ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH W PIGUŁCE 

 
Praca w laboratorium polega na wykonywaniu pomiarów wielkości fizycznych. Pomiary te 
mogą być wykonane tylko z pewnym stopniem dokładności. To ograniczenie wynika z: 

- niedoskonałości  przyrządów użytych podczas pomiaru 
- skończonej precyzji narządów zmysłów obserwatora. 

 

Te wszystkie czynniki składają się na to, że każdy, nawet najbardziej precyzyjnie wykonany 
pomiar obarczony jest niepewnością pomiarową (czasem używany jest termin: błąd 
pomiarowy) i stanowi przybliżenie wartości rzeczywistej. Jedynym sensownym sposobem 
zapisu wartości x wielkości mierzonej jest: 

(wartość wielkości mierzonej 

± niepewność pomiarowa)  jednostka  

Oznacza to, że  

- wartość rzeczywista wielkości mierzonej znajduje się w przedziale równym 

podwojonej wartości niepewności pomiarowej, często z założonym z góry 
prawdopodobieństwem 

- niepewności pomiarowe wyrażone są w tych samych jednostkach co wynik 

pomiarowy 

-  w takim zapisie  jest to całkowita niepewność pomiarowa.  

 

I  Rodzaje niepewności pomiarowych. 

Rozróżniamy dwa rodzaje niepewności: 

1.  systematyczne  - związane głównie z ograniczeniami aparatury i niedoskonałością 

obserwatora 

2.  przypadkowe  -  występuje rozrzut statystyczny wyników i w kolejnych pomiarach nie 

uzyskuje się identycznych wyników. 

 
1.1 Niepewności systematyczne przyrządów:

 

∆

d

x   

-  wynika ze skończonego odstępu sąsiednich kresek podziałki na skali przyrządu 

np. przy skali milimetrowej 

∆

d

x

. = 1mm. W przypadkach, kiedy odstępy pomiędzy 

kolejnymi kreskami podziałki są duże, można przyjąć, że 

∆

d

x 

jest równa ½ lub nawet ¼ 

najmniejszej działki 

∆

k

x   

-  dokładność wzorcowania fabrycznego przyrządu  czyli klasa przyrządu 

zdefiniowana :  

∆

k

x = 

( )

100

zakres

k

klasa

×

. 

Oznacza  to, że dla miernika klasy k=1.5, o 

zakresie do 2A,  

∆

k

x=

0.03 A . Ta wartość jest stała dla całego zakresu pomiarowego i 

stąd zalecenie takiego wyboru zakresu miernika analogowego (wskazówkowego), aby 
mierzona wartość była większa niż połowa zakresu (wtedy niepewność względna jest 
mniejsza). 

 
Tak, więc maksymalna niepewność systematyczna jest równa: 

∆x

s

 = 

∆

d

x + 

∆

k

x  

 

W każdym doświadczeniu należy wstępnie oszacować wielkość poszczególnych niepewności 
i te, które są małe w porównaniu z innymi można zaniedbać.  
Niepewności systematyczne można zmniejszyć stosując doskonalsze przyrządy i wykonując 
pomiary bardzo starannie, ale nie można ich całkowicie wyeliminować. 
 

I Pracownia Fizyczna IF UJ                                                                                              Marta Zimnal-Starnawska 

1

2.1 Niepewności przypadkowe w pomiarach bezpośrednich 

 
Przy wykonywaniu dużej liczby pomiarów tej samej wielkości fizycznej otrzymujemy różne 
wyniki. Niektóre z nich powtarzają się z różną częstością. Za częstość występowania wyniku 
o wartości 

x

i

 przyjmujemy stosunek 

n

i

/n

, gdzie 

n

i

 

jest liczbą pomiarów dających wynik 

x

i

, a 

n

 całkowitą liczbą pomiarów. Na ogół zależność 

n

i

/n 

od  

x

i

 , przy dużej liczbie pomiarów 

n

 

(

), jest określona rozkładem Gaussa, zwanym również rozkładem normalnym (rys.1). 

