczy
ć
składow
ą
y pr
ę
dko
ś
ci. W kolejnym kroku nale
ż
y
wyznaczy
ć
moduł wektora pr
ę
dko
ś
ci
ś
rodka masy tarczy:
2
2
~
~
y
x
s
v
v
v
+
=
(3)
Pr
ę
dko
ść
k
ą
tow
ą
nale
ż
y wyznaczy
ć
przyjmuj
ą
c,
ż
e tarcza toczy si
ę
bez
po
ś
lizgu. Przy takim zało
ż
eniu:
(4)
( )
( )
r
t
v
t
i
s
i
s
=
ω
gdzie:
ω
s
(t
i
)
– pr
ę
dko
ść
k
ą
towa w chwili t
i
, r – promie
ń
osi tocz
ą
cej si
ę
po torze, na
której zamocowano tarcz
ę
.
Ś
ledz
ą
c poło
ż
enie w osi y
ś
rodka masy mo
ż
na oszacowa
ć
energi
ę
potencjaln
ą
wzgl
ę
dem przyj
ę
tego poło
ż
enia odniesienia. Nale
ż
y jednak wyznaczy
ć
wygładzone
y
~
korzystaj
ą
c z metody (2) i tego samego q co w przypadku pr
ę
dko
ś
ci.
Podobnie jak poprzednio odrzuca si
ę
ko
ń
cowe pomiary.
Ostatecznie nale
ż
y sprawdzi
ć
czy zmiany całkowitej energii mechanicznej (dla
ka
ż
dego z u
ś
rednionych pomiarów) wynosz
ą
zero.
Wyniki nale
ż
y zilustrowa
ć
odpowiednimi wykresami zgodnie z poleceniami zawartymi
w arkuszu sprawozdania.
UWAGA. W zwi
ą
zku z wyst
ę
powaniem po
ś
lizgów podczas ruchu tarczy po torze jak i
wyst
ę
powania tarcia, mo
ż
e okaza
ć
si
ę
,
ż
e wyliczona energia mechaniczna nie
pozostanie stała.
Nale
ż
y zda
ć
sobie z tego spraw
ę
podczas interpretacji wyników eksperymentu.
Literatura
[1] Otto E. Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, tom 3, rozdz.
XVI, §111, PWN, Warszawa
[2] Jó
ź
wiak J., Podgórski J., Statystyka od podstaw, rozdz. 16, PWE, Warszawa