Wykład 15
Elektrostatyka
Obecnie wiadome są cztery fundamentalne oddziaływania: silne, elektromagnetyczne,
słabe i grawitacyjne. Silne i słabe oddziaływania odgrywają decydującą role w budowie jąder
atomowych i cząstek elementarnych. Oddziaływanie grawitacyjne jest odpowiedzialne za
budowę galaktyk, układów planetarnych czyli układów ciał o dużych masach. Oddziaływanie
elektromagnetyczne jest jednym z najważniejszych w fizyce i pozwala wyjaśnić nie tylko
zjawiska elektryczne i magnetyczne ale też siły zespalające materię na poziomie atomów,
cząsteczek.
Poznawanie zjawisk elektromagnetycznych zaczniemy od elektrostatyki. Elektrostatyka
zajmuje się badaniem właściwości i wzajemnego oddziaływania nieruchomych ładunków.
Fundamentalne właściwości ładunków
Elektryczne oddziaływania zachodzą między cząstkami, które posiadają tak zwany
ładunek elektryczny. Z doświadczeń wynika, że ładunki mogą być dwóch różnych znaków.
Ładunki dodatnie powstają np. na szkle potartym kawałkiem skóry, natomiast ładunki ujemne
powstają na bursztynie potartym kawałkiem wełny. W odróżnieniu od siły oddziaływania
grawitacyjnego, która zawsze jest siłą przyciągania, elektrostatyczna siła oddziaływania dwóch
ładunków może być lub siłą przyciągania lub siłą odpychania: ciała niosące ładunki
jednoimienne odpychają się natomiast ciała niosące ładunki różnoimienne przyciągają się.
Z doświadczeń wynikają trzy fundamentalne właściwości ładunku elektrycznego:
1. Ładunek elektryczny może przybierać jedynie wartości będące - co do modułu
-wielokrotnością ładunku elektronu:
e
n
q
⋅
=
, (15.1)
gdzie
n
jest ujemną lub dodatnią liczbą całkowitą, a
e
jest ładunkiem elektronu.
W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (
C
). Wartość ładunku elektronu w
układzie SI wynosi
C
e
19
10
6
.
1
−
⋅
=
.
Właściwość (15.1), czyli dyskretność ładunku elektrycznego nosi nazwę kwantyzacji
ładunku. Mówimy, że ładunek elektryczny jest wielkością skwantowaną.
185
2. Całkowity ładunek elektryczny układu odosobnionego, tzn. suma algebraiczna
ładunków ujemnych i dodatnich układu, jest wielkością inwariantną (niezmienniczą).
Właściwość ta nazywa się prawem zachowania ładunku elektrycznego.
Ładunki jednoimienne odpychają się a ładunki różnoimienne przyciągają się
3. Wartość ładunku elektrycznego nie zależy od tego czy ładunek jest ruchomy, czy
nieruchomy. Mówimy więc, że ładunek elektryczny jest wielkością relatywistycznie
niezmienniczą.
Pole elektryczne. Natężenie i linii pola elektrycznego. Prawo Coulomba.
Jedynym sposobem wykrycia i zmierzenia ładunków elektrycznych jest badanie
oddziaływania zachodzącego między ciałami naładowanymi. Istnienie w przestrzeni pola
elektromagnetycznego możemy wykryć obserwując zachowanie małego (punktowego)
ładunku elektrycznego - ładunku próbnego. Z doświadczeń wynika, że jeżeli w przestrzeni
istnieje pole elektryczne, to na mały próbny ładunek
q
działa siła wprost proporcjonalna do
q
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
E
q
z
y
x
F
⋅
=
. (15.2)
Wektor
)
,
,
(
z
y
x
E
jest funkcją współrzędnych
z
y
x ,
,
punktu w którym znajduje się ładunek
próbny
q
i nie zależy od
q
. Dla drugiego małego próbnego ładunku
/
q , umieszczonego w
tym samym punkcie o współrzędnych
z
y
x ,
,
na ładunek
/
q będzie działała siła
)
,
,
(
)
,
,
(
/
/
z
y
x
E
q
z
y
x
F
⋅
=
. (15.3)
Zgodnie z drugą zasadą Newtona pod wpływem siły (15.2) próbny ładunek będzie
poruszać się z przyspieszeniem, a zatem z obserwacji tego, że ładunek próbny umieszczony w
186
przestrzeni zaczyna poruszać się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do
q
,
wnioskujemy, że w przestrzeni istnieje pole elektryczne. Pole elektryczne działające na
nieruchomy ładunek będziemy nazywały polem elektrostatycznym.
