QPrint

Wstęp

Pakiet MATLAB (od ang. MATrix LABoratory) w chwili obecnej jest faktycznym

standardem  w  obliczeniach  naukowo  technicznych.  Zbudowany  jest  jako  aplikacja  mogąca
pracować  w  środowisku  MS  Windows  oraz  Unix.  Jego  jądro  stanowi  interpreter  języka
programowania  umożliwiający  wykonywanie  obliczeń  numerycznych  na  macierzach  (w
ogólności  zespolonych)  zgodnie  z  zaprogramowanymi  algorytmami  obliczeniowymi.  Wokół
jądra jest zbudowane interaktywne środowisko (ekran poleceń do komunikacji z systemem i
ekrany  graficzne)  przeznaczone  do  tworzenia  algorytmów  obliczeniowych,  wizualizacji
graficznej wyników, analizy danych i obliczeń numerycznych.

Podstawowym typem danych Matlaba jest macierz liczb zespolonych. Macierz liczb

rzeczywistych  jest  traktowana  jako  szczególny  przypadek  liczby  zespolonej  zgodnie  z
regułami  algebry.  Liczba  całkowita  jest  szczególnym  przypadkiem  macierzy  mającej  jeden
wiersz  i  jedną  kolumnę  (macierz  jednoelementowa).  Na  macierzach  można  wykonywać
wszystkie  typowe  operacje  arytmetyczne  (suma,  iloczyn  iloraz,  obliczanie  wyznaczników,
odwracanie  macierzy  itd.)  zgodnie  z  regułami  rachunku  macierzowego.  Operacje  te  są
zazwyczaj  wykonywane  w  jednej  instrukcji  programowej  co  pozwala  na  uzyskanie
olbrzymiej  szybkości  i  sprawności  działania  a  dodatkowo  upraszcza  zapis  operacji.  Dla
użytkownika  dostępne  są  wszystkie  podstawowe  funkcje  matematyczne,  statystyczne  i
inżynierskie,  w  tym  analiza  widmowa  (szybka  transformata  Fouriera  -  FFT,  filtry  cyfrowe
itd.).  Cechy  te  stanowią  o  niezwykłej  wartości  Matlaba  wszędzie  tam,  gdzie  niezbędne  jest
wykonywanie obliczeń na bardzo dużych zbiorach danych.

Język Matlaba jest językiem wysokiego poziomu jak Basic, Fortran czy Pascal i

pozwala  na  pisanie  programów  realizujących  określone  algorytmy.  Cechą  Matlaba  są  tzw.
toolboxy,  tekstowe  biblioteki  funkcji  i  procedur,  przeznaczone  do  realizacji  konkretnych
zadań  w  różnych  dziedzinach.  Wraz  z  Matlabem  można  zakupić  kilkadziesiąt  różnych
bibliotek procedur pokrywających zakres zastosowań od analizy sygnałów, teorii sterowania
(automatyka)  i  metody  elementów  skończonych,  poprzez  rachunek  statystyczny,  analizę
obrazów  aż  do  biotechnologii  i  genetyki.  Matlab  umożliwia  również  w  ograniczonym
zakresie  na  sterowanie  aparaturą  pomiarową  i  pozwala  na  opracowywanie  układów
sterowania  automatyką  przemysłową  (opracowywanie  algorytmów  sterowania  kart
procesorów sygnałowych).

Matlab pozwala na wizualizację graficzną wyników obliczeń. Zawiera wszelkie

procedury  graficzne  niezbędne  do  wizualizacji  danych  Matlaba.  Dotyczy  to  zarówno
wykresów  dwu-  jak  i  trójwymiarowych  oraz  wizualizacji  objętości.  Wszystkie  obiekty  na
wykresach  mogą  być    interaktywnie  edytowane  (zmiana  kształtu  linii,  koloru,  opisów,  skali
itd.)  i  eksportowane  do  typowych  formatów  graficznych.  Tworzenie  wykresów  jest  bardzo
proste i intuicyjne.

Udostępnienie w środowisku Matlaba niezawodnych implementacji algorytmów

matematyki  stosowanej,  bogatych  funkcji  graficznych  i  licznych  modułów  rozszerzeń
zorientowanych  na  określone  dziedziny  zastosowań  oraz  otwarta  architektura  środowiska
(rozszerzalność  -  możliwość  budowania  własnych  funkcji  użytkownika,  przenośność  -
jednakowy  m-kod  Matlaba  dla  różnych  platform  sprzętowych)  sprawiły,  że  obecnie
MATLAB w znacznym stopniu wyparł z obliczeń naukowo-technicznych języki uniwersalne
(Fortran,  C,  C++)  ograniczając  ich  zasadniczą  rolę  do  funkcji  oprogramowania
narzędziowego.

