Origin i rozkład Gauss’a czyli:
a)
jak narysować histogram
b)
jak dopasować funkcję Gauss’a do histogramu
W poniŜszej tabelce przedstawiono wyniki 100 pomiarów okresów drgań pewnego wahadła matematycznego
pogrupowane na 7 przedziałów o szerokości 0,1 sekundy.
Okres [s]
Liczba pomiarów
10,20÷10,30
2
10,30÷10,40
3
10,40÷10,50
24
10,50÷10,60
38
10,60÷10,70
27
10,70÷10,80
5
10,90÷11,00
1
a) Aby narysować histogram korzystając z programu Origin naleŜy:
1.
Przygotuj tabelę z dodatkową kolumną, w której będą zamieszczone wartości środków przedziałów.
Okres [s]
Ś
rodek przedziału
Liczba pomiarów
10,20÷10,30
10,25
2
10,30÷10,40
10,35
3
10,40÷10,50
10,45
24
10,50÷10,60
10,55
38
10,60÷10,70
10,65
27
10,70÷10,80
10,75
5
10,90÷11,00
10,25
1
2.
Uruchom Origina.
3.
W skoroszyt Data1 w kolumnę A(X) (wartości x) wpisz wartości środków przedziałów, a w kolumnę
B(Y) (wartości y) odpowiadającą danemu przedziałowi liczbę pomiarów.
4.
Zaznacz obie kolumny A(X) i B(Y). Aby to zrobić lewym przyciskiem myszy kliknij w
i
nie puszczając lewego klawisza przeciągnij kursor na
i dopiero teraz puść klawisz.
5.
Kliknij w ikonę
tworzącą pionowy wykres słupkowy.
6.
Pojawi się nowe okienko Graph1 z wykresem.
7.
Aby dostosować szerokość słupków, tak aby przylegały do siebie bokami naleŜy kliknąć dwukrotnie
(lewy klawisz myszy) na dowolnym słupku. Otworzy się okienko o nazwie Plot Details
8.
Następnie naleŜy przejść do zakładki Sparing i pole Gap Between Bars (in %) (szerokość odstępu
między słupkami) ustawić na 0.
9.
Zamknij okienko Plot Details klikając na Apply i OK.
10.
Po modyfikacji wykres Graph1 będzie wyglądał tak:
11.
Aby opisać osie wykresu naleŜy dwukrotnie kliknąć na napisy Y Axis Title i X Axis Title.
b) Jak dopasować funkcję Gauss’a do wykresu.
1.
Przejdź do okna skoroszytu Data1.
2.
Z menu głównego wybierz Column | Add New Columns i na pytanie o liczbę nowych kolumn do
utworzenia odpowiedz wpisując 1, następnie kliknij na przycisk OK. Po tej czynności skoroszyt Data1
będzie składał się z trzech kolumn. Kolumna, którą właśnie dodałeś będzie oznaczona symbolem C(Y). „Y”
w nawiasie oznacza, Ŝe jest to kolumna wartości y.
3.
W kolumnie C(Y) naleŜy umieścić ilość wyników w danym przedziale podzieloną przez 100. Origin w
prosty sposób potrafi sam podzielić wartości z kolumny B przez dowolną liczbę, a wynik dzielenia umieścić
w kolumnie C. Kliknij w
i zaznacz całą kolumnę, następnie nie ruszając myszką naciśnij prawy
klawisz myszy i z menu, które się rozwinie wybierz Set Columns Values
4.
Otworzy się okienko o nazwie Set Column Values. W duŜe białe pole słuŜy do wprowadzenia formuły
(wzoru) według, której zostaną przeprowadzone obliczenia. W miejscu „Col(B)” podstawiane są wartości z
kolumny B. Aby podzielić wartości z kolumny B przez 100 naleŜy uŜyć wyraŜenia Col(B)/100.
Efekt obliczeń będzie wyglądał tak:
Dzieląc ilość pomiarów w dowolnym przedziale czasu przez liczbę wszystkich pomiarów wyznaczamy
prawdopodobieństwo trafienia z wynikiem pomiaru w dany przedział. Na przykład, jeśli dla pewnego
przedziału prawdopodobieństwo wynosi 0,5 (50%) tzn., Ŝe połowa pomiarów, które wykonamy, będzie
zawierała się w tym przedziale.