Ze wzoru (15.2) widać, że pole elektrostatyczne albo prosto pole elektryczne w
każdym punkcie przestrzeni jest określone przez wektor
)
,
,
(
z
y
x
E
. Wektor
)
,
,
(
z
y
x
E
nazywa
się wektorem natężenia pola elektrycznego i zgodnie z (15.2) natężenie pola elektrycznego
jest równe sile działającej na ładunek próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni)
podzieloną przez ten ładunek.
q
z
y
x
F
z
y
x
E
)
,
,
(
)
,
,
(
=
. (15.4)
Jeżeli ładunek
q
jest dodatni, to kierunek E
jest taki sam jak F
.
W 1785 roku Coulomb udowodnił doświadczalnie, że siła z której ładunek
1
q działa na
ładunek
2
q wynosi
12
2
12
2
1
12
e
r
q
q
k
F
⋅
⋅
=
, (15.5)
gdzie
12
r jest odległość między ładunkami
1
q i
2
q ;
12
e
jest jednostkowym wektorem
skierowanym od pierwszego ładunku ku drugiemu ładunkowi. Stała
k
we wzorze (15.5)
zależy wyłącznie od stosowanego układu jednostek. W układzie SI
0
4
1
πε
=
k
=
9
10
9
⋅
2
2
/ C
Nm
. (15.6)
W tym wzorze współczynnik
0
ε
= 8.854·10
-12
2
2
/ Nm
C
nosi nazwę przenikalności
elektrycznej próżni.
Pisząc równanie (15.5) zakładamy, że ładunki są punktami materialnymi. Podkreślimy
również, że rozważając ładunki nieruchome pomijamy istnienie sił magnetycznych. Siły
magnetyczne między ładunkami powstają przy ruchu ładunków i będą omawiane dalej.
Ze wzoru (15.5) wynika, że siła z której ładunek
2
q działa na ładunek
1
q wynosi
12
21
2
12
2
1
21
F
e
r
q
q
k
F
−
=
⋅
⋅
=
, (15.7)
187
Tu
12
21
e
e
−
=
jest jednostkowym wektorem skierowanym od drugiego ładunku ku pierwszemu
ładunkowi. Jak i powinno być, wzór (15.7) po prostu wyraża trzecią zasadę Newtona.
Umieścimy ładunek
1
q
q
≡
w początku układu odniesienia. Wtedy oznaczając
pr
q
q
≡
2
i biorąc pod uwagę, że w kierunku dowolnego wektora
r
jednostkowy wektor jest równy:
r
r
r
r
e
≡
=
,
wzór (15.5) możemy zapisać w postaci
⋅
⋅
⋅
=
e
r
q
k
q
F
pr
3
, (15.8)
Ze wzoru (15.8) widzimy, że ładunek
q
jest źródłem pola elektrycznego o natężeniu
r
r
q
k
q
F
z
y
x
E
pr
⋅
⋅
=
=
3
)
,
,
(
. (15.9)
Poglądowym sposobom graficznego przedstawienia pola elektrycznego jest rysowanie
linii natężenia pola. Linii natężenia pola elektrycznego rysujemy w następujący sposób: 1)
styczna do linii pola w dowolnym punkcie określa zwrot natężenia pola , który pokrywa się ze
strzałką linii pola; 2) linie pola wykreśla się tak, aby liczba linii na jednostkę powierzchni
przekroju była proporcjonalna do wielkości E
. Linii natężenia pola elektrycznego
wytworzonego przez dodatni ładunek są przedstawione na rysunku niżej.