Wprowadzenie do pracy w środowisku Matlaba

Poniższy opis został potraktowany bardzo skrótowo  przedstawia środowisko Matlaba

tylko  w  takim  zakresie  w  jakim  jest  to  niezbędne  dla  wykonania  ćwiczeń  laboratoryjnych.
Osoby  zainteresowane  szerszym  poznaniem  możliwości  Matlaba  odsyła  się  do  pomocy
dostępnych  w  internecie  pod  adresem  producenta  (firmy  The  Mathworks  Inc.)  np.

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/matlab/learnmatlab.pdf

(w języku

angielskim) a także licznych książek (dostępnych również w języku polskim) oraz
samouczków, które można w dużej liczbie znaleźć w internecie pod hasłem „matlab”.

Po uruchomieniu Matlaba na ekranie widoczne jest okno z migającym kursorem po

znakach >> pozwalającym na wpisanie polecenia. Wykonanie tego polecenia (jego
interpretacja) odbywa się po naciśnięciu klawisza <Enter>.

Z Matlaba można korzystać w dwojaki sposób:

1. Można traktować Matlaba jak zaawansowany kalkulator wykonujący operacje podane

w linii poleceń.

2. Można tworzyć programy (ciągi kolejnych poleceń) i nowe funkcje, które następnie

będą uruchamiane przez interpreter języka Matlab. Programy (nazywane skryptami) i
funkcje umieszcza się w plikach tekstowych (ASCII) z rozszerzeniami „.m”.
Programy i funkcje uruchamia się pisząc ich nazwy w linii poleceń.

Dla potrzeb Laboratorium Eksploatacji wystarczające jest korzystanie z Matlaba w pierwszy
z podanych sposobów, tj. korzystanie jedynie z linii poleceń. Aby wykonać działanie
matematyczne na liczbach wystarczy napisać to działanie tak jak na zwykłym kalkulatorze i
nacisnąć klawisz <Enter>. Poprzednie linie poleceń można wywołać naciskając ↑ i ↓.

Matlab wyświetli wynik umieszczając go w standardowej zmiennej ans (answer -
odpowiedź).

Operatory używane w Matlabie

Poniżej przedstawiono listę ważniejszych operatorów używanych w Matlabie (A i B
oznaczają zmienne zawierające macierze):

dodawanie macierzy.

A+B (A i B muszą mieć te same rozmiary)

odejmowanie macierzy. A-B

(A i B muszą mieć te same rozmiary)

mnożenie macierzy.

A*B (liczba kolumn A musi być równa liczbie wierszy B)

dzielenie macierzy.

X=A/B rozwiązuje liniowe działanie A*X=B

.* mnożenie odpowiadających sobie elementów macierzy przez siebie. A.*B (rozmiary A i B

muszą być takie same)

dzielenie odpowiadających sobie elementów macierzy przez siebie. A./B (rozmiary A i B

muszą być takie same)

podnoszenie macierzy do potęgi. A^P (P jest skalarem, A musi być macierzą kwadratową)

.^ podnoszenie elementów macierzy do potęgi
’

(znak apostrofu) transpozycja macierzy. A’ zamienia kolumny wierszami

>>2+2
ans=

Zmienne

Podstawienie

powoduje utworzenie w pamięci zmiennej a o wartości równej 5. Zmienna ta istnieje aż do
momentu celowego jej usunięcia poleceniem clear a lub poleceniem usunięcia wszystkich
zmiennych clear. Po zamknięciu Matlaba zmienne są usuwane z pamięci.

Zakończenie linii znakiem średnika powoduje niewyświetlenie wyniku na ekranie;

Zdefiniowane dotychczas zmienne można wyświetlić na ekranie korzystając z polecenia whos

Macierze

Macierze można wprowadzać do Matlaba na kilka różnych sposobów

1. poprzez podanie listy elementów;

2. poprzez wczytanie macierzy z pliku dyskowego (np. dane pomiarowe);

3. poprzez wygenerowanie macierzy za pomocą wbudowanych funkcji;

4. poprzez ich utworzenie za pomocą procedur (m-plików) napisanych przez

użytkownika.

Ad 1)

Wprowadzając macierz z klawiatury należy

•  oddzielać kolejne elementy wiersza spacjami lub przecinkami,
•  koniec wiersza oznaczać średnikiem;
•  całą lista elementów umieścić w nawiasach klamrowych.