PoniewaŜ rozkład Gauss’a, który opisuje wzór
−
−
=
2
2
exp
2
1
y
σ
π
σ
x
x
, określa takie właśnie
prawdopodobieństwa (przypominam, Ŝe cała z
1
ydx
=
∫
∞
∞
−
), aby dopasowa
ć
wykres słupkowy wzorem
opisuj
ą
cym rozkład Gaussa, nale
Ŝ
y na osi y odło
Ŝ
y
ć
prawdopodobie
ń
stwa trafienia w przedział, a nie ilo
ś
ci
trafie
ń
w przedział.
5.
Narysuj wykres słupkowy z kolumn
A(X)
i
C(Y)
post
ę
puj
ą
c analogicznie jak w punkcie a). Uwaga: aby
zaznaczy
ć
kolumn
ę
A(X) i C(Y) nie zaznaczaj
ą
c kolumny B(Y) nale
Ŝ
y wcisn
ąć
klawisz CTRL i trzymaj
ą
c
go klikn
ąć
na
i
.
6.
Upewnij si
ę
,
Ŝ
e okno wykresu
Graph1
jest aktywne (pasek tytułowy pod
ś
wietlony na niebiesko)
7.
Z menu głównego wybierz
Analysis | Fit Gaussian
8.
Po dopasowaniu rozkładem Gaussa okno
Graph1
b
ę
dzie wygl
ą
dało tak:
W widocznej na wykresie prostok
ą
tnej ramce zawarte s
ą
wyniki dopasowania. Wiersz zaczynaj
ą
cy si
ę
od słowa
„Equation” przedstawia wzór funkcji jak
ą
wykres został dopasowany. W naszym przypadku jest to rozkład
Gaussa. Uwa
Ŝ
ny student zauwa
Ŝ
y,
Ŝ
e wzór z ramki ró
Ŝ
ni si
ę
nieznacznie od wzoru podanego na poprzedniej
stronie. Mimo, i
Ŝ
wzór z ramki gro
ź
niej wygl
ą
da to ró
Ŝ
nica jest niewielka i polega jedynie na sposobie zapisu.
Mianowicie zamiast
σ
(jak w normalnym wzorze) u
Ŝ
yto literki „
w”
, która jest równa podwojonej warto
ś
ci
σ
,
czyli
w=2 σ
. Je
ś
li do wzoru z ramki podstawimy
σ
2
=
w
to otrzymamy wzór z poprzedniej strony.
Analogicznie podstawiaj
ą
c za
w
2
1
=
σ
do wzoru z poprzedniej strony otrzymamy wzór z ramki.
W wierszach zaczynaj
ą
cych si
ę
od Chi^2 i R^2 podana jest informacja o jako
ś
ci dopasowania.
Warto
ś
ci dopasowanych parametrów i niepewno
ś
ci z jakimi zostały znalezione umieszczone s
ą
w czterech
ostatnich wierszach. Literkami „
xc”
oznaczono warto
ść
ś
redni
ą
. Natomiast przez „
y0”
i „
A”
oznaczono
pomocnicze parametry dopasowania.
Legenda do wykresu wygl
ą
da tak:
Najcz
ęś
ciej po dopasowaniu prostok
ą
tna ramka z wynikami dopasowania i legenda wykresu zasłaniaj
ą
nam
wykres i krzyw
ą
dopasowania. Oba te obiekty mo
Ŝ
na przesun
ąć
. W tym celu nale
Ŝ
y złapa
ć
je myszk
ą
i
trzymaj
ą
c lewy klawisz przesun
ąć
.
Kolor, grubo
ść
krzywej dopasowania i itp. mo
Ŝ
na zmieni
ć
dwukrotnie na ni
ą
klikaj
ą
c
Przykładowy histogram z dopasowanym rozkładem Gaussa powinien wygl
ą
da
ć
tak:
9.
Aby wklei
ć
wykres z Origina do edytora tekstu np. Microsoft Worda nale
Ŝ
y mie
ć
aktywne okno wykresu i z
menu głównego Origina wybra
ć
EDIT | Copy Page
. Wykres zostanie skopiowany do schowka. Teraz
nale
Ŝ
y przej
ść
do Worda i z menu głównego wybra
ć
Edycja | Wklej
lub nacisn
ąć
kombinacj
ę
klawiszy
CTRL V
.
Ewentualnie mo
Ŝ
na wydrukowa
ć
wykres bezpo
ś
rednio z Origina.