26.11.2013 r.
Informatyka – Modelowanie cyfrowe,
studia stacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 2013/2014
GRUPA „A”
1. Zadawanie parametrów w programie ATPDraw:
a) Zadano w programie pojemność poprzeczną odcinka linii napowietrznej o dł. 1 km dla składowej
zgodnej przy opcji Copt:50 jako 2.8275 µS. Ile wynosi ta pojemność wyrażona w nF?
Rozwiązanie:
F
10
8275
.
2
6
1
−
⋅
=
C
ω
, a więc:
nF
9
F
10
9
F
10
10
10
100
8275
.
2
F
10
100
8275
.
2
10
8275
.
2
9
3
6
3
6
1
6
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
−
−
−
−
−
−
π
π
ω
C
b) Indukcyjność odcinka linii o dł. 1 km dla składowej zgodnej wynosi 0.001 H. Zadać tę wartość dla
obu opcji: Xopt:50, Xopt:0.
Rozwiązanie:
Xopt:50
wyznaczamy reaktancję przy 50 Hz:
]
[
31459
.
0
]
[
001
.
0
50
2
]
[
2
1
1
Ω
=
Ω
⋅
=
Ω
=
π
π
ω
L
f
L
wobec tego zadajemy wartość: 0.314159
Xopt:0
L=0.001 H= 1.0 mH, wobec tego zadajemy wartość: 1.0
2. Określić model cyfrowy dla równoległego połączenia elementów:
R, L, przy zastosowaniu jawnej
metody Eulera (prostokątów „wprzód”) całkowania numerycznego.
L
R
u
i
i
2
i
1
Rozwiązanie:
)
(
1
t
u
dt
di
L
=
(1)
czyli:
)
(
1
1
t
u
L
dt
di =
(1a)
Stosując jawną metodę Eulera (prostokątów „wprzód”) całkowania numerycznego uzyskujemy:
)
1
(
)
1
(
)
(
1
1
−
+
−
=
k
u
L
T
k
i
k
i
(2)
Prąd
i jest sumą prądów: i
1
oraz
R
u
i
=
2
, a więc:
R
k
u
k
i
k
i
)
(
)
(
)
(
1
+
=
(3)
Wstawiając (2) do (3) uzyskujemy:
R
k
u
k
u
L
T
k
i
k
i
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
1
+
−
+
−
=
(4)
Należy teraz w (4) wyeliminować składnik:
)
1
(
1
−
k
i
. W tym celu z (3) wyznaczamy:
R
k
u
k
i
k
i
)
(
)
(
)
(
1
−
=
(5)
a po opóźnieniu o 1 krok całkowania:
R
k
u
k
i
k
i
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
−
−
−
=
−
(6)
Wstawiając (6) do (4) uzyskujemy:
R
k
u
k
u
L
T
R
k
u
k
i
k
i
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
+
−
+
−
−
−
=
(7)
Po uporządkowaniu mamy:
)
1
(
1
)
1
(
)
(
)
(
−
−
+
−
+
=
k
u
R
L
T
k
i
R
k
u
k
i
(8)
Zależność (8) może być zapisana w postaci ogólnej (określającej model cyfrowy jak na poniższym
rysunku):
)
1
(
)
(
)
(
−
+
=
k
j
k
Gu
k
i
(9)
gdzie:
R
G
1
=
,
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
−
−
+
−
=
−
k
u
R
L
T
k
i
k
j
j(k–1)
G
u(k)
i(k)
3. Związek pomiędzy admitancją dyskretną (
Y
d
) i admitancją ciągłą (
Y
c
) dla indukcyjności, przy
zastosowaniu metody trapezów całkowania numerycznego jest następujący:
)
0,5
(
tg
0,5
)
j
(
c
d
T
T
Y
Y
ω
ω
=
ω
,
T – krok czasowy całkowania numerycznego, ω – pulsacja?
a) przedstawić wykres dla tej relacji:
c
d
Y
Y
b) jaki jest efekt przy skracaniu kroku modelowania przy danej częstotliwości
Odpowiedź: relacja między admitancją modelu dyskretnego i ciągłego ulega poprawie.
c) jaki jest efekt przy wzroście częstotliwości przy określonym kroku modelowania
Odpowiedź: relacja między admitancją modelu dyskretnego i ciągłego ulega pogorszeniu.
d) czy model dyskretny wiernie odwzorowuje przesunięcie fazowe między prądem i napięciem
indukcyjności w całym zakresie częstotliwości?
Odpowiedź: TAK: model dyskretny wiernie odwzorowuje przesunięcie fazowe w całym zakresie
częstotliwości, bowiem współczynnik proporcjonalności w podanej zależności:
)
0,5
(
tg
0,5
)
j
(
c
d
T
T
Y
Y
ω
ω
=
ω
, czyli współczynnik:
)
0,5
(
tg
0,5
T
T
ω
ω
jest liczbą rzeczywistą dodatnią (mnożenie
przez liczbę rzeczywistą dodatnią nie zmienia fazy, czyli:
)
arg(
)
arg(
c
d
Y
Y
=
.
4. Określić równania stanu i wyjść dla obwodu elektrycznego jak na poniższym rysunku. Jako wielkości
wyjściowe przyjąć spadki napięć na opornikach
R
1
,
R
2
.
R
1
R
2
L
C
u
u
C
i
1
i
2
i
3
u
R1
u
R2
Zmienne stanu (napięcie na kondensatorze i prąd cewki):
u
C
,
i
2
Wyjścia:
u
R1
,
u
R2
Równania opisujące obwód:
0
C
1
1
=
−
−
u
i
R
u
(1)
0
2
2
2
C
=
−
−
dt
di
L
i
R
u
(2)
0
3
2
1
=
−
−
i
i
i
(3)
Poszczególne prądy wynoszą:
1
C
1
R
u
u
i
−
=
(4)
dt
du
C
i
C
3
=
(5)
Wstawiając (4) i (5) do (3) uzyskamy:
0
C
2
1
C
=
−
−
−
dt
du
C
i
R
u
u
(6)
Z (6) uzyskujemy pierwsze równanie stanu:
C
i
C
R
u
u
dt
du
2
1
C
C
−
−
=
(7)
Z (2) uzyskujemy drugie równanie stanu:
2
2
C
2
1
i
L
R
u
L
dt
di
−
=
(8)
Z (1) uzyskujemy pierwsze równanie wyjść:
C
R1
u
u
u
−
=
(9)
Drugie równanie wyjść jest następujące:
dt
di
L
u
u
2
C
2
R
−
=
(10)
Po wstawieniu (8) do (10) uzyskamy:
2
2
2
2
C
C
2
R
i
R
i
R
u
u
u
=
+
−
=
(11)
(co również można było otrzymać mnożąc bezpośrednio zmienną stanu
i
2
przez rezystancję
R
2
)
Ewentualnie można jeszcze uporządkować kolejność składników po prawych stronach równań: (7), (8),
(9), (11):
u
C
R
i
C
u
C
R
dt
du
1
2
C
1
C
1
1
1
+
−
−
=
(7a)
u
L
i
L
R
dt
di
1
2
2
2
+
−
=
(8a)
u
u
u
+
−
=
C
R1
(9a)
2
2
2
R
i
R
u
=
(10a)