>>a=5
a=

>> whos
Name

Size Bytes

Class

1x1 8

double array

Grand total is 1 element using 8 bytes

>> A=[1 2 3; 4 5 6;7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> whos
Name Size Bytes Class

A 3x3 72 double array
a 1x1 8 double array

Grand total is 10 elements using 80 bytes

UWAGA: Matlab rozróżnia duże i małe litery.

Ad 2)

Macierz może być wczytana do środowiska Matlaba z pliku dyskowego. Jeżeli w pliku tym
została zapisana w formacie znakowym (ASCII) wówczas wczytanie jej odbywa się poprzez
napisanie polecenia load nazwa_pliku –ASCII

W wyniku takiego polecenia utworzona zostanie zmienna o nazwie takiej jak nazwa

wczytanego pliku zawierającego macierz (rozszerzenie jest pomijane).

Macierze zdefiniowane w Matlabie można zapisać na dysku w postaci binarnej (rozszerzenie
„.mat” poleceniem save nazwa_pliku nazwy_macierzy lub w postaci tekstowej poleceniem
save nazwa_pliku nazwa_macierzy -ASCII

Ad 3)

Macierz może też być utworzona poprzez podanie pierwszego elementu, kroku zwiększania
wartości kolejnych elementów oraz ostatniego elementu oddzielonych dwukropkami. Jeżeli
parametr kroku jest pominięty, wówczas domyślnie przyjmowany jest za 1.

Takie rozwiązanie jest szczególnie często wykorzystywane w tych przypadkach, gdy
potrzebujemy macierzy opisującej ze stałym krokiem zmienną niezależną jakiejś funkcji
(czas, częstotliwość, kąt itp.) np.

Powyższe polecenia pozwalają na obliczenie funkcji sinus dla kątów od 0 do 2π z krokiem

π/2 i umieszczenie macierzy wynikowej w zmiennej s.

>> C=1:2:10
C =
1 3 5 7 9
>> D=1:5
D =
1 2 3 4 5
>> E=[1:2:12; 1:6]
E =
1 3 5 7 9 11
1 2 3 4 5 6

>> alfa=0:pi/2:2*pi
alfa =
0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832
>> s= sin(alfa)
s =
0 1.0000 0.0000 -1.0000 0.0000

>> load matrixA -ASCII
>> matrixA
matrixA =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

>> save plikA matrixA
>>

Macierze można też tworzyć z uprzednio utworzonych macierzy pamiętając o zgodności
wymiarów.

Na macierzach można wykonywać różne operacje matematyczne, np.

oblicza sumę wartości elementów macierzy w poszczególnych kolumnach.

Inne przydatne operatory macierzowe to:

max(X)

- maksimum elementów z każdej z kolumn

min(X)

- minimum elementów z każdej z kolumn

mean(X)

- wartość średnia elementów z każdej z kolumn

std(X)

- odchylenie standardowe elementów z każdej z kolumn

sqrt(X)

- pierwiastki z elementów macierzy

Operatorem transpozycji macierzy (zamiany miejscami wierszy i kolumn) jest apostrof (').

Rozmiar macierzy można sprawdzić korzystając z polecenia size, zaś większy wymiar
macierzy poleceniem length.

Dostęp do elementów macierzy można uzyskać poprzez podanie adresu elementu

(wiersz,kolumna) w macierzy:

>> F=[C;D]
F =
1 3 5 7 9
1 2 3 4 5

>> sum(F)
ans =
2 5 8 11 14

>> F = [1 3 5 7; 1 2 3 4]
F =
1 3 5 7
1 2 3 4
>> F'
ans =
1 1
3 2
5 3
7 4

>> size(F)
ans =

>>length(F)
ans=
4

>> F(2,3)
ans =
3

lub zakresu adresów elementów (zakres wierszy, zakres kolumn) w macierzy:

Elementy grafiki 2D

Funkcję jednej zmiennej

)

( x

można przedstawić na wykresie w postaci graficznej

korzystając z polecenia plot(X,Y) gdzie X i Y są macierzami. Na wykresie, pojawiającym się
w osobnym oknie, rysowane są linie odpowiadające połączonym punktom X i Y. Jeżeli X jest
macierzą jednowymiarową, zaś Y dwuwymiarową, osobna linia jest tworzona dla każdego
wiersza lub kolumny Y zależnie od tego, który wymiar macierzy Y odpowiada długości
macierzy X.