Linii natężenia pola elektrycznego ładunku naładowanego dodatnie.
188
Zasada superpozycji
Z doświadczeń wynika, że siła działająca na próbny ładunek
pr
q , umieszczony w
dowolnym punkcie (
z
y
x ,
,
) układu ładunków
n
q
q
q
,
,
,
2
1
jest wektorową sumą sił
przyłożonych do niego ze strony każdego z ładunków
i
q :
∑
∑
=
=
⋅
⋅
=
=
n
i
i
i
i
pr
n
i
i
r
r
q
k
q
z
y
x
F
z
y
x
F
1
0
3
0
1
)
,
,
(
)
,
,
(
, (15.10)
gdzie
0
i
r
jest wektorem łączącym
i
-ty ładunek układu z punktem (
z
y
x ,
,
).
Wzór (15.10) wyraża ważną w elektrostatyce zasadę superpozycji sił. Ze wzoru (15.10)
wynika, że natężenie pola elektrycznego wytwarzanego w dowolnym punkcie (
z
y
x ,
,
)
ładunkami
n
q
q
q
,
,
,
2
1
jest równe
∑
∑
=
=
⋅
=
=
n
i
i
i
i
n
i
i
r
r
q
k
z
y
x
E
z
y
x
E
1
0
3
0
1
)
,
,
(
)
,
,
(
, (15.11)
Jeżeli rozkład ładunku jest ciągły, pole wytworzone przez ciało naładowane możemy
obliczyć dzieląc ciało na nieskończenie małe kawałki o ładunku dq . Traktując każdy taki
ładunek jako ładunek punktowy obliczamy wytworzone przez niego pole
r
r
dq
k
E
d
⋅
⋅
=
3
, (15.12)
gdzie
r
jest odległością ładunku dq od punktu (
z
y
x ,
,
). Wypadkowe pole w punkcie (
z
y
x ,
,
)
znajdujemy całkując wkłady od wszystkich elementów ciała naładowanego
∫
∫
⋅
=
=
dq
r
r
k
E
d
z
y
x
E
)
,
,
(
. (15.13)
Przy wyliczeniu całki we wzorze (15.13), w zależności od geometrii naładowanego
ciała, wprowadzamy pojęcie gęstości ładunku.
Przy ciągłym rozkładzie ładunków wzdłuż linii mówimy o gęstości liniowej ładunków
elektrycznych
λ
, równej
dl
dq
l
q
l
=
∆
∆
=
∆
lim
λ
, (15.14)
189
gdzie q
∆
oznacza całkowity ładunek rozłożony wzdłuż odcinka linii o długości
l
∆
.
Jeżeli rozważamy naładowany kawałek powierzchni, to posługujemy się pojęciem
gęstości powierzchniowej ładunków
σ
, równej
S
q
S
∆
∆
=
∆
lim
σ
, (15.15)
gdzie q
∆
jest całkowitym ładunkiem elementu powierzchni
S
∆
.
W przypadku ciągłego rozkładu ładunków w pewnej objętości wprowadzamy gęstość
objętościową ładunków
ρ
, która jest równa
V
q
V
∆
∆
=
∆
lim
ρ
, (15.16)
gdzie q
∆
oznacza całkowity ładunek elementu objętości
V
∆
.
Jako przykład obliczenia pola elektrycznego w przypadku ciągłego rozkładu ładunku
rozważmy pole naładowanego pierścienia o promieniu
R
całkowity ładunek którego wynosi
Q . Znajdziemy pole elektryczne na osi pierścienia w odległości
0
x od środka.
R
x
0
r
P
dE
dE
x
α
Składowa pola wzdłuż osi
x
wytwarzane przez element
dl
pierścienia jest równe
r
x
dE
dE
dE
x
0
cos
⋅
=
⋅
=
α
.
Wprowadzając liniową gęstością ładunku
R
Q
π
λ
2
=
ze wzoru (15.12) mamy
190
2
d
d
r
l
k
E
λ
=
.
A więc
r
x
r
l
k
E
x
0
2
d
d
λ
=
.