Biorąc pod uwagę rozważania teoretyczne własności funkcji Gaussa [1,2,4] oraz fakt, że w 
praktyce laboratoryjnej wykonujemy zawsze skończona liczbę pomiarów można pokazać, że 
parametry rozkładu Gaussa charakteryzującego dany pomiar można jedynie estymować. I tak: 

∞

→

n

 
- wielkością najbardziej prawdopodobną (najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej) 
dla skończonej liczby pomiarów jest ich średnia arytmetyczna 

x

 

(estymacja maksimum 

rozkładu Gaussa): 

∑

=

=

n

i

i

x

n

x

1

1

 

- niepewnością pojedynczego pomiaru  , tzw. odchyleniem standardowym 
pojedynczego pomiaru, jest wartość wyrażenia podanego wzorem: 

i

x

(

)

∑

=

−

−

=

n

i

i

x

x

x

n

S

1

2

1

1

 

Wyrażenie to stanowi estymację „szerokości” rozkładu Gaussa (rys.1). Oznacza to, że 
wykonanie kolejnych, pojedynczych pomiarów dostarczy nam wartości, które będą mieścić 
się z prawdopodobieństwem 0.683 w przedziale (

x

x

S

x

S

x

+

− ,

). 

 

 

 

Rys.1  Interpretacja graficzna odchylenia standardowego w 

rozkładzie normalnym (Gaussa) 

-  niepewnością wartości  średniej (

x

) jest odchylenie standardowe średniej 

arytmetycznej 

x

S  

 

(

)

(

)

∑

=

−

−

=

n

i

i

x

x

x

n

n

S

1

2

1

1

 

 

I Pracownia Fizyczna IF UJ                                                                                              Marta Zimnal-Starnawska 

2

Tak obliczone odchylenie standardowe 

x

S  interpretujemy następująco: wykonując kolejną 

serię n pomiarów i obliczając 

x

, 

możemy tę wartość znaleźć w przedziale 

〉

+

−

〈

x

x

S

x

S

x

,

 

z 

prawdopodobieństwem 0,683. Interpretacja taka jest równoznaczna ze stwierdzeniem, że 
wartość rzeczywista mierzonej wielkości mieści się we wspomnianym przedziale właśnie z 
prawdopodobieństwem 0.683. 

 

Wartości   

 i 

x

S

x

S

 zależą od liczby pomiarów i maleją wraz z rosnącą ich liczbą.  Można 

jednak pokazać,  że wzrost liczby pomiarów od dziesięciu do kilkudziesięciu tylko w 
niewielkim stopniu wpływa na wartość niepewności. Istotną zmianę w wartościach 
niepewności otrzymamy dopiero powyżej stu pomiarów. W laboratorium wykonuje się 
zazwyczaj serie pomiarowe składające się z około10 pomiarów, ale w przypadku liczby 
pomiarów mniejszej niż dziesięć, 

x

S

 daje zaniżoną wartość niepewności. Chcąc otrzymać jej 

poprawną wartość, należy 

x

S

 pomnożyć przez tzw. współczynnik rozkładu Studenta-Fishera 

t

n

α

 . Współczynnik  t

n

α

 zależy od liczby pomiarów 

n oraz przyjętego poziomu ufności 

α, a 

jego wartość można znaleźć w odpowiednich tablicach. Poziom ufności 

α to 

prawdopodobieństwo, z jakim wyznaczony przedział 

〉

+

−

〈

α

α

n

x

n

x

t

S

x

t

S

x

,

 zawiera wartość 

rzeczywistą mierzonej wielkości. W laboratorium studenckim przyjmuje się zazwyczaj 
poziom ufności 0.95. 
 
Obliczona w powyższy sposób niepewność przypadkowa stanowi niepewność bezwzględną i 
nie daje wyczerpującej informacji o wartości wyniku pomiarowego. Należy obliczyć 
niepewność względną, zdefiniowaną jako stosunek niepewności bezwzględnej i wartości 
średniej.  
 