>> F(1:2,2:3)
ans =
3 5
2 3

>> alpha=0:pi/10:4*pi;
>> s=sin(alpha);
>> plot(alpha,s)

>> c=cos(alpha);
>> sc=[s;c];
>> plot(alpha,sc)

Rys. 1. Okno z wykresem funkcji sinus w zakresie <

Ekran graficzny można podzielić na osobne wykresy za pomocą polecenia subplot(m,n,p),
gdzie m jest liczbą wykresów w pionie, n – liczbą wykresów w poziomie, zaś p – kolejnym
numerem wykresu licząc od lewego górnego.

Skrypty

Ciągi wielu instrukcji takie jak w przykładzie do rys. 4 wygodnie jest umieszczać w osobnych
plikach  tekstowych  z  rozszerzeniem  „.m”.  Pozwala  to  na  ich  łatwą  edycję  bez  konieczności
przepisywania  instrukcji  w  razie  potrzeby  ich  kilkakrotnego  wykorzystania.  Takie  pliki,
nazywane skryptami, są odpowiednikiem programów w innych językach programowania. W
skrypcie  możemy  wywołać  inne,  uprzednio  zdefiniowane  skrypty.  Skrypt  uruchamiany  jest
poprzez wpisanie w linii poleceń jego nazwy (bez rozszerzenia).

>> subplot(2,1,1)
>> plot(alpha,s)
>> grid
>> title('sinus')
>> ylabel('wartości funkcji')
>> xlabel('kąt [rad]')
>> subplot(2,1,2)
>> plot(alpha,c)
>> title('cosinus')
>> ylabel('wartości funkcji')
>> xlabel('kąt [rad]')
>> grid

Rys. 4. Wykorzystanie polecenia subplot do podziału ekranu

graficznego

Funkcje matematyczne (przykłady)

Funkcje matematyczne (jeżeli zostaną wywołane z argumentem macierzowym, z
założenia operują „na elementach”):

sin(x)

sinus

cos(x)

cosinus

tan(x)

tangens

asin(x)

arcus sinus

acos(x)

arcus cosinus

atan(x)

arcus tangens

sinh(x)

sinus hiperboliczny

cosh(x)

cosinus hiperboliczny

tanh(x)

tangens hiperboliczny

asinh(x)

arcus sinus hiperboliczny

acosh(x)

arcus cosinus hiperboliczny

atanh(x)

arcus tangens hiperboliczny

sqrt(x)

pierwiastek kwadratowy

exp(x)

log(x)

logarytm naturalny

log2(x)

logarytm przy podstawie 2

log10(x)

logarytm przy podstawie 10

Funkcje związane z obliczeniami w dziedzinie liczb zespolonych:

abs(x)

macierz modułów elementów macierzy x (także macierz wartości
bezwzględnych elementów macierzy rzeczywistej x)

angle(x)

macierz argumentów elementów macierzy x

real(x)

macierz części rzeczywistych elementów macierzy x

imag(x)

macierz części urojonych elementów macierzy x

conj(x)

macierz o elementach sprzężonych z elementami macierzy x

Funkcje dodatkowe:

round(x)

zaokrągla elementy macierzy x

do najbliższej liczby całkowitej

rem(x,y)

oblicza resztę z dzielenia odpowiadających sobie elementów macierzy x

i y

gcd(a,b)

oblicza największy wspólny dzielnik liczb a i b

lcm(a,b)

oblicza najmniejszą wspólną wielokrotną liczb a i b

Korzystanie z pomocy

Matlab posiada bardzo rozbudowany system pomocy. W każdej chwili można z linii poleceń
podać help nazwa_polecenia aby przeczytać skrócony opis działania danej komendy.
Dodatkowo w menu znajduje się przycisk Help uruchamiający dostęp do pełnej dokumentacji
HTML Matlaba.

Bibliografia

[1]

Szymkat M.: Komputerowe wspomaganie w projektowaniu układów regulacji.

Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993

[2]

Brzózka J., Dorobczyński L.: Programowanie w Matlab. Zakład Nauczania

Informatyki „MIKOM”, Warszawa, 1998

[3]

Kamińska A., Pańczyk B.: Ćwiczenia z Matlab. Przykłady i zadania. Wydawnictwo

„MIKOM”, Warszawa, 2002

[4]

Regel W.: Statystyka matematyczna w programie Matlab. Wydawnictwo „MIKOM”,

Warszawa, 2003

[5]

Mrozek B., Mrozek Z.: MATLAB i Simulink : poradnik użytkownika. Helion, Gliwice,

2004

[6]

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/matlab/learnmatlab.pdf

[7]

http://www.pg.gda.pl/~kmb/polish/skrypt.pdf