Stąd
2
3
2
2
0
0
3
0
3
0
)
(
)
2
(
d
R
x
Q
kx
R
r
x
k
l
r
x
k
E
E
x
+
=
=
=
=
∫
π
λ
λ
.
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x
0
= 0) E = 0, a dla x
0
>> R pole
2
0
/ x
kQ
E
→
i jest
takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Strumień pola elektrycznego
Rozważmy zamkniętą powierzchnie, coś w rodzaju balonu o dowolnym kształcie, w
przestrzeni gdy istnieje pole elektryczne. Podzielmy całą powierzchnie na tak małe kawałki
i
S
∆
, że na każdym z tych kawałków powierzchnię możemy uważać za płaską, a wektor
natężenie pola elektrycznego
i
E
jest prawie stałe. Przedstawmy pole takiej małej elementarnej
powierzchni wektorem
i
i
i
n
S
S
⋅
∆
=
∆
, gdzie
i
n
jest jednostkowym wektorem normalnym do
powierzchni
i
S
∆
i skierowanym na zewnątrz. Iloczyn skalarny
)
(
i
i
S
E
∆
⋅
nazywamy
strumieniem pola elektrycznego
i
∆Φ
przez element powierzchni
i
S
∆
:
191
i
i
i
S
E
∆
⋅
=
∆Φ
.
Strumień pola elektrycznego przez całą powierzchnie otrzymujemy sumując strumieni przez
wszystkie elementy powierzchni
i
i
i
i
i
S
E
∆
⋅
=
∆Φ
=
Φ
∑
∑
. (15.17)
Zmniejszając rozmiary i zwiększając liczbę elementów
i
S
∆
przechodzimy w granice w
równaniu (15.17) do całki powierzchniowej
∫
∑
∑
⋅
=
∆
⋅
=
∆Φ
=
Φ
∞
→
∞
→
i
powierzchn
po
i
i
i
i
i
i
i
S
d
E
S
E
lim
lim
. (15.18)
Jako przykład obliczmy strumień pola elektrycznego ładunku punktowego
q
przez dowolną
powierzchnie zamkniętą
S
, obejmującą ten ładunek.
Strumień pola elektrycznego
Φ
d
przez element
dS
tej powierzchni wynosi
)
cos
(
cos
2
α
α
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
Φ
dS
r
q
k
dS
E
S
d
E
d
.
Wielkość
)
cos
(
α
⋅
dS
jest polem rzutu elementu
dS
na płaszczyznę prostopadłą do wektora
r
.
Z dokładnością do nieskończenie małych wielkości można uważać, że
)
cos
(
α
⋅
dS
równa się
polu powierzchni
0
dS , którą wyznacza stożek na powierzchni kuli o promieniu
r
. A zatem
192
2
0
2
)
cos
(
r
dS
kq
dS
r
q
k
d
⋅
≅
⋅
⋅
=
Φ
α
. (15.19)
W matematyce stosunek pola powierzchni
0
dS , wyznaczonego na powierzchni kuli o
promieniu
r
przez stożek do kwadratu promienia kuli
2
0
r
dS
d
=
Ω
(15.20)
nazywa się kątem bryłowym. Kąt bryłowy określa powierzchnie
0
dS na powierzchni
wewnętrznej sfery, wyświetlanej latarką znajdującej się w początku sfery. Kąt bryłowy
mierzymy w steradianach. Jednemu steradianowi odpowiada pole powierzchni
2
0
r
dS
=
.
Ponieważ całkowite pole powierzchni kuli wynosi
2
4
r
⋅
π
, przeto pełny kąt bryłowy
odpowiadający całej powierzchni kuli wynosi
π
4
=
Ω
steradianów.