Maksymalna niepewność systematyczna 

∆x

  oznacza przedział 

(x-

∆x , x+∆x ), 

w którym z prawdopodobieństwem P=1 
mieszczą się wszystkie wyniki. Można to 
potraktować statystycznie i przedstawić w 
przybliżeniu jako rozkład jednostajny, 
prostokątny (rys.2).  
 
Odchylenie standardowe dla takiego 
rozkładu wynosi: 

( )

3

3

2

x

x

S

x

∆

=

∆

=

 

 

 
Rys.2 Rozkład prostokątny jako przybliżenie 
niepewności maksymalnej 

To przybliżenie stosuje się dla niepewności systematycznych przyrządów  (

∆

d

x, 

∆

k

x). 

 
Całkowita niepewność pomiarowa 
Całkowita niepewność pomiarowa przy pomiarach bezpośrednich zawiera zarówno 
niepewności przypadkowe, jak również niepewności systematyczne. Najczęściej stosuje się  
 
wzór (pierwiastek z sumy kwadratów wszystkich niepewności pomiarowych): 

(

)

( )

2

2

2

3

1

3

1

x

x

S

S

k

d

x

x

∆

+

∆

+

=

 

I Pracownia Fizyczna IF UJ                                                                                              Marta Zimnal-Starnawska 

3

Oczywiście można zaniedbać składniki, które są małe w porównaniu z innymi i wtedy wzór 
ulega uproszczeniu. 
Można określić  maksymalną niepewność pomiarową   

∆x

max

,  która  jest równa sumie 

całkowitej niepewności systematycznej oraz maksymalnej niepewności przypadkowej: 

x

s

S

x

x

3

max

+

∆

=

∆

 

Czynnik 3 określa poziom ufności 

α=0,99. 

 

2.2 Niepewności w pomiarach pośrednich 

 
W laboratorium najczęściej wyznaczamy wielkości fizyczne, których nie można zmierzyć w 
sposób bezpośredni  za pomocą przyrządów, ale znany jest przepis funkcyjny  

(

)

n

x

x

x

f

z

,.....

,

2

1

=

 

wiążący wielkość  z (pomiar pośredni) z innymi wielkościami  x

1

, x

2

,...x

n

 mierzonymi 

bezpośrednio. W tym wypadku wykonujemy pomiary wielkości mierzonych bezpośrednio i 
stosując wyżej podane reguły oceniamy ich niepewności całkowite. Wynik końcowy 
obliczamy ze wzoru: 

(

)

n

x

x

x

f

z

,...

,

2

1

=

 

i  jest to wielkość najbardziej prawdopodobna. Natomiast miarą niepewności jest 
odchylenie standardowe pomiaru pośredniego 

lub inaczej błąd średni kwadratowy: 

2

2

2

2

1

.....

2

1













∂

∂

+

+













∂

∂

+













∂

∂

=

n

x

n

x

x

z

S

x

f

S

x

f

S

x

f

S

 

gdzie 

i

x

f

∂

∂

 oznacza pochodną cząstkową funkcji z względem zmiennej    x

i   .

 

                
Czasem jednak wielkości pośrednie x

i

  nie są mierzone wielokrotnie i w tym przypadku nie 

obliczamy odchylenia standardowego pomiaru pośredniego, a tylko niepewność 
maksymalną: 

n

n

x

x

f

x

x

f

x

x

f

z

∆

∂

∂

+

+

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

....

2

2

1

1

max

 

gdzie 

∆

x

n 

  oznacza niepewność maksymalną wielkości x

n

 mierzonych bezpośrednio.   

 

 
II Zapis wyników pomiarów 

 
W wyniku pomiaru powinna być zapisana jego wartość,  niepewność pomiarowa i 
jednostka: 
 

D = (36,43 

± 0,25 ) cm = (36,43 ± 0,25 )x10

-2

 m

 

Teoretycznie wyniki mogą być obliczane do dowolnego miejsca rozwinięcia dziesiętnego, ale 
sens fizyczny mają najwyżej dwie cyfry znaczące niepewności. 
Zaokrąglanie zaczynamy od niepewności: 

 Obliczamy niepewność pomiarową z trzema cyframi znaczącymi  x,y,z, co można 

zapisać w postaci 

m

x

xyz

S

10

,

0

×

=

 

I Pracownia Fizyczna IF UJ                                                                                              Marta Zimnal-Starnawska 

4

gdzie 

m należy do zbioru liczb całkowitych i jest tak 

dobrane, aby x znajdowało się na pierwszym miejscu po przecinku. 

},

9

,....

2

,

1

,

0

{

,

},

9

,....

2

,

1

{

∈

∈

z

y

x

 Niepewność pomiarową zaokrąglamy do dwóch miejsc znaczących (Międzynarodowa 

Norma Oceny Niepewności Pomiaru  przyjmuje 2 cyfry znaczące w niepewności 
pomiarowej). 

Obowiązuje zasada, że wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca rozwinięcia 
dziesiętnego  co niepewność. 
 
 

III  Opracowanie wyników metodą graficzną 

W przypadku opracowania wyników pomiarów wielkości zależnych, gdy y = f(x), stosujemy 
metodę graficzną czyli wykonujemy wykresy. Mogą być wykonane ręcznie na papierze 
milimetrowym lub za pomocą programów komputerowych, ale w obu przypadkach muszą 
spełniać określone reguły. 

 Osie układu powinny być opisane, tzn. podane 

wielkości, które odkładamy na osiach oraz ich 
jednostki  

 Odpowiednio dobrana skala tak, by na osi 

znajdował się cały przedział zmienności 
wielkości fizycznej ( oznacza to, że podziałka nie 
musi zaczynać się od zera ) oraz można było 
łatwo odczytać współrzędne punktów 

 Należy zaznaczyć punkty pomiarowe oraz 

niepewności pomiarowe (punkt pomiarowy 
znajduje się w prostokącie niepewności 
pomiarowych 

 

 

Rys.3 Przykład wykresu 

 Wykreślona krzywa powinna przechodzić przez 

wszystkie prostokąty niepewności. Nie łączymy 
punktów łamaną! 

 
Analiza zależności liniowych

 

Bardzo często mierzone wielkości fizyczne x i y  związane są zależnością liniową: 

y= ax + b 

gdzie współczynniki  a i b można obliczyć metodą regresji liniowej. Współczynnik  a 
odpowiada za nachylenie prostej, a współczynnik b za punkt przecięcia z osią rzędnych. 
Zazwyczaj współczynniki  a i b  mają interpretację fizyczną (są wyrażone w odpowiednich 
jednostkach) i ich znajomość pozwala wyznaczyć niektóre wielkości fizyczne.  
O tym, w jakim stopniu zależność liniowa jest spełniona, informuje współczynnik korelacji r, 
którego wartość jest zawarta w przedziale  {-1, 1}. Im większa jest wartość bezwzględna r , 
tym silniejsza jest korelacja, czyli tym ściślej jest spełniona zależność liniowa. 

Rodzaje regresji 

Wyniki pomiarów składają się z n par liczb x

i

, y

i

 oraz ich niepewności pomiarowych 

x

S

, 

y

S . 

W zależności od informacji o niepewnościach pomiarowych można stosować różne rodzaje 
regresji liniowej i różne wzory do obliczania średnich wartości współczynników regresji  

a

 i 

b

, ich odchyleń standardowych 

a

S  ,  

b

S  oraz współczynnika korelacji r . 

 
1. Regresja klasyczna

 – stosowana wtedy, gdy nie mamy żadnej informacji o niepewnościach 

pomiarowych lub są to niepewności systematyczne.  