Podstawiając (15.20) do wzoru (15.19) otrzymujemy
Ω
⋅
=
⋅
=
Φ
d
kq
r
dS
kq
d
2
0
. (15.21)
Całkując to wyrażenie względem całej powierzchni
S
, tj. względem
Ω
od 0 do
π
4
znajdujemy
0
0
4
0
4
4
ε
π
ε
π
π
q
q
d
kq
=
⋅
⋅
=
Ω
⋅
=
Φ
∫
. (15.22)
Otrzymaliśmy ważny wynik: strumień pola elektrycznego ładunku punktowego
q
przez
dowolną powierzchnie zamkniętą
S
, obejmującą ten ładunek nie zależy od kształtu
powierzchni. Ze wzoru (15.22) wynika, że całkowita liczba linii pola elektrycznego
wychodzących (albo wchodzących) od ładunku jest równa
0
/
ε
q
i linie te ciągną się do
nieskończoności.
Prawo Gaussa
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki
1
q i
2
q . Korzystając z zasady
superpozycji dla całkowitej liczby linii pola przecinającej powierzchnię zamkniętą wokół
ładunków
1
q i
2
q możemy zapisać
193
0
2
1
2
1
2
1
d
d
d
)
(
ε
q
q
S
E
S
E
S
E
E
S
d
E
+
=
+
=
⋅
+
=
⋅
=
Φ
∫
∫
∫
∫
. (15.23)
Otrzymaliśmy, że całkowita liczba linii pola jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu
przez
0
ε
. Podobnie można pokazać , że dla dowolnej liczby
n
q
q
q
,
,
,
2
1
ładunków
0
.
d
ε
wewn
Q
S
E
=
∫
, (15.24)
gdzie
∑
=
=
n
i
i
wewn
q
Q
1
.
jest całkowitym ładunkiem.
Wzór (15.24) wyraża prawo Gaussa: strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest
równy wypadkowemu ładunkowi podzielonemu przez
0
ε
. Jeżeli
.
wewn
Q
jest ujemne strumień
wpływa do ciała.
W sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki wypadkowy
wewnętrzny ładunek
0
.
=
wewn
Q
, a zatem ilość linii pola wchodząca do zamkniętej powierzchni
równa się ilości linii wychodzących.
c
b
a
d
Rozpatrzmy kilku przykładów obliczania pola elektrycznego na podstawie prawa
Gaussa.
1.Pole elektryczne jednorodnie naładowanej kuli o promieniu
R
.
194
r
R
E (r)
Zgodnie z kulistą symetrią zadania w dowolnym punkcie sfery o promieniu
r
wektor natężenia
pola elektrycznego ma taką samą wartość, a kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora
r
.
Wtedy korzystając z prawa Gaussa dla pola wewnątrz kuli na sferze o promieniu
r
możemy
zapisać:
.
2
4
)
4
(
wewn
Q
k
r
E
⋅
=
π
π
,
gdzie
)
3
4
(
4
3
)
3
4
(
3
3
3
r
R
Q
r
Q
wewn
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
π
π
π
ρ
)
/
(
3
3
R
r
Q
⋅
=
.
A zatem
r
R
Q
k
E
3
=
. (15.25)
2. Pole elektryczne od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.
Ładunek otoczony przez powierzchnię walca jest równy
S
Q
wewn
⋅
=
σ
.
, gdzie
σ
jest
gęstością powierzchniową ładunku, a
S
- powierzchnią podstawy walca. Korzystając z prawa
Gaussa otrzymujemy
0
2
ε
σ
S
ES
⋅
=
,
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.
195
Ostatecznie otrzymujemy
0
2
ε
σ
=
E
. (15.26)
3. Pole elektryczne wewnątrz kondensatora płaskiego.
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
I
II
III
Płaski kondensator składa się z dwóch równoległych płyt. Pole wytwarzane przez płytę
"po lewej stronie" (rysunek) jest równe
0
min
2
/
ε
σ
=
us
E
i skierowane ku płycie. Pole
wytwarzane przez płytę po prawej stronie jest równe
0
2
/
ε
σ
=
plus
E
i skierowane jest od płyty.
196
Zatem w obszarze I
0
2
2
0
0
=
−
+
=
ε
σ
ε
σ
I
E
,
w obszarze II
0
0
0
2
2
ε
σ
ε
σ
ε
σ
−
=
−
+
−
=
II
E
,
w obszarze III
0
2
2
0
0
=
+
−
=
ε
σ
ε
σ
III
E
.
197