I Pracownia Fizyczna IF UJ                                                                                              Marta Zimnal-Starnawska 

5

 

C

y

x

y

x

n

a

n

i

n

i

i

n

i

i

i

i

∑

∑

∑

=

=

−

=

1

1

=1

                                                   

n

x

a

y

b

n

i

i

n

i

i

∑

∑

=

=

−

=

1

1

 

C

y

b

y

x

a

y

n

n

S

n

i

n

i

i

n

i

i

i

i

a

∑

∑

∑

=

=

−

−

−

=

1

1

2

2

=1

                                     

n

x

S

S

n

i

i

a

b

∑

=

=

1

2

 

CD

y

x

y

x

n

r

n

i

n

i

i

n

i

i

i

i

∑

∑

∑

=

=

=

−

=

1

1

1

 

 

gdzie  

 ,                                

     

 

2

1

1

2













−

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

x

x

n

C

2

1

1

2













−

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

y

y

n

D

 
 
2. Regresja zwyczajna  -   stosowana wtedy, gdy niepewnością pomiarową obciążone są 
wartości tylko jednej zmiennej ( x lub y ) i dodatkowo niepewności mają te same wartości dla 
wszystkich punktów pomiarowych. Można ją również stosować w przypadku, gdy 
niepewność względna jednej zmiennej jest dużo mniejsza (przynajmniej 10 razy) niż drugiej 

np.

i

y

i

x

y

S

x

S

10

≤

, wtedy niepewności  zmiennej x pomijamy. 

Wzory do obliczania średnich wartości współczynników regresji  

a

 i 

b

 oraz współczynnika 

korelacji  r  pozostają takie same, jak przy regresji klasycznej, natomiast zmienia się tylko 
sposób obliczania  odchyleń standardowych 

a

S  ,  

b

S . 

C

S

n

S

y

a

2

=

   

 

 

 

n

x

S

S

n

i

i

a

b

∑

=

=

1

2

 

 
3. Regresja ważona   -  stosowana wtedy, gdy niepewnością pomiarową obciążone są wartości 
tylko jednej zmiennej ( x lub y )  lecz niepewności mają różne  wartości przynajmniej dla 
niektórych punktów pomiarowych. Można ją również stosować w przypadku, gdy 
niepewność względna jednej zmiennej jest dużo mniejsza (przynajmniej 10 razy) niż drugiej 

np.

i

y

i

x

y

S

x

S

10

≤

, wtedy niepewności  zmiennej x pomijamy. 

 
4. Regresja efektywna   -  stosowana wtedy, gdy niepewnościami pomiarowymi obciążone są 
wartości obydwu zmiennych i niepewności są różne przynajmniej dla niektórych punktów 
pomiarowych. 
 
Odpowiednie wzory obliczeń można znaleźć w skrypcie [3].  
 
Przy badaniu wielkości liniowo zależnych, po analizie niepewności pomiarowych, należy: 

I Pracownia Fizyczna IF UJ                                                                                              Marta Zimnal-Starnawska 

6

- wybrać  właściwą metodę analizy regresji. Oczywiście największą wartość posiada 

regresja efektywna, a najmniejszą klasyczna, jednakże w laboratorium studenckim, ta 
ostatnia jest najczęściej stosowana. 

- obliczyć parametry prostej wraz z jednostkami 
- narysować prostą o nachyleniu  

a

 przecinającą  oś Y w punkcie 

b

, nanieść punkty 

pomiarowe i ich niepewności 

- napisać równanie prostej 
- dokonać stosownej do danego doświadczenia analizy współczynników regresji  

a

 i 

b

. 

Cztery ostatnie punkty można wykonać  używając gotowych programów komputerowych. 
Należy jednak wiedzieć jakiego programu się używa i co on właściwie liczy. 
 
 
 
LITERATURA 
[1]  J.R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. PWN, Warszawa 1995 
[2]  H.Szydłowski: Pracownia fizyczna. PWN, Warszawa 1997 
[3]  H. Szydłowski: Wstęp do pracowni fizycznej. Wydawnictwo Naukowe UAM,  
       Poznań 1996 
[4]  B. Oleś, M Duraj: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Politechnika Krakowska,  
      Kraków 2000, rozdz. I. 
 

I Pracownia Fizyczna IF UJ                                                                                              Marta Zimnal-Starnawska 

7